1.定義:如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由具體物體抽象出來的空間

圖形就叫做空間幾何體.2.常見的空間幾何體有多面體和旋轉(zhuǎn)體.8.1基本立體圖形1|空間幾何體知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破1.定義、圖形及表示2|特殊的多面體——棱柱、棱錐、棱臺(tái)知識(shí)點(diǎn)名稱定義要點(diǎn)圖形及表示棱柱有兩個(gè)面互相平行,其余各面

都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四

邊形的公共邊都互相平行

記作:棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1棱錐有一個(gè)面是多邊形,其余各面

都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角

形

記作:棱錐S-ABCD名稱定義要點(diǎn)圖形及表示續(xù)表棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平

面去截棱錐,底面和截面之間

的部分

記作:棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1名稱定義要點(diǎn)圖形及表示續(xù)表2.棱柱的分類(1)底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)直棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱.(3)斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱.(4)正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱.拓展

幾類特殊的四棱柱及其關(guān)系3.棱錐的分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……(2)正棱錐:底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐.4.棱臺(tái)的分類(1)由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……(2)正棱臺(tái):由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).拓展

棱柱、棱臺(tái)、棱錐的關(guān)系(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例):

3|特殊的旋轉(zhuǎn)體——圓柱、圓錐、圓臺(tái)知識(shí)點(diǎn)名稱定義圖形及表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋

轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成

的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

記作:圓柱O'O名稱定義圖形及表示圓錐以直角三角形的一條直角邊

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊

旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的

旋轉(zhuǎn)體

記作:圓錐SO續(xù)表名稱定義圖形及表示圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去

截圓錐,底面與截面之間的部

分

記作:圓臺(tái)O'O球半圓以它的直徑所在直線為

旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面

所圍成的旋轉(zhuǎn)體

記作:球O續(xù)表拓展

圓柱、圓臺(tái)、圓錐的關(guān)系

1.簡單幾何體:常見的有柱體(棱柱和圓柱)、錐體(棱錐和圓錐)、臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))和球.2.簡單組合體:由簡單幾何體組合而成.簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式:①由簡單幾何體

拼接而成;②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.4|簡單幾何體、簡單組合體知識(shí)點(diǎn)1.有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎?2.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐嗎?3.兩個(gè)底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體一定是棱臺(tái)嗎?4.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體一定是圓錐嗎?5.直角梯形繞垂直于兩底的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是什么?知識(shí)辨析

1.不一定.反例如圖①所示.

2.不一定.“其余各面都是三角形”并不能保證它們都有一個(gè)公共頂點(diǎn).如圖②所示的幾何體

不是棱錐.

圖②

圖③一語破的圖①3.不一定.如圖③,側(cè)棱的延長線未交于一點(diǎn).4.不一定.以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐,若以斜邊所在

直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的是兩個(gè)圓錐的組合體.5.圓臺(tái).1.在正棱錐中,頂點(diǎn)與底面正多邊形中心的連線垂直于底面,且各側(cè)棱長相等,進(jìn)行相關(guān)計(jì)算

時(shí)要注意兩個(gè)直角三角形:高、斜高(側(cè)面等腰三角形底邊上的高)、斜高在底面上的射影構(gòu)

成直角三角形,高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形.2.在正棱臺(tái)中,注意兩個(gè)直角梯形:兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高(側(cè)面梯形的高)構(gòu)

成一個(gè)直角梯形,兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面中心分別與該側(cè)棱相應(yīng)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一

個(gè)直角梯形.1|空間幾何體中的計(jì)算問題定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破3.在圓柱、圓錐和圓臺(tái)中,注意兩點(diǎn):一要結(jié)合它們的形成過程,分辨清軸、母線及底面半徑

與旋轉(zhuǎn)前平面圖形中的量的關(guān)系;二要切實(shí)體現(xiàn)軸截面的作用,可把軸截面從旋轉(zhuǎn)體中分離

出來,以平面圖形的計(jì)算解決立體問題.4.在球中,應(yīng)注意球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離的關(guān)系,如圖,R2=d2+r2.(1)已知正四棱錐的高為

,側(cè)棱長為

,求該四棱錐的斜高;(2)正三棱臺(tái)ABC-A'B'C'的上底面邊長為2,下底面邊長為4,高為3,求該正三棱臺(tái)的斜高.典例1解析

(1)如圖所示,在正四棱錐S-ABCD中,高OS=

,SA=SB=SC=SD=

,

在Rt△SOA中,OA=

=2,∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2

.作OE⊥AB于E,則E為AB的中點(diǎn).連接SE,則SE即為正四棱錐S-ABCD的斜高.易得OE=

BC=

,∴SE=

=

,即該四棱錐的斜高為

.(2)如圖,設(shè)M,N分別為A'C',AC的中點(diǎn),連接MN,MB',NB,分別取MB',NB上靠近M,N的三等分點(diǎn)O',O,則O',O分別為△A'B'C'和△ABC的中心,連接O'O,作MH⊥NB于H,

根據(jù)題意可得O'O=3,B'C'=2,BC=4,MN即為三棱臺(tái)ABC-A'B'C'的斜高.易知四邊形MHOO'為平行四邊形,故MH=O'O=3,OH=O'M=

B'M=

×

×B'C'=

,NO=

BN=

×

×BC=

,在Rt△MNH中,MH=3,NH=NO-OH=

,故MN=

=

=

.故三棱臺(tái)ABC-A'B'C'的斜高為

.一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求:(1)圓臺(tái)的高;(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.典例2解析

(1)如圖,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD,O1,O分別是圓臺(tái)上、下底面的圓心,連接O1O,由已知得O1A=2cm,OB=5cm,AB=12cm,作AM⊥BC,垂足為M,則BM=5-2=3(cm),在Rt△ABM中,AM=

=3

cm.故圓臺(tái)的高OO1=AM=3

cm.(2)延長BA,交OO1的延長線于點(diǎn)S,則SB的長即為所求圓錐的母線長,易得△SAO1∽△SBO,故

=

,即

=

,解得SA=8cm,所以SB=8+12=20(cm).故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π,它們位于球心的同側(cè),且距離等于1,求這

個(gè)球的半徑.典例3解析

如圖,設(shè)這個(gè)球的球心為O,兩個(gè)截面圓的圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,球心O到截

面圓O1,O2的距離分別為d1,d2,球的半徑為R,則π

=5π,π

=8π,∴

=5,

=8,又∵R2=

+

=

+

,∴

-

=8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3,又d1-d2=1,∴d1+d2=3,∴d1=2,d2=1.∴R=

=

=3.故球的半徑為3.涉及空間幾何體面上的問題,可以將其相關(guān)面展開到一個(gè)平面上,化“曲”為“直”,將

空間中的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題,借助平面幾何知識(shí)解題.2|與空間幾何體表面展開圖有關(guān)的問題定點(diǎn)如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點(diǎn)A作截面AEF,

求△AEF周長的最小值.

典例1解析

將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上,如圖,

連接AA1,則線段AA1的長即為△AEF周長的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4

.∴△AEF周長的最小值為4

.如圖所示,圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,AB=20cm,從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)

M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A.(1)求繩子的最短長度;(2)當(dāng)繩子最短時(shí),求上底面圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.

典例2解析

(1)如圖所示,將圓臺(tái)的側(cè)面展開,連接AM,則繩子的最短長度為側(cè)面展開圖中AM的長

度,延長AB,交A'B'的延長線于點(diǎn)O,設(shè)OB=lcm,∠AOA'=θ,則θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,