專題07立體幾何題型概覽題型01空間中的點(diǎn)線面位置關(guān)系題型02空間幾何體的表面積與體積題型03有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切求的問題題型04有關(guān)立體幾何中的最值與軌跡問題題型05有關(guān)空間線線角與線面角的問題題型06有關(guān)空間二面角的問題題型01空間幾的點(diǎn)線面位置關(guān)系題型011．（多選）（2025·四川省涼山州·三模）已知直線和平面，則下列命題中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（多選）（2025年山西省呂梁市三模）已知在正四面體中，M，N分別是的中點(diǎn)，平面與直線都平行，則（

）A．B．C．直線與平面所成角為D．平面與平面的夾角的余弦值為3．（2025·四安徽合肥市·三模）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（

）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于4．（多選）（2025·遼寧沈陽·三模）塹堵、陽馬、鱉臑這些名詞出自中國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》．如圖1，把一塊長方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐稱為陽馬，三棱錐稱為鱉臑．則（

）A．陽馬的四個(gè)側(cè)面中僅有兩個(gè)是直角三角形B．鱉臑的四個(gè)面均為直角三角形C．陽馬的體積是鱉臑的體積的兩倍D．塹堵、陽馬與鱉臑的外接球的半徑都相等5．（2025年天津市濱海新區(qū)三模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則6．（多選）（2025·河南省鶴壁市·三模）如圖1，在中，，，，、分別在AB，AC上，且.將沿翻折得到圖2，其中.記三棱錐外接球球心為，球表面積為，三棱錐外接球球心為，球表面積為，則在圖2中，下列說法正確的有（

）A．B．直線與所成角的正弦值為C．平面D．7．（2025·浙江省金華市義烏市·三模）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，，點(diǎn)為的重心.(1)證明：平面；(2)若平面平面，求二面角的平面角的正切值.題型02空間幾何體的表面積與體積題型021．（2025年山東威海市三模）已知圓臺(tái)的上底面半徑、下底面半徑、母線長之比為1:2:3，高為4，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．2．（2025·四川省涼山州·三模）某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐的高為（

）A． B．1 C．2 D．3．（2025·四川省成都市·三模）已知正四棱臺(tái)的上底面邊長為4，下底面邊長為8，側(cè)棱長為，則其體積為（

）A．108 B．112 C．120 D．1244．（2025·山東省棗莊市·三模）已知圓錐的體積為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為（）A． B．1 C． D．25．（2025·浙江省金華市義烏市·三模）將一個(gè)棱長為6cm的正方體鐵塊熔鑄成一個(gè)底面半徑為3cm的圓錐體零件，則該圓錐體零件的高約為（

）（?。〢．8cm B．12cm C．16cm D．24cm6．（多選）（2025·四川省宜賓市·三模）“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，某廣場的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的棱長都為2，則（

）A．該石凳的表面積為B．該石凳的體積為C．直線與的夾角為D．平面7．（2025·陜西省安康市·三模）如圖1，在直角梯形中，，為線段上的一點(diǎn)，，過作的平行線交于，將矩形翻折至與梯形垂直，得到六面體，如圖2，則六面體的體積為（

）

A． B． C． D．8．（2025年天津市濱海新區(qū)三模）如圖，該幾何體為“四角反棱臺(tái)”，它是由兩個(gè)相互平行的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，連接而成，且上底面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在下底面的射影點(diǎn)為下底面正方形各邊的中點(diǎn)．若下底面正方形邊長為2，“四角反棱臺(tái)”高為，則該幾何體體積為（

）A． B． C． D．209．（2025年山東省泰安市三模）已知正三棱柱的表面積為，則當(dāng)其體積取得最大值時(shí)，該三棱柱的高為（

）A．3 B． C． D．10．（2025年江蘇如皋市三模）已知正三棱臺(tái)，，點(diǎn)O為底面，的重心，過點(diǎn)O，，的截面將該三棱臺(tái)分成兩個(gè)幾何體，則這兩個(gè)幾何體的體積之比為（

）A． B． C． D．11．（2025·河南省安陽市·三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為V，母線所成角的余弦值為，與圓錐底面所成的角為，若圓錐的側(cè)面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．12．（多選）（2025·河北省張家口·三模）在三棱錐中，，，為等邊三角形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，，，三棱錐的體積為，則（

）A．若，則B．若，則三棱錐的外接球的表面積為C．若平面，則四棱錐的體積為D．若，與平面所成角相等，則13．（2025·四川省攀枝花·三模）已知母線長為10的圓臺(tái)的表面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑R滿足，則．14．（2025·河南省焦作市·三模）我們把幾何體的表面積與體積之比稱為“相對積”．已知三棱錐中，分別在棱上，且截面與底面平行，，則三棱錐與三棱錐的相對積之比為．15．（2025·四川省綿陽市·三模）如圖1，等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，且，將梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如圖的多面體，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)求的長；(3)在上取一點(diǎn)，使得平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.16．（2025年山西省呂梁市三模）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，．(1)證明：平面平面；(2)若，當(dāng)平面與平面的夾角為時(shí)，求該多面體的體積．題型03有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切求的問題題型031．（2025·四川省德陽市·三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則的值為（

）A． B． C．3 D．42．（2025·遼寧沈陽·三模）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋．可放小球的最大半徑為．若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為，則（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽省安慶市·三模）正四棱臺(tái)上底面邊長為1，下底面邊長為2，若一個(gè)球的球心到正四棱臺(tái)各個(gè)面的距離均等于該球的半徑，則正四棱臺(tái)與該球的體積之比為（

）A． B． C． D．4．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）正三棱臺(tái)的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2025年江蘇如皋市三模）已知正四棱臺(tái)上底面邊長為，下底面邊長為，高為3，則該四棱臺(tái)外接球的表面積為．6．（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）已知棱長為1的正方體，在其內(nèi)部放入兩個(gè)相外切的球和球（可與正方體表面相切），半徑分別為，則的最大值為．7．（2025年山西省呂梁市三模）已知圓柱的上、下底面圓周在同一球面上，且球的表面積是圓柱的表面積的2倍，則球的體積與圓柱的體積的比值是．8．（2025·浙江省金華市義烏市·三模）已知四棱錐的底面為菱形，三棱錐為正四面體，則三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為.9．（2025·湖南省永州市·三模）已知四棱臺(tái)的底面為矩形，上底面積為下底面積的，所有側(cè)棱長均為.當(dāng)該四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為.10．（2025·四川省攀枝花·三模）如圖，在四面體中，D為棱上一點(diǎn)，，，，且，，二面角的大小為．(1)證明：平面；(2)求四面體外接球的體積；(3)求的長．題型04有關(guān)立體幾何中的最值與軌跡問題題型041．（2025·重慶市·三模）已知長方體中，，，E為的中點(diǎn).若長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成面積為（

）A．24 B．18 C． D．122．（2025年河北石家莊三模）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框架ABCD的邊長為2，長方形框架ABEF的長，且它們所在平面形成的二面角的大小為，活動(dòng)彈子M，N分別在對角線和上移動(dòng)，且始終保持，則的長度最小時(shí)a的取值為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2025·山東省棗莊市·三模）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)的軌跡長度為C．線段長度的最小值為 D．的最小值為4．（多選）（2025年河北石家莊三模）已知四面體中，，，，為四面體外接球的球心，則下列說法中正確的是（

）A．若，則平面B．若，則的取值范圍是C．若，則的取值范圍是D．若，直線與所成的角為，則四面體外接球的表面積為5．（多選）（2025·安徽省安慶市·三模）如圖，棱長為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則三棱錐的體積為定值C．若，則直線與直線所成角的最小值為60°D．若動(dòng)點(diǎn)在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)的軌跡長度為7．（多選）（2025年江西省萍鄉(xiāng)市三模）已知正方體中，動(dòng)點(diǎn)、分別在棱、（不含端點(diǎn)）上，則（

）A．B．若、分別為所在棱的中點(diǎn)，則平面將正方體的體積平分C．不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等D．當(dāng)由向運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面與正方體形成的截面面積逐漸增大8．（多選）（2025年江西九江市三模）如圖，在五面體中，底面是邊長為的正方形，，平面，，到底面的距離為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部（含邊界）．則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得C．該五面體的體積為D．若，則點(diǎn)的軌跡長度為9．（2025年山東威海市三模）在三棱錐中，平面，．若為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，的軌跡與所圍成區(qū)域的面積為．10．（2025年山東省泰安市三模）如圖，四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，且，，平面.

(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最小值.11．（2025·遼寧沈陽·三模）如圖所示，在直角梯形中，，A，D分別是，上的點(diǎn)，且，，，，將四邊形沿向上折起，連接，，，在折起的過程中，記二面角的大小為，記幾何體的體積為V．(1)求證：平面；(2)當(dāng)時(shí)，請將V表達(dá)為關(guān)于的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值；(3)若平面和平面垂直，當(dāng)取得最大值時(shí)，求V的值．題型05有關(guān)空間線線角與線面角的問題題型051．（多選）（2025·河南省焦作市·三模）在三棱錐中，已知為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．長度的取值范圍是B．直線與平面所成的角為C．若，則，所成的角為D．若，則三棱錐外接球的表面積為2．（2025年廣東省廣州市天河區(qū)三模）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，且．(1)求證：；(2)若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，，AC與BD的交點(diǎn)為O，．(1)求證：；(2)若，，，求與平面所成角的余弦值．4．（2025·山東省棗莊市·三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面平面；(2)若，直線與平面所成角的正切值等于2，求平面與平面夾角的余弦值.5．（2025·湖南省永州市·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若直線AP與DF的夾角的余弦值為，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.6．（2025年江西九江市三模）如圖，在四棱錐中，平面，且，為的中點(diǎn)，平面與平面．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成的角．7．（2025·四川省成都市·三模）如圖，在矩形中，，，為EC中點(diǎn)，將沿AD翻折至，使得.(1)證明：平面平面；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)，使得AT與平面PAD所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.8．（2025·安徽省安慶市·三模）如圖，四棱錐中，平面平面，為棱上一點(diǎn).

(1)證明：；(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值.9．（2025·湖南省郴州市·三模）空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成（其中均為常數(shù)，），為該平面的一個(gè)法向量.已知球的半徑為4，點(diǎn)均在球的球面上，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.平面內(nèi)的點(diǎn)在球面上，點(diǎn)在軸上的投影在軸的正半軸上，，過直線作球的截面，使得平面平面，設(shè)截面與球球面的交線為圓（為線段的中點(diǎn)）.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若平面，證明：平面平面.(3)已知點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)線段在平面內(nèi)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度至，點(diǎn)在圓上，且，過作平面，垂足為點(diǎn).①用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；②若，求點(diǎn)到平面距離的最大值；③若，當(dāng)直線與平面所成的角最小時(shí)，求的值.題型06有關(guān)空間二面角的問題題型061．（2025·陜西省安康市·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，是線段的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角的余弦值．2．（20