（人教版）數(shù)學(xué)

九年級(jí)上22.1.2

二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)1.會(huì)畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系。(XXX年版課標(biāo)新增，將“會(huì)”調(diào)整為“能”，刪除“用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象”)2.會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問題。(XXX年版課標(biāo)新增，將“簡單”調(diào)整為“相應(yīng)的”)3.了解函數(shù)的概念和表示法，能舉出函數(shù)的實(shí)例(XXX年版課標(biāo)將“三種表示法”調(diào)整為“表示法”)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)小組的成員琳琳和悅悅在研究完二次函數(shù)的定義后，對(duì)于二次函數(shù)接下來的研究方向展開了討論，并且有了明確的目標(biāo)，你能補(bǔ)全她們的對(duì)話嗎？琳琳悅悅m，那么你能列出怎樣方程？參照我們是有的，你難道忘了_____函數(shù)?我們可以類比______函數(shù)來繼續(xù)研究二次函數(shù)一次一次m，那么你能列出怎樣方程？對(duì)呀，我記得我們?cè)趯W(xué)習(xí)完一次函數(shù)的定義后，緊接著學(xué)習(xí)的是一次函數(shù)的_____和_____，那么二次函數(shù)接下來我們也可以研究它的_____和_____圖象性質(zhì)圖象性質(zhì)m，那么你能列出怎樣方程？沒錯(cuò)，那你還記得一次函數(shù)的圖象是什么嗎？我們?cè)撊绾稳ギ嫼瘮?shù)圖象？我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了二次函數(shù)的定義，接下來我們?cè)撗芯慷魏瘮?shù)的什么呢？如果能有個(gè)參照就好了琳琳悅悅m，那么你能列出怎樣方程？一次函數(shù)的圖象是__________,畫函數(shù)圖象的方法是________,步驟是_____、_____、_____m，那么你能列出怎樣方程？對(duì)了，圖象我們畫好了，那二次函數(shù)的性質(zhì)我們應(yīng)該如何去研究呢？一條直線描點(diǎn)法列表描點(diǎn)連線m，那么你能列出怎樣方程？這個(gè)簡單，我們可以根據(jù)畫出來的__________來研究函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象m，那么你能列出怎樣方程？我們可以先用描點(diǎn)法畫出之前的操場的半圓形跑道面積y=3x2的圖象，看看它有什么特點(diǎn)1.列表：在y=3x2中自變量x可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值：x…3210123…y=x2…

…

27123032712琳琳悅悅m，那么你能列出怎樣方程？悅悅，我發(fā)現(xiàn)表格中所表示的這些點(diǎn)好像有一定的規(guī)律，你能說說看嗎？m，那么你能列出怎樣方程？我發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)_______________,縱坐標(biāo)_____互為相反數(shù)時(shí)相等m，那么你能列出怎樣方程？是的，所以我猜測橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，是關(guān)于_______互相對(duì)稱的y軸m，那么你能列出怎樣方程？好的，那等我們畫出圖象實(shí)際看一看你的猜想是否正確2.描點(diǎn)：根據(jù)表中x，y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x，y)3.連線：如圖，用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，就得到y(tǒng)=3x2

的圖象．悅悅m，那么你能列出怎樣方程？這個(gè)二次函數(shù)有哪些性質(zhì)呢？琳琳的猜想正確嗎？我們一起來看關(guān)于y軸對(duì)稱.y=3x2開口向上在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小(x<0)在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大(x>0)1.是一條曲線，叫做拋物線

y=x2.2.圖象位于x軸上方（除原點(diǎn)外）,y>0，但是因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以y的取值范圍是y≥03.在拋物線上任取一點(diǎn)（m,m2），我們發(fā)現(xiàn)：①圖象過原點(diǎn)(0,0)，有最低點(diǎn)（拋物線頂點(diǎn)），函數(shù)值是最小值？我的猜想是對(duì)的琳琳琳琳m，那么你能列出怎樣方程？悅悅，你還記得當(dāng)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，影響一次函數(shù)的傾斜程度的是什么嗎？悅悅m，那么你能列出怎樣方程？我記得，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)_______,函數(shù)傾斜程度_______;一次項(xiàng)系數(shù)_______,函數(shù)傾斜程度_______;越高越大越小越低m，那么你能列出怎樣方程？對(duì)了，那你覺得二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是否也有類似的性質(zhì)？我們?cè)撊绾稳パ芯磕?？m，那么你能列出怎樣方程？我覺得應(yīng)該也是有的，我們可以多畫幾個(gè)函數(shù)圖象來研究一下，比如：

和y=x2分別列表：

x...432101234......84.520.500.524.58...x...21.510.500.511.52...y=2x2...84.520.500.524.58...x…3210123…y=x2…9

4

1

01

4

9

…

12345x1543211yO23452678函數(shù)

有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？相同點(diǎn)：1.開口向上

2.都以y軸為對(duì)稱軸對(duì)稱3.都過（0,0）不同點(diǎn)：開口的大小不同由此可見：當(dāng)a＞0時(shí)，a的值越大，開口越小；a的值越小，開口越大.

請(qǐng)總結(jié)出a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2圖象有何特點(diǎn)？并與同伴交流.思考y=ax2文字語言圖形/符號(hào)語言x取值范圍y取值范圍圖象開口對(duì)稱軸頂點(diǎn)最值增減性全體實(shí)數(shù)非負(fù)數(shù)y≥0拋物線向上y軸原點(diǎn)(0,0)最小值（最低點(diǎn)）x=0時(shí)，ymin=0在對(duì)稱軸左側(cè)，拋物線從左到右下降；x<0時(shí)，y隨x增大而減小在對(duì)稱軸右側(cè)，拋物線從左到右上升；x>0時(shí)，y隨x增大而增大

1

當(dāng)x1<x2<0時(shí)，y1>y2當(dāng)0<x1<x2時(shí)，y1<y2yOxyOx①函數(shù)y=4x2

的圖象的開口

，對(duì)稱軸為

，頂點(diǎn)是

；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而

，

在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而

.

向上y軸(0，0)減小增大y②判斷點(diǎn)A(2,16)在二次函數(shù)圖象上嗎？解：當(dāng)x=2時(shí)，y=4x2

=16，所以點(diǎn)A(2,16)在二次函數(shù)圖象上.③對(duì)于(a,b)和(c,d)這兩點(diǎn)，若a＜c＜0，則b和d的大小關(guān)系是什么？若0＜a＜c，則b和d的大小關(guān)系是什么？解：若a＜c＜0，則兩點(diǎn)在x軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，所以b＞d若0＜a＜c，則兩點(diǎn)在x軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，所以b＜d小試牛刀1④請(qǐng)分別寫出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；B(2,16)C(2,16)D(2,16)⑤點(diǎn)B、C、D在二次函數(shù)y=4x2的圖象上嗎？在二次函數(shù)y=4x2的圖象上嗎？點(diǎn)B、點(diǎn)D在y=4x2的圖象上，點(diǎn)C在y=4x2的圖象上.⑥當(dāng)3<x<2時(shí)，二次函數(shù)y=4x2的范圍是多少？分析：畫草圖研究，或者利用對(duì)稱性研究，可得0≤y<36函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)(－3,a),(－1,b),(2,c)，比較a，b，c的大小關(guān)系.解法1代數(shù)法：將－3，－1，2分別代入函數(shù)解析式，求出a=3，b=，c=,進(jìn)而比較大小.解法2

對(duì)稱性：因?yàn)?/p>

，所以a=>0,所以圖象開口朝上，可以畫出草圖：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(2,c)也即過它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(－2,c)，∴由圖可得a>c>b.yOx2c2(2,c)(2,c)13ab小試牛刀2解法3

數(shù)形結(jié)合法：

因?yàn)?/p>

，所以a=>0,所以圖象開口朝上，由三點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以知道三點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離，明確三點(diǎn)的大致位置，從而畫出草圖：

由圖可得a,b,c的位置：所以a>c>byOx213abc歸納代數(shù)法對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合法特點(diǎn)直接計(jì)算，比較數(shù)字大小畫草圖，利用對(duì)稱性將點(diǎn)都放在函數(shù)圖象的一側(cè)，利用增減性來判斷畫草圖，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)明確點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離，再結(jié)合開口方向，畫出點(diǎn)的大致位置，從而判斷大小二次函數(shù)比較縱坐標(biāo)大小方法數(shù)形結(jié)合法是最好的琳琳m，那么你能列出怎樣方程？我們剛剛已經(jīng)學(xué)會(huì)了y=ax2(a>0)的圖象和性質(zhì)，那y=ax2(a<0)的圖象和性質(zhì)是怎樣的呢？悅悅m，那么你能列出怎樣方程？我們可以類比探究開口大小的方法，多畫幾個(gè)y=ax2(a<0)的圖象，來看看它們的特點(diǎn)，比如：

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)

的圖象．列表如下：x···－4－3－2－101234·········

－8－2

－0.50

－8

－4.5

－2

－0.5

－4.5x···－2－1.5－1－0.500.511.52···y=2x2······

－4.5

－8－2－0.50－8－4.5－20.5x…3210123…y=x2…

…

9410

194xyO－22－2－4－64－4－8觀察拋物線

，考慮這些拋物線有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn).相同點(diǎn)：1、開口向下；2、對(duì)稱軸是y軸；4、頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)；是

拋物線上的最高點(diǎn)；5、當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增

大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.不同點(diǎn)：開口大小不一樣

總結(jié)(結(jié)合a>0的開口大小規(guī)律)：當(dāng)|a|越大時(shí)，開口越??；|a|越小時(shí)，開口越大

當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2的圖象有什么特點(diǎn)？1、開口向下；2、對(duì)稱軸是y軸；3、a的值越小，開口越小；a的值越大，開口越大；4、頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)；是拋物線上的最高點(diǎn)；5、當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.思考?xì)w納

二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的函數(shù)圖象及其性質(zhì)y＝ax2a>0a<0圖象開口對(duì)稱性頂點(diǎn)最值增減性開口向上，在x軸上方開口向下，在x軸下方|a|越大，開口越小，|a|越小，開口越大關(guān)于y軸（直線x＝0）對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0在對(duì)稱軸左側(cè)(x<0)y隨x增大而減小在對(duì)稱軸右側(cè)(x>0)y隨x增大而增大在對(duì)稱軸左側(cè)(x<0)y隨x增大而增大在對(duì)稱軸右側(cè)(x>0)y隨x增大而減小yOxyOx

①函數(shù)y=5x2的圖象的開口

，對(duì)稱軸為

，頂點(diǎn)是

；在對(duì)稱軸的左側(cè)，

y隨x的增大而

，在對(duì)稱軸的右側(cè)，

y隨x的增大而

.

②已知A(1,a)，B(3,b)，則a

b(填“>”、“<”或“=”)向下y軸(0，0)減小增大＞小試牛刀3思考二次函數(shù)

y=ax2與

y=?ax2(a＞0)的關(guān)系是什么？xyOy=ax2y=?ax2二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，開口方向相反，開口大小相同，它們關(guān)于

x軸對(duì)稱.隨堂練習(xí)②函數(shù)

y

=

x2

的圖象的開口

，對(duì)稱軸是

，

頂點(diǎn)是

，頂點(diǎn)是拋物線的最

點(diǎn)；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨

x的增大而

，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨

x的增大而

.

①

函數(shù)

y

=

?3x2

的圖象的開口

，對(duì)稱軸是

，頂點(diǎn)是

，頂點(diǎn)是拋物線的最

點(diǎn)；在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨

x的增大而

，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨

x的增大而

.向下y

軸(0，0)向上y

軸(0，0)高低增大減小減小增大2.已知點(diǎn)A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函數(shù)y=9x2圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3

C．y2＜y1＜y3