平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題,都可以利用向量的線性運算及數(shù)量積解決.6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例1|用向量研究平面幾何問題知識點必備知識清單破1.物理學(xué)中的許多量,如力、速度、加速度、位移等都是向量,它們的合成與分解就是向量的

加減及數(shù)乘運算.2.力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質(zhì)是力和位移兩個向

量的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|·cosθ(θ為F和s的夾角).2|用向量研究物理問題知識點1.若

∥

,則AB∥CD,對嗎?2.要想以最短航程渡過一條流淌的河流,船頭的方向必須垂直于河岸嗎?知識辨析1.不對.也可能A,B,C,D四點共線.2.不是.考慮到水的流速,要使航程最短,船的速度與水流的合速度必須垂直于河岸,而不是船

頭的方向垂直于河岸.一語破的1.用向量方法解決平面幾何問題的三個步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.用向量解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基底表

示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算.(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問

題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.1|向量在平面幾何中的應(yīng)用定點關(guān)鍵能力定點破如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.

典例

證明

證法一(基底法):設(shè)

=a,

=b,則|a|=|b|,a·b=0.易得

=

+

=-a+

,

=

+

=b+

,所以

·

=

·

=-

-

a·b+

=-

|a|2+

|b|2=0.故

⊥

,即AF⊥DE.

設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),故

=(2,1),

=(1,-2),所以

·

=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以

⊥

,即AF⊥DE.證法二(坐標(biāo)法):如圖所示,以A為原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,方法總結(jié)

利用向量證明平面幾何問題:(1)利用向量共線定理證明線線平行或點共線;(2)利用向量的模證明線段相等;(3)利用向量的數(shù)量積為0證明線線垂直.用向量方法解決物理問題的步驟(1)問題轉(zhuǎn)化:把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;(2)建立模型:建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型;(3)求解模型:求向量的模、夾角、數(shù)量積等;(4)回答問題:把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題中.2|向量在物理中的應(yīng)用定點如圖所示,一個物體O受到同一平面內(nèi)三個力F1,F2,F3的作用,沿北偏東45°的方向移動

了8m,其中F1的大小為2N,方向為北偏東30°,F2的大小為4N,方向為北偏東60°,F3的大小為6

N,方向為北偏西30°,求合力F所做的功.

典例1解析

以O(shè)為原點,正東方向為x軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,

則F1=(1,

),F2=(2

,2),F3=(-3,3

),所以F=F1+F2+F3=(2

-2,2+4

).由題意得位移s=(4

,4

),故F·s=(2

-2)×4

+(2+4

)×4

=6

×4

=24

.所以合力F所做的功為24

J.長江某段南北兩岸平行,如圖,江面寬度d=1km,一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北

岸.已知游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|=10km/h,水流速度v2的大小為|v2|=4km/h.設(shè)v1

和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸的點A'在A的正北方向.

(1)當(dāng)θ=120°時,試判斷游船航行到達北岸的位置是在A'的東側(cè)還是西側(cè),并說明理由;(2)當(dāng)cosθ多大時,游船能到達A'處?需要航行多長時間?(不必近似計算)典例2(3)當(dāng)θ=120°時,游船航行到達北岸的實際航程是多少?解析

(1)v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos60°=5km/h>|v2|=4km/h,∴游船航行到達北岸的位置在A'的西側(cè).(2)要使游船能到達A'處,則v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos(180°-θ)=|v2|=4km/h,∴cos(180°-θ)=

,故cosθ=-

.又0°<θ<180°,∴sinθ=

,∴v1在垂直方向上的分速度的大小為|v1|sinθ=2

k