一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,

記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公

共點(diǎn)P叫做垂足.如圖.

8.6.2直線與平面垂直1|直線與平面垂直知識(shí)點(diǎn)必備知識(shí)清單破如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.如圖,l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α.(線線垂直?線面垂直)

2|直線與平面垂直的判定定理知識(shí)點(diǎn)1.有關(guān)概念(1)斜線:一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線.(2)斜足:斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足.(3)射影:如圖,過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做

斜線在這個(gè)平面上的射影.

3|直線與平面所成的角知識(shí)點(diǎn)2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角)(2)規(guī)定:一條直線垂直于平面,它們所成的角是90°;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),它們所

成的角是0°.設(shè)直線與平面所成的角為θ,則0°≤θ≤90°.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.如圖,a⊥α,b⊥α?a∥b.(線面垂直?線線平行)

4|直線與平面垂直的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)1.點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條,該點(diǎn)與垂足間的線段,叫做這個(gè)點(diǎn)到該平

面的垂線段,垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.2.直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線到

這個(gè)平面的距離.3.平面與平面之間的距離如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們

把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.5|空間距離知識(shí)點(diǎn)

1.若l⊥α,a為平面α內(nèi)的任意一條直線,則l與a是否垂直?2.若a⊥b,b⊥α,則a與α什么關(guān)系?3.若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條與該平面是什么關(guān)系?4.分別垂直于兩個(gè)平行平面的兩條直線是什么關(guān)系?5.與同一條直線垂直的兩個(gè)平面是什么關(guān)系?6.一條斜線與兩個(gè)平行平面所成的角是什么關(guān)系?7.如果兩個(gè)平面平行,那么如何求這兩個(gè)平面間的距離?知識(shí)辨析一語破的1.垂直.由直線和平面垂直的定義可知,直線和平面內(nèi)的所有直線都垂直,這也是證明兩條直

線垂直的一種方法.2.a∥α或a?α.3.垂直.4.平行.5.平行.過這條直線作平面與這兩個(gè)平面相交,則交線平行,通過兩個(gè)平面平行的判定定理可

得這兩個(gè)平面平行.6.相等.7.將這兩個(gè)平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離.1.證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用定義,即證明直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,從而得到直線a⊥平面α(不易操

作).(2)利用判定定理,即證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.(3)利用平行線垂直平面的傳遞性質(zhì),即如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那

么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(a∥b,b⊥α?a⊥α).(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面(a⊥α,α∥β

?a⊥β).1|線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破2.在利用線面垂直的判定定理時(shí),需要證明直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,證明線線垂直的

常見方法如下:(1)利用勾股定理的逆定理;(2)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì);(3)利用菱形的對角線互相垂直;(4)利用線面垂直的定義,即a⊥α,b?α,則a⊥b;(5)利用平行轉(zhuǎn)化,即a∥b,b⊥c,則a⊥c.3.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,過A且垂直于SC的平面分別交SB,SC,

SD于點(diǎn)E,F,G.求證:AE⊥SB.

典例

證明

因?yàn)镾A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB=A,SA,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB,所以BC⊥AE.因?yàn)镾C⊥平面AEFG,AE?平面AEFG,所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC=C,BC,SC?平面SBC,所以AE⊥平面SBC.因?yàn)镾B?平面SBC,所以AE⊥SB.解后反思

證明垂直關(guān)系時(shí)往往需要逆向思考,如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)的直線b,可以

考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.在做證明垂直的題目時(shí),可能需要反復(fù)的利用線面

垂直.求斜線與平面所成角的步驟(1)作角①作垂線:在斜線上任取非斜足的一點(diǎn)作平面的垂線(實(shí)際操作過程中,這一點(diǎn)的選取要有利

于求角);②作射影:連接垂足和斜足;③作平面角:斜線與它在平面上的射影所成的角即為所求.(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角,主要是證線面垂直.(3)計(jì)算:通常在垂線段、斜線和斜線的射影所構(gòu)成的直角三角形中計(jì)算.2|求解線面角定點(diǎn)在矩形ABCD中,AB=1,AD=

,M為AD的中點(diǎn),現(xiàn)分別沿BM,CM將△ABM和△DCM翻折,使點(diǎn)A,D重合,記為點(diǎn)P.(1)求證:BC⊥PM;(2)求直線BC與平面PMC所成角的正弦值.

典例

解析

(1)證明:取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,MQ,由題意得,BP=CP=1,BM=CM,∴MQ⊥BC,PQ⊥BC,又MQ∩PQ=Q,MQ,PQ?平面PMQ,∴BC⊥平面PMQ,∵PM?平面PMQ,∴BC⊥PM.

∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.∵四邊形ABCD為矩形,∴PB⊥PM,(折線同一側(cè)的垂直關(guān)系折疊前后不變,即PB與PM仍然垂直)∵PM∩PC=P,PM,PC?平面PMC,∴PB⊥平面PMC,∴∠BCP為直線BC與平面PMC所成的角,在Rt△BPC中,sin∠BCP=

=

=

,∴直線BC與平面PMC所成角的正弦值為

.(2)∵BP=CP=1,BC=AD=

,當(dāng)直線與平面平行時(shí),直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等;當(dāng)平面與平面平行時(shí),一個(gè)

平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等.直線與平面的距離和平面與平面的距離都可

以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.求點(diǎn)到平面的距離的常用方法:(1)定義法:過點(diǎn)作平面的垂線段,當(dāng)由點(diǎn)向平面作垂線不易操作時(shí),可利用線面平行或面面平

行轉(zhuǎn)化為直線或平面上其他點(diǎn)到平面的距離.(2)等體積法:即利用三棱錐的換底法,通過不同角度算得的體積相等得到點(diǎn)到平面的距離.3|求解空間距離定點(diǎn)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,E,F,G分別是BB1,CC1,DD1的中點(diǎn),求:(1)A1D1到平面AEFD的距離;(2)點(diǎn)B1到平面AEC1G的距離.

典例

思路點(diǎn)撥

(1)轉(zhuǎn)化為A1到平面AEFD的距離;(2)等體積法.解析

(1)因?yàn)锳1D1∥AD,A1D1?平面AEFD,AD?平面AEFD,所以A1D1∥平面AEFD,所以A1D1到平面AEFD的距離即為點(diǎn)A1到平面AEFD的距離.作A1H⊥AE,垂足為H,連接A1E,如圖所示,因?yàn)镈A⊥平面ABB1A1,A1H?平面ABB1A1,所以DA⊥A1H,又DA∩AE=A,DA,AE?平面AEFD,

所以A1H⊥平面AEFD,即A1H的長度即為所求的距離.(在直線A1D1上選擇過點(diǎn)A1作平面的垂

線段)易得S△A1AE=

a2=

AE·A1H,又AE=

,所以A1H=

a,即A1D1到平面AEFD的距離為

a.

(2)如圖,連接EG,B1G,設(shè)點(diǎn)B1到平面AEC1G的距離為h,易得

=

a·

=

,則

=

S△EB1C1·C1D1=