第二十一章四邊形21.1.2多邊形及其內(nèi)角和21.1四邊形及多邊形八下數(shù)學RJ1.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式;2.能運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關問題，提升推理能力.多邊形在生活中也很常見，觀察下圖中的圖片，你能從中找出一些多邊形的形象嗎？與三角形、四邊形類似，如圖，在平面內(nèi)，由n(n≥3)條線段A?A?，A?A?，…，An-1An，AnA?首尾順次相接，組成的圖形叫作多邊形.邊頂點對角線內(nèi)角外角與三角形、四邊形類似，如圖，在平面內(nèi)，由n(n≥3)條線段A?A?，A?A?，…，An-1An，AnA?首尾順次相接，組成的圖形叫作多邊形.邊頂點對角線內(nèi)角說明：n(n≥3)邊形共有n條邊，n個頂點，n個內(nèi)角，2n個外角，從一個頂點處可以引(n-3)條對角線.

外角多邊形的邊、頂點、內(nèi)角、外角、對角線的概念與四邊形相應的概念類似.多邊形有幾條邊就叫作幾邊形.多邊形同樣用表示它的各個頂點的字母表示，例如，圖中的六邊形，記作“六邊形ABCDEF”.AEDCBF與四邊形類似，在多邊形中，有的是凸多邊形，有的不是凸多邊形.今后，如無特殊說明，所討論的多邊形都是凸多邊形.我們知道，正方形的各個角都相等，各條邊都相等.像正方形這樣，各個角都相等、各條邊都相等的多邊形叫作正多邊形.下圖中是正多邊形的一些例子.正三角形正方形正五邊形正六邊形例1

下列圖形中，一定是正多邊形的是()A.直角三角形B.等腰三角形C.長方形D.正方形三條邊不都相等，三個角不都相等.三條邊不一定都相等，三個角也不一定都相等.四個角都相等，但四條邊不一定都相等.四條邊都相等，四個角都相等.D探究

類比四邊形的內(nèi)角和的推導過程，你能推導出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少度嗎？由上述推導過程，你能得出多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關系嗎？(1)從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以引______條對角線，將四邊形分成______個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于_____×180°；(2)從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引______條對角線，將五邊形分成______個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于_____×180°；221332(3)從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引______條對角線，將六邊形分成______個三角形，六邊形內(nèi)角和等于_____×180°；(4)從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引______條對角線，將n邊形分成______個三角形，n邊形內(nèi)角和等于_____×180°.443(n-2)(n-3)(n-2)把一個多邊形分成若干個三角形，還有其他分法嗎？由新的分法，能得出多邊形的內(nèi)角和公式嗎？把一個多邊形分成若干個三角形，還有其他分法.可在多邊形的內(nèi)部或一邊上任取一點，將該點與各頂點連接得到n個或(n-1)個三角形，由此可推導出多邊形內(nèi)角和公式.具體如下表方法圖示方法1：如圖所示，在n邊形內(nèi)任取一點P，連接PA?,PA?,...,PAn，把n邊形分成n個三角形，這n個三角形的內(nèi)角和為n×180°，再減去一個周角的度數(shù)，即得n邊形的內(nèi)角和為n×180°-360°=(n-2)×180°.把一個多邊形分成若干個三角形，還有其他分法.可在多邊形的內(nèi)部或一邊上任取一點，將該點與各頂點連接得到n個或(n-1)個三角形，由此可推導出多邊形內(nèi)角和公式.具體如下表方法圖示方法2：如圖所示，在n邊形的一邊上任取一點P與各頂點相連，得(n-1)個三角形，n

邊形內(nèi)角和等于這(n-1)個三角形的內(nèi)角和減去在點P處的一個平角的度數(shù)，即得n邊形的內(nèi)角和為(n-1)×180°-180°=(n-2)×180°.這樣就得出了多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.例2

若一個六邊形的每個內(nèi)角都是x°，則x的值為（

）A.60 B.90 C.120 D.150解析：∵一個六邊形的每個內(nèi)角都是x°，∴ 6×x°=(6?2)×180°，解得

x=120.C跟蹤訓練

如圖，在正六邊形ABCDEF中，∠CAE的度數(shù)是_______．60°

ADCEBF探究

與四邊形的外角和類似，在多邊形的每個頂點處各取一個外角、它們的和叫作多邊形的外角和.多邊形的外角和等于多少度？請你說明理由.與四邊形類似，多邊形的每一個內(nèi)角與和它相鄰的外角是鄰補角，因此n邊形的內(nèi)角和與外角和的總和等于n×180°，外角和等于

n×180°-(n-2)×180°=360°.這樣就得出了多邊形的外角和公式：n邊形的外角和等于360°.也可以這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°：如圖，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形的各邊依次走過各頂點，再回到點A,然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向.在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和，就是多邊形的外角和，由于走了一周，所轉(zhuǎn)的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°例3

一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的2倍，這個多邊形是幾邊形？解：設這個多邊形的邊數(shù)為n.因為它的內(nèi)角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以(n-2)×180°=2×360°.解得

n=6.因此這個多邊形是六邊形.跟蹤訓練

圖(1)是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消融，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美.圖(2)是從圖(1)冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的一個圖形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，則∠1的度數(shù)為（

）A.57 B.66° C.63° D.67°解析：∵多邊形的外角和等于360°，∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°.D圖（1）

圖（2）1.求出下列圖形中x的值：x°x°x°x°x°2x°150°120°(1)(2)(3)135°150°x°AB//CDBACDE解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60.(2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135.(3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75.2.(1)一個多邊形的內(nèi)角和等于1080°，這個多邊形是幾邊形？解：（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)×180°=1080°，得

n=8，所以這個多邊形是八邊形.2.(2)一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°，這個多邊形是幾邊形？解：（2）方法一：∵該多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°，∴該多邊形的每一個外角都等于60°。360°÷60°=6，∴這個多邊形是六邊形.方法二：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)×180°=120°×n，解得

n=6，所以這個多邊形是六邊形.2.(3)一個多邊形的每一個外角都等于72°，這個多邊形是幾邊形？解：（3）∵該多邊形的每一個外角都等于72°，360°÷72°=5，∴這個多邊形是五邊形.利用多邊形的內(nèi)角（和）、外角（和）求邊數(shù)的方法1.已知n邊形的內(nèi)角和（或已知正n邊形的一個外角），可利用n邊形的內(nèi)角和公式（或利用n邊形的外角和為360°）求邊數(shù)；2.已知正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為m,可通過列方程(n-2)·180°=mn求邊數(shù)；3.已知多邊形內(nèi)角和與外角和之間的數(shù)量關系，可列方程求邊數(shù).3.參加科創(chuàng)興趣小組的同學，給機器人設定了如圖所示的程序，機器人從點O出發(fā)，沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)18°，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)18°……照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地O點時，一共走的路程是（）A.10米 B.18米 C.20米 D.36米解析：由題意，得機器人走的路徑是一個邊長為1米，每個外角都為18°的正多邊形.360°÷18°=20