第七章Mathematica程序設計7.4模塊7.5程序設計實例7.6本章小結Mathematica軟件平臺上用于科學計算的指令和語句統(tǒng)稱為Wolfram語言，Wolfram語言屬于高級計算機語言，也是全球頂級的科學計算語言，是物理學等自然科學研究和數(shù)學與密碼學等信息科學研究的利器。本章將詳細介紹使用Wolfram語言進行程序設計的方法，主要內容包括函數(shù)定義與應用方法、常用程序設計控制語句、模塊定義與調用方法和一些程序設計實例。7.1函數(shù)Wolfram語言中的函數(shù)包括內置函數(shù)、包函數(shù)和自定義函數(shù)三種，其中，內置函數(shù)名以大寫字母開頭，可以直接調用；包函數(shù)是指存儲在Wolfram資源庫中的線上函數(shù)，使用時需動態(tài)地裝入函數(shù)所在的包文件；自定義函數(shù)為用戶編寫的函數(shù)，可用于擴展內置函數(shù)的功能。Wolfram語言中，函數(shù)的調用方法非常靈活，設函數(shù)名為f，其參數(shù)為x，則基本的調用方法為f[x]，即使用中括號將參數(shù)包括其中；另一種更簡潔的方法為f@x或x//f，均等價于f[x]。如果多個函數(shù)f、g和h嵌套調用，基本用法為f[g[h[x]]]，也可使用f@g@h@x或x//h//g//f。函數(shù)調用的另一種常見表示為“/@”，例如，f/@x，表示函數(shù)f作用于列表x的每一個元素，因此，f/@{1,2,3}等價于{f[1],f[2],f[3]}。7.1函數(shù)Wolfram語言內置了常用的科學計算相關的函數(shù)。這里以偽隨機數(shù)相關的函數(shù)為例，介紹內置函數(shù)的用法。偽隨機數(shù)相關的常用函數(shù)及其基本用法如表7.1所示。7.1.1內置函數(shù)7.1.1內置函數(shù)7.1.1內置函數(shù)7.1.1內置函數(shù)例7.1偽隨機數(shù)函數(shù)應用舉例（1）生成長度為10的0或1偽隨機序列，并統(tǒng)計其中1的個數(shù)，見表7.2序號1。（2）生成長度為12的10至99間的偽隨機整數(shù)序列，見表7.2序號2。（3）生成3×4的偽隨機實數(shù)矩陣，每個元素的取值在1和2之間，見表7.2序號3。（4）生成位于直角坐標系中頂點為(0,0)、(1,0)、(0,3)和(1,3)的矩形內的偽隨機復數(shù)序列，序列長度為20，見表7.2序號4。（5）隨機生成一個小于100的素數(shù)，見表7.2序號5。（6）從1至100中隨機選擇10個數(shù)（有重復采樣），見表7.2序號6。（7）從1至100中隨機選擇10個數(shù)（不重復采樣），見表7.2序號7。（8）生成服從正態(tài)分布的10個偽隨機數(shù)序列，見表7.2序號8。（9）給定偽隨機數(shù)種子為20200705，生成長度為10的偽隨機整數(shù)序列，每個元素在10至99間取值，然后，從小至大進行排序。見表7.2序號9。表7.2偽隨機數(shù)函數(shù)典型應用實例表7.2中序號1至8的執(zhí)行結果與時間有關，讀者每次執(zhí)行時得到的結果是不同的，所以，這里不給出這些語句的執(zhí)行結果。但是表7.2中序號9的執(zhí)行結果是不隨時間變化的，執(zhí)行后，變量a的結果一定為列表{81,67,94,51,22,95,65,17,92,41}，而排序后的結果為{17,22,41,51,65,67,81,92,94,95}。7.1函數(shù)7.1.1內置函數(shù)7.1函數(shù)Mathematica不但是全球最先進的科學計算軟件，而且也是全球最先進的科學數(shù)據(jù)庫，實時地記錄著全球乃至可觀測宇宙部分的動態(tài)信息，供科研人員參考和使用。Mathematica線上資源特別豐富，其中包含了大量的軟件包，每個軟件包以文件的形式存儲在服務器上。這些軟件包中的函數(shù)稱為包函數(shù)，這里以有限域算術包為例介紹包函數(shù)的用法。在線上資源庫中，有限域算術包的名稱為FiniteField，在計算機聯(lián)網的情況下，可在Notebook中調入有限域算術包，即輸入

<<FiniteFields`或Needs["FiniteFields`"]然后，可以使用有限域算術包中的全部函數(shù)。這里重點介紹有限域算術中創(chuàng)建有限域對象的函數(shù)，如表7.3所示。7.1.2包函數(shù)7.1函數(shù)函數(shù)是Mathematica程序設計的基本要素。在Mathematica中，程序由函數(shù)組成，而函數(shù)一般以模塊的形式供用戶調用。模塊將在第7.3節(jié)中介紹，這里重點介紹自定義函數(shù)及其用法。由于Mathematica系統(tǒng)內置函數(shù)和包函數(shù)均以大寫字母開頭，因此，自定義函數(shù)盡可能以小寫字母開頭。自定義函數(shù)的格式為：函數(shù)名[參數(shù)1_,參數(shù)2_,…,參數(shù)n_]=表達式。需要注意的是，在參數(shù)表中，每個參數(shù)后有一個下劃線“_”，而表達式中的參數(shù)不再具有下劃線。這里的參數(shù)以所謂的符號或變量的形式出現(xiàn)，其對應的實參可以為數(shù)值、列表或函數(shù)名。7.1.3自定義函數(shù)7.2控制語句程序語句的執(zhí)行只有三種方式，即順序、分支和循環(huán)。在Mathematica的Notebook中輸入的計算語句按照順序執(zhí)行的方式執(zhí)行。這里重點介紹分支和循環(huán)控制語句。7.2.1分支控制（1）If[條件，語句組1，語句組2，語句組3]如果條件為邏輯真，則執(zhí)行語句組1；如果條件為邏輯假，則執(zhí)行語句組2；如果條件在邏輯上非真非假，則執(zhí)行語句組3。每個語句組可以包含多個語句，語句間用分號“;”分隔。If語句的其他形式簡化形式有：(i)If[條件，語句組1]當條件為邏輯真時，執(zhí)行語句組1；否則，無操作。(ii)If[條件，，語句組2]當條件為邏輯假時，執(zhí)行語句組2；否則，無操作。注意，這里中間的逗號不可缺少。(iii)If[條件，語句組1，語句組2]當條件為邏輯真時，執(zhí)行語句組1；當條件為邏輯假時，執(zhí)行語句組2。7.2控制語句程序語句的執(zhí)行只有三種方式，即順序、分支和循環(huán)。在Mathematica的Notebook中輸入的計算語句按照順序執(zhí)行的方式執(zhí)行。這里重點介紹分支和循環(huán)控制語句。7.2.1分支控制（2）Switch[表達式，情況1，語句組1，情況2，語句組2，……]如果表達式為情況1，則執(zhí)行語句組1；如果表達式為情況2，則執(zhí)行語句組2。每個語句組可以有多個語句，使用分號“;”分隔。（3）Which[邏輯表達式1，值1，邏輯表達式2，值2，……]Which語句依次計算各個邏輯表達式的值，返回第一個為真的邏輯表達式i對應的值i。（4）條件控制符（“/;”）后面接一個邏輯表達式test當邏輯表達式test為真時，條件控制起作用?，F(xiàn)在，使用分支控制語句實現(xiàn)下述分段函數(shù)，7.2控制語句Mathematica提供了三種循環(huán)控制語句，即Do語句、While語句和For語句。這三種語句的語法如表7.10所示。7.2.2循環(huán)控制7.2控制語句Wolfram語言是一種高級程序設計語言，具有高級循環(huán)控制語句，如Table、Array、Nest和NestList等。在大多數(shù)情況下，While、Do和For循環(huán)常被這些高級循環(huán)控制語句替代。這些高級循環(huán)控制語句的語法如表7.12所示。7.2.3高級循環(huán)控制7.2.3高級循環(huán)控制7.2.3高級循環(huán)控制7.2.3高級循環(huán)控制7.3純函數(shù)純函數(shù)又稱純匿名函數(shù)。純函數(shù)的格式有兩種，其一，“Function[函數(shù)體]”；其二，“函數(shù)體&”。這里“函數(shù)體”中，#表示形式參數(shù)；當有多個形式參數(shù)時，#1表示第一個形式參數(shù)，#2表示第二個形式參數(shù)，依此類推。在第一種情況下，還可以指定形式參數(shù)，如Function[形式參數(shù)列表，函數(shù)體]。下面列舉幾個典型語句，如表7.14所示。7.3純函數(shù)純函數(shù)一個重要的作用體現(xiàn)在表7.14序號7的應用中。Wolfram語言的基本數(shù)據(jù)結構為列表，而借助于純函數(shù)可以把函數(shù)作用施加到列表的各個元素。注意，有些函數(shù)具有Listable屬性（例如，Sin函數(shù)，使用“??Sin”可查看Sin函數(shù)的屬性），這類函數(shù)作用于列表時，將作用于列表的每個元素。例如，Sin[{0,Pi/2,Pi,3Pi/2,2Pi}]將返回{0,1,0,-1,0}。7.4模塊在Wolfram語言中，模塊是程序的基本單位，模塊對應著程序設計實現(xiàn)的子功能，類似于C語言中的函數(shù)。常用的模塊有四種，即With、Block、Module和Compile。這里借助于Hénon映射生成偽隨機序列為例，介紹模塊的應用方法。Hénon映射是一種二維離散混沌，其吸引子的方程為

其中，a=1.4，b=0.3。給定初始值x0和y0，生成指定長度的偽隨機序列，序列的每個元素為0至255間取值的整數(shù)。With語句的基本語法為With[初始化變量列表,語句組]7.4.1With模塊7.4.1With模塊其中，“語句組”可包含多個語句，各個語句間用分號“；”分隔?！罢Z句組”中使用的變量可以為全局變量，也可以為“初始化變量列表”中的變量。如果“語句組”中使用了“初始化變量列表”中的變量，這些變量的初始值直接代入語句組中。特別注意：“初始化變量列表”中的變量均為With語句內部可見的局部變量。With語句的典型實例如表7.15所示。With語句的基本語法為With[初始化變量列表,語句組]7.4.1With模塊With語句的處理速度比第7.4.3節(jié)將要介紹的Module語句快。With語句的典型用法如表7.15的序號3所示。注意：在With模塊中出現(xiàn)的非“初始化變量列表”中的變量均為全局變量。借助于With語句使用Hénon映射生成偽隨機序列的程序如下：henon:={#[[2]],1.0-1.4#[[2]]^2+0.3#[[1]]}&;f[x0_,y0_,m_]:=With[{x1=x0,y1=y0,m1=m},dat1=NestList[henon,{x1,y1},m1];dat2=Flatten[dat1][[3;;-1;;2]];dat3=Mod[Floor[(2+dat2)*10^6],256]]f[0.3,0.23,30]上述代碼中，定義了兩個函數(shù)henon和f，其中，henon使用純函數(shù)定義；函數(shù)f具有三個參數(shù)x0、y0和m，x0和y0作為Hénon映射的迭代初值，m為生成的偽隨機序列的長度。調用f[0.3,0.23,30]的執(zhí)行結果如下：{240,4,204,52,14,106,206,79,232,189,113,50,255,186,203,163,254,170,182,123,147,207,33,81,174,249,115,33,211,113}需要特別注意的是，在函數(shù)f的定義中，dat1、dat2和dat3在函數(shù)f被調用后，將成為Notebook中的全局變量。但是大多數(shù)情況下，只希望函數(shù)返回值，并不產生任何全局變量。Block和Module模塊可實現(xiàn)這種變量局部化的要求。7.4模塊類似于With模塊，Block模塊可以直接使用全局變量，并可以生成全局變量。而全局變量的存在破壞了算法的模塊化，因此，Block模塊還實現(xiàn)了全部變量局部化方法。Block語句的語法為：

Block[局部變量列表,語句組]或Block[局部變量初始化列表,語句組]這里的“語句組”可包含多條語句，各條語句間用分號“；”分隔，語句組的最后一條語句的執(zhí)行結果為返回值。Block語句的典型用法實例如表7.16所示。7.4.2Block模塊借助于Block語句使用Hénon映射生成偽隨機序列的程序如下：henon:={#[[2]],1.0-1.4#[[2]]^2+0.3#[[1]]}&;f[x0_,y0_,m_]:=Block[{x1=x0,y1=y0,m1=m,dat1,dat2,dat3},dat1=NestList[henon,{x1,y1},m1];dat2=Flatten[dat1][[3;;-1;;2]];dat3=Mod[Floor[(2+dat2)*10^6],256]]f[0.3,0.23,30]上述代碼中，先定義了henon函數(shù)和f函數(shù)，在f函數(shù)中使用了Block語句，將Block語句中使用了變量均定義為局部變量，運行結果由“語句組”的最后一條語句返回。執(zhí)行函數(shù)“f[0.3,0.23,30]”返回：{240,4,204,52,14,106,206,79,232,189,113,50,255,186,203,163,254,170,182,123,147,207,33,81,174,249,115,33,211,113}在使用Block模塊時，如果“語句組”中的表達式包含了局部變量，將使用局部變量定義的初始值，這種方式稱為動態(tài)計算“語句組”中的表達式（這是和Module模塊唯一的區(qū)別，下文的Module模塊是“靜態(tài)”處理的）。例如：y=x^2+2x+1Block[{x=a},x+y]返回1+3a+a^2。而Module[{x=a},x+y]返回1+a+2x+x^2。7.4.2Block模塊7.4模塊在絕大多數(shù)情況下，使用Module語句實現(xiàn)模塊的功能，最主要的原因，可能是因為“Module”英文有“模塊”的含義。由7.4.2節(jié)可知，當全部使用局部變量時，Block模塊與Module模塊完全通用，事實上，Wolfram語言中Block模塊的處理速度比Module模塊更快。Module語句的語法如下：

Module[局部變量列表,語句組]或Module[局部變量初始化列表,語句組]這里的“語句組”可包含多條語句，各條語句間用分號“；”分隔，語句組的最后一條語句的執(zhí)行結果為返回值。Module語句的典型用法實例如表7.17所示。7.4.3Module模塊由Module語句使用Hénon映射生成偽隨機序列的程序如下Clear["`*"]henon:={#[[2]],1.0-1.4#[[2]]^2+0.3#[[1]]}&;f[x0_,y0_,m_]:=Module[{x1=x0,y1=y0,m1=m,dat1,dat2,dat3},dat1=NestList[henon,{x1,y1},m1];dat2=Flatten[dat1][[3;;-1;;2]];dat3=Mod[Floor[(2+dat2)*10^6],256];{dat1[[2;;-1]],dat3}]{ps1,ps2}=f[0.7,0.13,3000]上述程序代碼首先定義了henon函數(shù)和f函數(shù)，f函數(shù)的參數(shù)x0和y0為Hénon映射的迭代初值，m設定產生的混沌偽隨機序列的長度。函數(shù)f的返回值為列表{dat1[[2;;-1]],dat3}，列表中有兩個元素dat1[[2;;-1]]和dat3，依次為Hénon映射的狀態(tài)值序列和偽隨機序列。執(zhí)行“{ps1,ps2}=f[0.7,0.13,3000]”獲得長度為3000的狀態(tài)序列和偽隨機序列。下面使用ps1借助于ListPlot[Reverse/@ps1,AxesLabel->{"x","y"},AspectRatio->Automatic,ImageSize->Large]繪制Hénon映射的相圖如下：建議在Module模塊中全部使用局部變量，并將Module模塊定義為函數(shù)的實現(xiàn)部分。由Module語句使用Hénon映射生成偽隨機序列的程序如下7.4模塊Mathematica軟件使用C語言實現(xiàn)的，用戶編寫的Mathematica程序是順序調用Mathematica系統(tǒng)函數(shù)實現(xiàn)的。一般地，用戶程序的執(zhí)行效率遠遠低于C語言可執(zhí)行程序。為了提高Mathematica用戶程序的執(zhí)行效率，可以使用Compile模塊，設計經過編譯的用戶函數(shù)。這種編譯后的函數(shù)的執(zhí)行效率非常接近于C語言可執(zhí)行程序的效率，但是這類函數(shù)只能使用常規(guī)的數(shù)據(jù)類型，即整型（_Integer）、浮點型（_Real）、復數(shù)類型（_Complex）和邏輯變量（True或False），使用的列表必須為數(shù)值型數(shù)組?？梢姡m然Compile模塊可以編譯為機器代碼，極大地提高了執(zhí)行速度，但是遠沒有Module模塊靈活。7.4.4Compile模塊Compile模塊的典型語法為Compile[{{變量名1,變量類型1},{變量名2,變量類型2},…},語句組]或Compile[{{變量名1,變量類型1},{變量名2,變量類型2},…},語句組,屬性]或Compile[{{變量名1,變量類型1,變量1維數(shù)},{變量名2,變量類型2,變量2維數(shù)},…},語句組]上述語法中，“語句組”可以包含多條語句，各條語句間用分號“；”隔開。Compile模塊的典型用法實例如表7.18所示。由Complile語句使用Hénon映射生成偽隨機序列的程序如下：Clear["`*"]henon:={#[[2]],1.0-1.4#[[2]]^2+0.3#[[1]]}&;f=Compile[{{x0,_Real},{y0,_Real},{m,_Integer}},Module[{x1=x0,y1=y0,m1=m,dat1,dat2,dat3},dat1=NestList[henon,{x1,y1},m1];dat2=Flatten[dat1][[3;;-1;;2]];dat3=Mod[Floor[(2+dat2)*10^6],256]]]ps=f[0.3,0.23,30]返回值為：{240,4,204,52,14,106,206,79,232,189,113,50,255,186,203,163,254,170,182,123,147,207,33,81,174,249,115,33,211,113}。上述程序中在Compile模塊內部嵌入了Module模塊。Compile模塊的最大用處在于可以借助于Compile模塊比較不同算法的運算速度，Compile模塊本質上是機器語言程序，可以準確地反映算法的運行速度。本節(jié)以兩個常用的對稱密碼算法（RC4和SM4）為例，介紹Mathematica程序設計方法。這里使用了Module模塊作為程序設計基本單元。對于加密算法而言，輸入為明文和密鑰，輸出為密文；對于解密算法而言，輸入為密文和密鑰，輸出為明文。RC4是一種常用的流密碼，而SM4是我國的一項文本加密標準。7.5程序設計實例7.5.1RC4加密原理與實現(xiàn)RC4密碼，全稱為“RivestCipher4”，是一種典型的分組密鑰，習慣上稱之為流密碼，因為RC4可用于互聯(lián)網中的實時數(shù)據(jù)傳輸。RC4的密鑰長度可為1至256個字節(jié)，建議實際保密通信應用中使用128字節(jié)以上的密鑰。這里，設p表示明文，k表示密鑰，c表示密文，均為基于字節(jié)的向量。結合表7.6可知，對于RC4加密過程，輸入為密鑰k和長度為n個字節(jié)的明文p，輸出為長度為n個字節(jié)的密文c。具體的加密步驟如下：（1）密碼流初始化第1步：將密鑰k擴展為長度為256字節(jié)的key。設密鑰k的長度為m個字節(jié)，則key[i++]=k[(i++)modm],i=0,1,2,…,255(7.4)第2步：初始化長度為256字節(jié)的數(shù)組sbox，即sbox=[0,1,2,…,255]。第3步：循環(huán)變量i從0至255，循環(huán)執(zhí)行以下兩條語句：(i)j=(j+sbox[i]+key[i])mod256RC4加密過程如圖7-6所示(ii)互換sbox[i]與sbox[j]的值。經過上述3步得到的sbox稱為初始密碼流。（2）加密算法已知明文p的長度為n。初始化變量i=0、j=0。變量u從0至n-1，循環(huán)執(zhí)行以下語句：(i)i=(i++)mod256；(ii)j=(j+sbox[i])mod256；(iii)互換sbox[i]與sbox[j]的值；(iv)t=(sbox[i]+sbox[j])mod256；(v)c[u]=sbox[t]異或p[u]。最后得到的c即為密文。RC4加密過程如圖7-6所示需要注意的是RC4密碼不是一次一密算法，使用RC4密碼的通信雙方在“密碼流初始化”之后，將隨著圖7-6中k的增加持續(xù)加密過程。RC4可能的不安全性在于密碼流的重復（或循環(huán)再現(xiàn)）。因此，RC4密碼不宜長期使用，在使用一段時間（加密了足夠長的數(shù)據(jù)）后，應借助于公鑰技術替換RC4密碼的密鑰k。此外，RC4不宜加密大量的重復性內容，這種情況下即使密碼流是變化的，仍然有信息泄露的危險。RC4密碼的解密過程與加密過程相似，除了有兩點不同：（1）輸入為密鑰k和密文c，輸出為還原后的明文p；（2）圖7-6中有灰色填充的方框中的內容由原來的“c[u]=sbox[t]異或p[u]”變?yōu)椤皃[u]=sbox[t]異或c[u]”。現(xiàn)在，借助于Mathematica軟件實現(xiàn)RC4算法。首先，設密鑰k為71個字節(jié)長的字符串：“Donotforonerepulsegiveupthepurposethatyouresolvedtoeffect.”（僅作為示例，選自莎士比亞先生的名言，由于這個密鑰中存在大量重復的字符（包括空格），這并不是一個優(yōu)秀的密鑰）。然后，設明文p取為莎士比亞先生的另一段名言：“Ignoranceisthecurseofnature,knowledgethewingwherewithweflytoheaven.”（長80個字節(jié)）。7.5程序設計實例7.5.2SM4加密原理與實現(xiàn)商用密碼SM4是我國的一項文本數(shù)據(jù)加密標準，輸入密鑰長度為128比特，輸入的明文長度為128比特，輸出的密文長度也為128比特。如果用SM4加密長文本，需要使用CBC（密文分組鏈接）模式。SM4和DES（數(shù)據(jù)