對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.10.1.3古典概型1|事件的概率知識點必備知識清單破1.古典概型的定義某些隨機試驗的樣本點及樣本空間具有以下共同特征:(1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;(2)等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學模型稱為古典概率模型,簡

稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則

定義事件A的概率P(A)=

= .其中,n(A)和n(Ω）分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).2|古典概型知識點1.從裝有3個大球、1個小球的袋中取出1個球的試驗是古典概型嗎？2.古典概型中每個事件發(fā)生的可能性都相同嗎？3.若某試驗中樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A包含m個樣本點，則P(A)=mn嗎？知識辨析1.不是.球的大小不同,抽取時不具有等可能性,不符合古典概型中每個樣本點發(fā)生的可能性相等這一特征.2.不一定.古典概型中每個樣本點發(fā)生的可能性都相同，而事件不一定僅包含一個樣本點或包含的樣本點個數(shù)相等.3.不一定.當每個樣本點等可能出現(xiàn)，即試驗為古典概型試驗時，P（A）=mn.一語破的1.求解古典概型問題的一般思路(1)明確試驗是否具有古典概型的兩個特征——樣本點的有限性和等可能性.(2)當試驗是古典概型時,可用適當?shù)淖帜浮?shù)字等符號表示試驗的可能結(jié)果,有時也可借助

圖表將所有的可能結(jié)果不重不漏地列出來.(3)計算樣本點總個數(shù)n及事件A包含的樣本點個數(shù)m,利用P(A)=

求出事件A的概率.2.解題時要注意是“有放回地抽取”還是“無放回地抽取”,列舉樣本點時,要考慮抽取順序

及抽取結(jié)果的恰當表示.3.古典概型與統(tǒng)計結(jié)合類問題,通常以頻率分布表或頻率分布直方圖的形式給出信息,此類問

題一般要依據(jù)相關(guān)知識求出相關(guān)數(shù)據(jù),然后根據(jù)古典概型的概率計算公式進行求解.|古典概型的概率定點關(guān)鍵能力定點破某班新年晚會設(shè)置抽獎環(huán)節(jié).在不透明紙箱中裝有大小、質(zhì)地相同的紅球3個(編號分

別為1,2,3),黃球2個(編號分別為4,5),有以下三種方案可供選擇:方案一:一次性抽取2個球,若球的顏色相同,則獲得獎品;方案二:依次無放回地抽取2個球,若球的顏色相同,則獲得獎品;方案三:依次有放回地抽取2個球,若球的編號之和大于5,則獲得獎品.(1)分別寫出按方案一和方案二抽獎的所有樣本點;(2)哪種方案獲得獎品的可能性更大?請說明理由.典例1解析

(1)記(a,b)表示按方案一抽取時抽到編號分別為a,b的小球,則按方案一一次性抽取2個球的所有樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5),共10個.記(c,d)表示按方案二抽取時先后抽到編號為c,d的小球,則按方案二依次無放回地抽取2個球

的所有樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,

3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20個.(2)方案一中,設(shè)事件A表示“一次性抽取的2個球顏色相同”,則由(1)知事件A包含(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),共4個樣本點,故P(A)=

=

.方案二中,設(shè)事件B表示“依次無放回抽取的2個球顏色相同”,則由(1)知事件B包含(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,5),(5,4),共8個樣本點,故P(B)=

=

.方案三中,設(shè)兩次抽取的球的編號分別為x,y,則所有可能的樣本點(x,y)如表所示,共25個.(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)在方案三中,設(shè)事件C表示“抽取的2個球的編號之和大于5”,則事件C包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共

15個樣本點,故P(C)=

=

.因為P(A)=P(B)<P(C),所以選擇方案三獲得獎品的可能性更大.某學校有學生1000人,為了解學生對本校食堂服務(wù)的滿意程度,隨機抽取了100名學生

對本校食堂的服務(wù)打分,根據(jù)這100名學生的打分情況繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),其

中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求頻率分布直方圖中a的值,并估計該校學生滿意度打分不低于70分的人數(shù);典例2(2)若采用分層隨機抽樣的方法,從打分在[40,60)內(nèi)的受訪學生中隨機抽取5人了解情況,再從

中選取2人進行跟蹤分析,求這2人中至少有一人打分在[40,50)內(nèi)的概率.解析

(1)由題中頻率分布直方圖可知,(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得a=0.006.估計該校學生滿意度打分不低于70分的人數(shù)為1000×(0.28+0.22+0.18)=680.(2)由題中頻率分布直方圖可知,打分在[40,50)內(nèi)和在[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.04和0.06,故采用分層隨機抽樣的方法抽取5人,打分在[40,50)內(nèi)的應(yīng)抽取2人,打分在[50,60)內(nèi)的應(yīng)抽取3人.設(shè)打分在[40,50)內(nèi)的2人分別為a1,a2,打分在[50,60)內(nèi)的3人分別為A1,A2,A3,則從這5人中隨機抽取2人的可能結(jié)果為(a1,a2),(a1,A1),(a1,A2),(a1,A3),(a2,A1),(a2,A2),(a2,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共10種,