大學(xué)（統(tǒng)計學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計2026年綜合測試題及答案

（考試時間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個正確答案，請將正確答案的序號填在括號內(nèi)）1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.單調(diào)增大B.單調(diào)減小C.保持不變D.增減不定2.設(shè)X1,X2,X3相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則下列隨機變量中服從泊松分布的是（）A.X1+X2+X3B.X1+X2C.X1-X2D.(X1+X2)/23.已知隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X的邊緣概率密度fX(x)=（）A.∫f(x,y)dyB.∫f(x,y)dxC.f(x,y)D.f(x,y)/∫f(x,y)dxdy4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn為樣本，則樣本均值X?服從（）A.N(μ,σ2/n)B.N(μ,σ2)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ2)5.若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，則由切比雪夫不等式有P{|X-μ|≥3σ}≤（）A.1/9B.1/3C.3D.96.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X1,X2,...,Xn為樣本，則θ的矩估計量為（）A.2X?B.X?C.X?/2D.nX?7.設(shè)X1,X2,X3是來自總體X的樣本，且E(X)=μ，D(X)=σ2，則下列統(tǒng)計量中不是μ的無偏估計量的是（）A.(X1+X2+X3)/3B.(X1+2X2)/3C.(X1-X2+X3)/3D.X18.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布B(n,p)，則當(dāng)n充分大時，X近似服從（）A.N(np,np(1-p))B.N(n,p)C.N(0,1)D.N(p,np(1-p))9.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2已知，μ未知，X1,X2,...,Xn為樣本，則μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為（）A.(X?-zα/2σ/√n,X?+zα/2σ/√n)B.(X?-tα/2(n-1)S/√n,X?+tα/2(n-1)S/√n)C.(X?-zα/2S/√n,X?+zα/2S/√n)D.(X?-tα/2(n)S/√n,X?+tα/2(n)S/√n)10.在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)H0，備擇假設(shè)H1，則犯第一類錯誤的概率α是指（）A.P{接受H?|H?為真}B.P{拒絕H?|H?為真}C.P{接受H?|H?為真}D.P{拒絕H?|H?為真}二、多項選擇題（總共5題，每題4分，每題至少有兩個正確答案，請將正確答案的序號填在括號內(nèi)，少選、多選、錯選均不得分）1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則下列說法正確的是（）A.P{X<0}=0B.P{X<0}=0.5C.P{|X|<1}=2Φ(1)-1D.P{|X|>1}=2(1-Φ(1))2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn為樣本，樣本均值X?，樣本方差S2，則下列結(jié)論正確的是（）A.X?與S2相互獨立B.(nS2)/σ2服從χ2(n-1)分布C.(X?-μ)/(S/√n)服從t(n-1)分布D.(n-1)S2/σ2服從χ2(n-1)分布3.設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY，則下列說法正確的是（）A.ρXY=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))B.|ρXY|≤1C.ρXY=0時，X與Y不相關(guān)D.ρXY=1時，X與Y完全正相關(guān)4.設(shè)總體X服從泊松分布P(λ)，X1,X2,...,Xn為樣本，則下列關(guān)于λ的估計量中，是無偏估計量的有（）A.X?B.(X1+X2)/2C.(X1+X2+X3)/3D.nX?5.在假設(shè)檢驗中，關(guān)于檢驗功效1-β的說法正確的是（）A.1-β是指當(dāng)H?為真時拒絕H?的概率B.1-β越大，檢驗效果越好C.1-β與α有關(guān)D.1-β與樣本容量n有關(guān)三?判斷題（總共10題，每題2分，請在括號內(nèi)打“√”或“×”）1.若隨機變量X的分布函數(shù)F(x)連續(xù)，則X為連續(xù)型隨機變量。（）2.設(shè)X1,X2,X3相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,1)，則X12+X22+X32服從χ2(3)分布。（）3.若隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=F1(x)F2(y)，則X和Y相互獨立。（）4.樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計量，且是所有無偏估計量中方差最小的。（）5.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2已知，μ未知，在顯著性水平α下對μ進(jìn)行假設(shè)檢驗，當(dāng)樣本容量n固定時，α越小，犯第二類錯誤的概率β越大。（）6.若隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則E(X)=1/λ，D(X)=1/λ2。（）7.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,1)，X1,X2,...,Xn為樣本，則樣本極差R=max{X1,X2,...,Xn}-min{X1,X2,...,Xn}的數(shù)學(xué)期望E(R)=(n-1)/(n+1)。（）8.若隨機變量X和Y滿足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，則X和Y不相關(guān)。（）9.在區(qū)間估計中，置信水平1-α越大，置信區(qū)間長度越長。（）10.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2未知，μ已知，在顯著性水平α下對σ2進(jìn)行假設(shè)檢驗，應(yīng)采用χ2檢驗法。（）四、簡答題（總共3題，每題10分）1.簡述正態(tài)分布的性質(zhì)，并說明其在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的重要性。2.什么是參數(shù)估計？參數(shù)估計有哪些方法？請分別簡要介紹。3.說明假設(shè)檢驗的基本思想和步驟。五、計算題（總共2題，每題15分）1.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={2,0<x<1,0<y<x;0,其他}，求：(1)X的邊緣概率密度fX(x)；(2)Y的邊緣概率密度fY(y)；(3)X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)。2.已知某批零件的長度X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，測得長度如下（單位：cm）：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.0612.14求：(1)樣本均值X?和樣本方差S2；(2)μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間（已知t0.025(15)=2.1315）。答案：一、選擇題1.C2.A3.A4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B二、多項選擇題1.BCD2.BCD3.ABCD4.AC5.ABCD三、判斷題1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、簡答題1.正態(tài)分布性質(zhì)：關(guān)于x=μ對稱，在x=μ處取得最大值等。重要性：廣泛應(yīng)用于自然、社會等領(lǐng)域，是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)，如中心極限定理與正態(tài)分布相關(guān)。許多隨機現(xiàn)象近似服從正態(tài)分布，便于進(jìn)行分析和處理。2.參數(shù)估計是用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。方法有：點估計，如矩估計、極大似然估計，直接給出參數(shù)估計值；區(qū)間估計，給出包含參數(shù)的區(qū)間及置信度，反映估計精度和可靠性。3.基本思想：基于小概率事件原理，先對總體參數(shù)提出假設(shè)，再據(jù)樣本數(shù)據(jù)判斷假設(shè)合理性。步驟：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；選檢驗統(tǒng)計量；確定顯著性水平；求臨界值；計算統(tǒng)計量值并與臨界值比較；得出結(jié)論，若統(tǒng)計量值在拒絕域則拒絕原假設(shè)。五、計算題1.(1)\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\int_{0}^{x}2dy=2x,0<x<1\)。(2)\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx=\int_{y}^{1}2dx=2(1-y),0<y<1\)。(3)\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}\)，\(E(Y)=\int_{0}^{1}y\cdot2(1-y)dy=\frac{1}{3}\)，\(E(XY)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy\cdot2dydx=\frac{1}{4}\)，\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=-\frac{1}{36}\)。2.(1)\(X?=\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}x_i=12.08\)，\(S^2=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{16}(x_i-X?)^2=0.0024\)。(2)置信區(qū)間為\((X?