*

曲線的凹凸與拐點(diǎn)

A

B

C

D

弧ACB與弧ADB的凹向不同。a

b

*1.凹凸性的定義*若在某一區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像總在曲線上任一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線在這區(qū)間內(nèi)是凹的；直觀觀察在有些教材中，凹的（曲線）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。

下方

凸的

*2.判定定理:證明對于（1），設(shè)且記并記則上面兩式相減，得在上用拉格朗日中值定理，得對*3、判定函數(shù)曲線凹凸的步驟:（1）確定函數(shù)y=f(x)的定義域；（2）求f”(x),找出使f”(x)=0和f”(x)不存在的點(diǎn)xi

；（3）用xi把定義域劃分成為小區(qū)間，在每個小區(qū)間上判定曲線的凹凸。例1.解對在用拉格朗日中值定理，得由假設(shè)因此即*例2.解拐點(diǎn)：曲線由凸變凹（或由凹變凸）的分界點(diǎn)。（1）拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，應(yīng)由兩個坐標(biāo)表示（x0,f(x0)）.（2）前面講過的極值點(diǎn)，是取得極值時自變量的值，記為x=xi

兩者不同。（3）作業(yè)中常見記法的錯誤：注意：*例3.解*例4.但當(dāng)時，總有因此，（0，0）不是這曲線的拐點(diǎn)。即解*例5求曲線的拐點(diǎn)。解當(dāng)時，當(dāng)時，都不存在。所以，在不連續(xù)且不具有零點(diǎn)。但把分成兩個部分區(qū)間：曲線在上是凹的。曲線在上是凸的。則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)。下面的點(diǎn)可能對應(yīng)著曲線的拐點(diǎn)：（1）（2）*例6設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，如果試問是否為極值點(diǎn)？為什么？又是否為拐點(diǎn)？為什么？解由于在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則不妨設(shè)由保號性定理，即在此區(qū)域內(nèi)，單調(diào)增加。而因此因此，是拐點(diǎn)。

因此不是極值點(diǎn)。

習(xí)題3-79*第八節(jié)函數(shù)圖形的描繪1.一般步驟:(1)(2)(3)(4)(5)(6)*（4）第四行曲線y=f(x)，用適當(dāng)凹向的帶箭頭的曲線，表明函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的大體形態(tài)；注意，箭頭方向是：箭尾在左，箭頭在右；2、關(guān)于函數(shù)形態(tài)表的說明（P202表格）（1）第一行x

，由左至右按照從小到大列出小區(qū)間和它們的分界點(diǎn)；（3）第三行y”，在相應(yīng)的區(qū)間判斷正、負(fù)；在分界點(diǎn)寫出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值；以下表示不正確（2）第二行y’，在相應(yīng)的區(qū)間判斷正、負(fù)；在分界點(diǎn)寫出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值；*3、曲線的漸近線(1)、水平漸近線(2)、垂直漸近線CxyOxyO

x0*(3)、斜漸近線*解例1.4、應(yīng)用舉例：+0－的圖形－－0+－－－+++0極大值拐點(diǎn)極小值*得到函數(shù)圖形上三個點(diǎn):輔助點(diǎn):所以該曲線既無水平漸近線，也無鉛直漸近線。*例2.解的圖形0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+極大拐點(diǎn)*得到曲線上的兩個點(diǎn):加輔助點(diǎn)（1）利用函數(shù)的奇偶性；（2）補(bǔ)充點(diǎn)（0，f(0)），（2，f(2)）；（3）有水平漸近線。注：的圖形0(0,1)1(1,+∞）0－－－－－0+極大拐點(diǎn)*例3解的圖形－－－－－－－－++00極大值拐點(diǎn)*得曲線上的點(diǎn):輔助點(diǎn):的圖形－－－－－－－－++00極