第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（3分）若三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是（）A．3 B．6 C．9 D．122．（3分）在2023年中國國際智能汽車展覽會上，吉利控股集團正式宣布中國首款7納米車規(guī)級SoC芯片“龍鷹一號”的量產(chǎn)和供貨.7納米＝0.000000007米，0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．7×10﹣9 B．7×109 C．7×10﹣8 D．7×1083．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3?a＝2a4 B．（a3）3＝a9 C．（ab）3＝a3b D．a(chǎn)8÷a2＝a44．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，那么這個多邊形是（）A．三邊形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形6．（3分）觀察圖，用等式表示圖中圖形面積的運算為（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b27．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，則BC＝（）A．8 B．10 C．12 D．148．（3分）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖所示，△ABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得S△ABH＝S△BCH，則涼亭H是（）A．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點 B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點 C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點 D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，在BC的延長線上取點E，連接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，則∠CAE為（）A．20° B．32° C．38° D．42°10．（3分）如圖，∠MAN＝30°，點B是射線AN上的定點，點P是直線AM上的動點，要使△PAB為等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本題共16分，每小題2分）11．（2分）如圖，鋼架橋的設(shè)計中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是．12．（2分）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝．14．（2分）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，請補充條件：（寫出一個即可），使△ABC≌△DEF．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝39°，點D是AB的垂直平分線與BC的交點，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，則∠CDE的度數(shù)是．16．（2分）某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的WIFI密碼被設(shè)計成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小明在參觀時認真思索，輸入密碼后成功地連接到網(wǎng)絡(luò)．他輸入的密碼是．17．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值為．18．（2分）“回文詩”，是能夠回還往復(fù)，正讀倒讀皆成章句的詩篇，是我國古典文學(xué)作品中的一種有趣的特殊體裁．如“遙望四邊云接水，碧峰千點數(shù)鴻輕”，倒過來讀，便是“輕鴻數(shù)點千峰碧，水接云邊四望遙”．在數(shù)學(xué)中也有這樣一類正讀倒讀都一樣的自然數(shù)，我們稱之為“回文數(shù)”．例如11，343等．（1）在所有三位數(shù)中，“回文數(shù)”共有個；（2）任意一個四位數(shù)的“回文數(shù)”一定是的倍數(shù)（1除外）．三、解答題（本題共54分，19題4分，20-25題每題5分，26題6分，27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟19．（4分）尺規(guī)作圖“三等分角”是在公元前五世紀由古希臘人提出來的難題，該命題已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明是不可能的．熱愛數(shù)學(xué)的小明同學(xué)設(shè)計了一個用尺規(guī)三等分90°角的方案，老師認為他的想法是正確的．請你根據(jù)小明的做法補全圖形，并幫助小明完善證明過程．已知：∠AOB＝90°．求作：射線OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射線OB上取一點M，分別以點O、點M為圓心，OM長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C，連接CM，畫射線OC；②作∠COM的平分線OD．射線OC、OD為所求作射線．證明：∵，∴△MOC為等邊三角形．∴∠＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．20．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點A坐標為（﹣3，3），頂點B坐標為（﹣5，1），頂點C坐標為（﹣2，1）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A'B'C'（其中A，B，C的對稱點分別是A'，B'，C'）并寫出點B'的坐標；（2）畫出兩個與△ABC全等且有公共頂點C的三角形．（要求：三角形頂點的橫、縱坐標都是整數(shù)）21．（5分）如圖，點D在AB上，點E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求證：∠B＝∠C．22．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．23．（5分）解分式方程：．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代數(shù)式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．25．（5分）2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運動員的拼搏精神感染了眾多球迷．某校籃球社團人數(shù)迅增，急需購進A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價比B品牌籃球單價的2倍少48元，采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球分別需要花費9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價分別是多少．26．（6分）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通過觀察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)ac與常數(shù)項bd分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式2x2+11x+12的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）結(jié)合本題知識，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．27．（7分）如圖1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，點D在AC上，連接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，連接BE．作點A關(guān)于BC的對稱點F，連接EF，交BC于點M．（1）補全圖形，連接CF并寫出∠BCF＝（用含α的式子表示）；（2）當(dāng)α＝60°時，如圖2，①求證：EM＝FM；②直接寫出BM與AD的數(shù)量關(guān)系：．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和點A，若存在點Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，則稱點Q為點P關(guān)于點A的“鏈垂點”．（1）如圖1，①若點A的坐標為（2，1），則點A關(guān)于點O的“鏈垂點”坐標為；②若點B（5，3）為點O關(guān)于點C的“鏈垂點”，且點C位于x軸上方，試求點C的坐標；（2）如圖2，圖形G是端點為（1，0）和（2，1）的線段，圖形H是以點O為中心，各邊分別與坐標軸平行且邊長為6的正方形，點D為圖形G上的動點，對于點E（0，t）（t＜0），存在點D，使得點D關(guān)于點E的“鏈垂點”恰好在圖形H上，請直接寫出t的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（3分）若三角形的兩邊長分別為3和6，則這個三角形的第三邊長可以是（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取值范圍，即可得出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得第三邊應(yīng)大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，故第三邊的長度3＜x＜9，這個三角形的第三邊長可以是6．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式，確定取值范圍即可．2．（3分）在2023年中國國際智能汽車展覽會上，吉利控股集團正式宣布中國首款7納米車規(guī)級SoC芯片“龍鷹一號”的量產(chǎn)和供貨.7納米＝0.000000007米，0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．7×10﹣9 B．7×109 C．7×10﹣8 D．7×108【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故選：A．【點評】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3?a＝2a4 B．（a3）3＝a9 C．（ab）3＝a3b D．a(chǎn)8÷a2＝a4【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法法則，冪的乘方及積的乘方法則將各式計算后進行判斷即可．【解答】解：a3?a＝a4，則A不符合題意；（a3）3＝a9，則B符合題意；（ab）3＝a3b3，則C不符合題意；a8÷a2＝a6，則D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方及積的乘方，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．4．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；A選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．5．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，那么這個多邊形是（）A．三邊形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角和可得：（n﹣2）?180°＝360°×2，進行計算即可解答．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n﹣2）?180°＝360°×2，n﹣2＝4，n＝6，故選：D．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和是解題的關(guān)鍵．6．（3分）觀察圖，用等式表示圖中圖形面積的運算為（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】根據(jù)長方形和正方形的面積公式，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：圖1的面積＝（a+b）（a﹣b），圖2的面積＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：B．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握長方形和正方形的面積公式是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，則BC＝（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定得出AD＝DC＝4cm，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BD＝2AD＝8cm，再求出答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，∴AD＝DC，∵AD＝4cm，∴DC＝4cm，在Rt△BAD中，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8cm，∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm），故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出∠B和∠DAC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．8．（3分）東湖高新區(qū)為打造成“向往之城”，正建設(shè)一批精品口袋公園．如圖所示，△ABC是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路AB、AC的距離相等，且使得S△ABH＝S△BCH，則涼亭H是（）A．∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點 B．∠BAC的角平分線與AB邊上中線的交點 C．∠ABC的角平分線與AC邊上中線的交點 D．∠ABC的角平分線與BC邊上中線的交點【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得點H在∠BAC的角平分線上，再根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得△ABE的面積＝△BCE的面積，△AHE的面積＝△CHE的面積，然后利用等式的性質(zhì)可得△ABH的面積＝△CBH的面積，即可解答．【解答】解：如圖：∵AD平分∠BAC，點H在AD上，∴點H到AB、AC的距離相等，∵BE是AC邊上的中線，∴△ABE的面積＝△BCE的面積，△AHE的面積＝△CHE的面積，∴△ABE的面積﹣△AHE的面積＝△BCE的面積﹣△CHE的面積，∴△ABH的面積＝△CBH的面積，∴涼亭H是∠BAC的角平分線與AC邊上中線的交點，故選：A．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的角平分線和中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，在BC的延長線上取點E，連接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，則∠CAE為（）A．20° B．32° C．38° D．42°【分析】先利用角的和差關(guān)系可得∠DAE＝52°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD＝32°，從而利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°，∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠BAD＝∠CAD＝32°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝52°﹣32°＝20°，故選：A．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，∠MAN＝30°，點B是射線AN上的定點，點P是直線AM上的動點，要使△PAB為等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】有兩個角相等的三角形叫做等腰三角形，根據(jù)此條件可找出符合條件的點P，根據(jù)角的不同應(yīng)該能夠找到三個點構(gòu)成等腰三角形．【解答】解：如圖所示，滿足條件的點P共有4個．故選：D．【點評】本題考查等腰三角形的判定，有兩個角相等的三角形是等腰三角形，根據(jù)此判定定理可找符合條件的P點．二、填空題：（本題共16分，每小題2分）11．（2分）如圖，鋼架橋的設(shè)計中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是三角形具有穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點評】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．12．（2分）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x≠﹣1．【分析】根據(jù)分式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：根據(jù)題意，得x+1≠0，解得x≠﹣1；故答案為：x≠﹣1．【點評】本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝y(tǒng)（x﹣2y）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y(tǒng)（x2﹣4xy+4y2）＝y(tǒng)（x﹣2y）2，故答案為：y（x﹣2y）2【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，請補充條件：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）（寫出一個即可），使△ABC≌△DEF．【分析】在已知條件中有一對角相等和一組邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法可以補充∠B和∠DEF的另一邊相等，也可補充另一組角相等．【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴可再補充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF，也可以補充∠ACB＝∠DFE，利用AAS；也可補充BC＝EF，利用SAS；也可補充BE＝CF，從而可得到BC＝EF，利用SAS，故答案為：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝39°，點D是AB的垂直平分線與BC的交點，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，則∠CDE的度數(shù)是24°．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得∠ADE＝102°，進而求得∠CDE的度數(shù)．【解答】解：∵點D是AB的垂直平分線與BC的交點，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝39°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝102°，∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．故答案為：24°．【點評】此題考查翻折的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．16．（2分）某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的WIFI密碼被設(shè)計成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小明在參觀時認真思索，輸入密碼后成功地連接到網(wǎng)絡(luò)．他輸入的密碼是2024．【分析】將方括號內(nèi)的代數(shù)式進行化簡即可解決問題．【解答】解：由題知，[x15y2z3]＝1523，[x2y2z?x3y]＝[x5y3z]＝531，所以等號右邊的數(shù)字依次為等號左邊方括號內(nèi)最簡代數(shù)式中x，y，z的指數(shù)；又因為（x5）6y4z5÷x10y2z＝x20y2z4，所以[（x5）6y4z5÷x10y2z]＝2024．故答案為：2024．【點評】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能通過化簡代數(shù)式發(fā)現(xiàn)等號左邊的數(shù)字與左邊括號內(nèi)代數(shù)式指數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分線，若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值為2.4．【分析】如圖，作點Q關(guān)于AD的對稱點Q′，連接PQ′，過點C作CH⊥AB于點H．利用垂線段最短解決問題即可．【解答】解：如圖，作點Q關(guān)于AD的對稱點Q′，連接PQ′，CQ′，過點C作CH⊥AB于點H．∵AD是△ABC的角平分線，Q與Q'關(guān)于AD對稱，∴點Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，?AC?BC＝?AB?CH，∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值為2.4．故答案為：2.4．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，找到C點關(guān)于AD的對稱點，再由垂線段最短是求解的關(guān)鍵．18．（2分）“回文詩”，是能夠回還往復(fù)，正讀倒讀皆成章句的詩篇，是我國古典文學(xué)作品中的一種有趣的特殊體裁．如“遙望四邊云接水，碧峰千點數(shù)鴻輕”，倒過來讀，便是“輕鴻數(shù)點千峰碧，水接云邊四望遙”．在數(shù)學(xué)中也有這樣一類正讀倒讀都一樣的自然數(shù)，我們稱之為“回文數(shù)”．例如11，343等．（1）在所有三位數(shù)中，“回文數(shù)”共有90個；（2）任意一個四位數(shù)的“回文數(shù)”一定是11的倍數(shù)（1除外）．【分析】（1）百位數(shù)字和個位數(shù)字相同時，三位數(shù)是回文數(shù)，據(jù)此可得答案；（2）設(shè)四位數(shù)的回文數(shù)為，由1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），可知四位數(shù)的回文數(shù)是11的倍數(shù)．【解答】解：（1）當(dāng)百位數(shù)字和個位數(shù)字相同時，三位數(shù)是回文數(shù)，當(dāng)百位數(shù)字為1時，有10個回文數(shù)，同理百位數(shù)字為2時，有10個回文數(shù)…，∴三位數(shù)的回文數(shù)共有90個；故答案為：90；（2）證明：設(shè)四位數(shù)的回文數(shù)為，∵1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），∴1000a+100b+10b+a是11的倍數(shù)，即四位數(shù)的回文數(shù)是11的倍數(shù)，故答案為：11．【點評】本題考查整式的加減，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是理解回文數(shù)的概念．三、解答題（本題共54分，19題4分，20-25題每題5分，26題6分，27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟19．（4分）尺規(guī)作圖“三等分角”是在公元前五世紀由古希臘人提出來的難題，該命題已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明是不可能的．熱愛數(shù)學(xué)的小明同學(xué)設(shè)計了一個用尺規(guī)三等分90°角的方案，老師認為他的想法是正確的．請你根據(jù)小明的做法補全圖形，并幫助小明完善證明過程．已知：∠AOB＝90°．求作：射線OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．作法：①在射線OB上取一點M，分別以點O、點M為圓心，OM長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C，連接CM，畫射線OC；②作∠COM的平分線OD．射線OC、OD為所求作射線．證明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC為等邊三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明△COM是等邊三角形，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵OM＝OC＝CM，∴△MOC為等邊三角形．∴∠COB＝60°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝30°．∵OD平分∠COM，∴∠COD＝∠DOB＝30°．∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．故答案為：OM＝OC＝CM，∠COB．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．20．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點A坐標為（﹣3，3），頂點B坐標為（﹣5，1），頂點C坐標為（﹣2，1）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A'B'C'（其中A，B，C的對稱點分別是A'，B'，C'）并寫出點B'的坐標；（2）畫出兩個與△ABC全等且有公共頂點C的三角形．（要求：三角形頂點的橫、縱坐標都是整數(shù)）【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．（2）根據(jù)全等三角形的判定畫圖即可．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求．點B'的坐標為（5，1）．（2）如圖，△DBC和△DEC即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、全等三角形的判定，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．21．（5分）如圖，點D在AB上，點E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求證：∠B＝∠C．【分析】證△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AD＝AE，BD＝EC，∴AD+BD＝AE+EC，即AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．22．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝﹣．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．23．（5分）解分式方程：．【分析】利用解分式方程的步驟解方程即可．【解答】解：原方程去分母得：x＝2x﹣1+3，移項，合并同類項得：﹣x＝2，系數(shù)化為1得：x＝﹣2，檢驗：將x＝﹣2代入（2x﹣1）得﹣4﹣1＝﹣5≠0，故原方程的解為x＝﹣2．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代數(shù)式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．【分析】先利用完全平方公式，多項式乘多項式的法則進行計算，然后把x2+2x＝2代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【解答】解：（x﹣3）（x+5）+（x+1）2＝x2+5x﹣3x﹣15+x2+2x+1＝2x2+4x﹣14，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴當(dāng)x2+2x＝2時，原式＝2（x2+2x）﹣14＝2×2﹣14＝4﹣14＝﹣10．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，完全平方公式，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．25．（5分）2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運動員的拼搏精神感染了眾多球迷．某?；@球社團人數(shù)迅增，急需購進A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價比B品牌籃球單價的2倍少48元，采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球分別需要花費9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價分別是多少．【分析】設(shè)B品牌籃球單價為x元，由題意可得A品牌籃球單價為（2x﹣48）元，根據(jù)“采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球分別需要花費9600元和7200元”，列出相應(yīng)的方程，解答即可．【解答】解：設(shè)B品牌籃球單價為x元，則A品牌籃球單價為（2x﹣48）元，由題意，可得：，解得：x＝72，經(jīng)檢驗，x＝72是所原方程的解，所以A品牌籃球的單價為：2×72﹣48＝96（元）．答：A品牌籃球單價為96元，B品牌籃球單價為72元．【點評】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．26．（6分）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通過觀察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)ac與常數(shù)項bd分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式2x2+11x+12的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；（3）結(jié)合本題知識，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．【分析】（1）（2）（3）仿照題例，找到滿足條件的a、b、c、d，分解即可．【解答】解：（1）x2+6x﹣27＝（x+9）（x﹣3）；（2）6x2﹣7x﹣3＝（3x+1）（2x﹣3）；（3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2]＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）．【點評】本題考查了整式的因式分解，看懂題例掌握“十字相乘法”是解決本題的關(guān)鍵．27．（7分）如圖1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，點D在AC上，連接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，連接BE．作點A關(guān)于BC的對稱點F，連接EF，交BC于點M．（1）補全圖形，連接CF并寫出∠BCF＝90°﹣（用含α的式子表示）；（2）當(dāng)α＝60°時，如圖2，①求證：EM＝FM；②直接寫出BM與AD的數(shù)量關(guān)系：AD＝2BM．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形，由AB＝BC，∠ABC＝α，可得∠ACB＝∠BAC＝90°﹣，而A，F(xiàn)關(guān)于BC對稱，故∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；（2）①連接AE，AM，AF，設(shè)AF交BC于H，由α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，知△ABC和△BDE是等邊三角形，即可證明△AEB≌△CDB（SAS），得∠EAB＝∠DCB＝60°，從而∠EAC+∠ACB＝180°，AE∥BC，由A，F(xiàn)關(guān)于BC對稱，有AF⊥BC，AM＝FM，即可得∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，知EM＝AM＝FM；②在MC上取點N，使MN＝BM，連接FN，證明△BME≌△NMF（SAS），可得BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，即得BD＝BE＝NF，而∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，有∠EBA＝∠NFC，∠DBC＝∠NFC，可證△NCF≌△DCB（ASA），得CN＝CD，有BN＝AD，從而得AD＝2BM．【解答】（1）解：補全圖形如下：∵AB＝BC，∠ABC＝α，∴∠ACB＝∠BAC＝（180°﹣α）÷2＝90°﹣，∵A，F(xiàn)關(guān)于BC對稱，∴∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；故答案為：90°﹣；（2）①證明：連接AE，AM，AF，設(shè)AF交BC于H，如圖：∵α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，∴△ABC和△BDE是等邊三角形，∴BD＝BE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠EBD﹣∠ABD，即∠DBC＝∠EBA，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB＝60°，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝120°，∴∠EAC+∠ACB＝180°，∴AE∥BC，∵A，F(xiàn)關(guān)于BC對稱，∴AF⊥BC，AM＝FM，∴AF⊥AE，∠MAF＝∠MFA，∴∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，∴EM＝AM，∴EM＝FM；②解：AD＝2BM，理由如下：在MC上取點N，使MN＝BM，連接FN，如圖：由①知，EM＝FM，∠EBA＝∠DBC，∵∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF（SAS），∴BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，∵△BDE是等邊三角形，∴BD＝BE＝NF，∵∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，∴∠EBA＝∠NFC，∴∠DBC＝∠NFC，∵A，F(xiàn)關(guān)于BC對稱，∴CF＝AC＝BC，∠NCF＝∠DCB，∴△NCF≌△DCB（ASA），∴CN＝CD，∵BC＝AC，∴BC﹣CN＝AC﹣CD，即BN＝AD，∵MN＝BM，∴BN＝2BM，∴AD＝2BM．【點評】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，設(shè)計全等三角形判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和點A，若存在點Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，則稱點Q為點P關(guān)于點A的“鏈垂點”．（1）如圖1，①若點A的坐標為（2，1），則點A關(guān)于點O的“鏈垂點”坐標為（