【第29講：復(fù)數(shù)】【新高考課標(biāo)要求】1.理解復(fù)數(shù)基本概念：需透徹認(rèn)識復(fù)數(shù)的定義，明晰形如（）的數(shù)即為復(fù)數(shù)，其中是實部、是虛部，且為虛數(shù)單位，滿足。這要求學(xué)生能精準(zhǔn)辨別復(fù)數(shù)的實部與虛部，理解純虛數(shù)（且）、實數(shù)（）等特殊復(fù)數(shù)類型的概念差異。比如面對復(fù)數(shù)，能迅速指出實部是，虛部是；看到，知道它是純虛數(shù)，實部為。2.掌握復(fù)數(shù)相等條件：要深刻理解復(fù)數(shù)相等的充要條件，即當(dāng)且僅當(dāng)且（）。在解題中，若遇到等式，學(xué)生應(yīng)能依據(jù)該條件列出方程組求解。這一知識點常與方程、函數(shù)等知識結(jié)合，考查學(xué)生的綜合運用能力。3.明晰復(fù)數(shù)代數(shù)表示與幾何意義：一方面，要熟悉復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法，能夠熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式書寫與轉(zhuǎn)換；另一方面，要理解復(fù)數(shù)的幾何意義，知曉復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點以及平面向量存在一一對應(yīng)關(guān)系。例如，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，對應(yīng)的向量從原點出發(fā)，終點坐標(biāo)為。這有助于學(xué)生從幾何直觀角度理解復(fù)數(shù)運算，如復(fù)數(shù)的加法對應(yīng)向量的加法，在復(fù)平面上體現(xiàn)為向量的平移。4.熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式四則運算：涵蓋復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算。加法和減法運算遵循實部與實部相加減、虛部與虛部相加減的規(guī)則，即。乘法運算類比多項式乘法，但要注意的運用，如。除法運算則需將分母實數(shù)化，通過乘以分母的共軛復(fù)數(shù)來實現(xiàn)，如（）。學(xué)生需通過大量練習(xí)，提升運算的準(zhǔn)確性與速度。5.了解復(fù)數(shù)加、減運算幾何意義：復(fù)數(shù)加法的幾何意義是，兩個復(fù)數(shù)相加對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)向量的加法，其和對應(yīng)的向量是以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線（從共同起點出發(fā)）；復(fù)數(shù)減法的幾何意義是，兩個復(fù)數(shù)相減對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)向量的減法，差對應(yīng)的向量是從減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點。例如，已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的向量可由與通過平行四邊形法則得到，對應(yīng)的向量則是從指向?！局R梳理】一、復(fù)數(shù)核心知識梳理（緊扣高考高頻考點）1.復(fù)數(shù)的基本概念（高考基礎(chǔ)送分點） 定義：形如（）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，滿足。 實部：（必須為實數(shù)，不可含）； 虛部：（同樣為實數(shù)，是虛數(shù)單位的系數(shù)，不含）。 分類： 實數(shù)：（如，可表示為）； 純虛數(shù)：且（如，不可忽略的條件）； 非純虛數(shù)的虛數(shù)：且（如）。2.復(fù)數(shù)的相等與共軛（高考常考方程求解） 相等條件：對任意復(fù)數(shù)，（），且。 核心應(yīng)用：通過實部、虛部分離列方程組，求解復(fù)數(shù)中的參數(shù)（如已知，得，解得，）。 共軛復(fù)數(shù)：設(shè)，則其共軛復(fù)數(shù)為（實部不變，虛部變號）。 幾何特征：復(fù)平面內(nèi)，與對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱； 運算性質(zhì)：（實數(shù)），（純虛數(shù)或零），（高考高頻，常用于分母實數(shù)化或求模長）。3.復(fù)數(shù)的幾何意義（高考多選題常考） 一一對應(yīng)關(guān)系： 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點（橫軸為實軸，縱軸為虛軸，原點對應(yīng)復(fù)數(shù)）； 復(fù)數(shù)平面向量（為原點）。 模長的幾何意義： 復(fù)數(shù)的模，表示復(fù)平面內(nèi)點到原點的距離，或向量的長度； 兩點距離：復(fù)平面內(nèi)兩點，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，則（高考常結(jié)合圓、線段等幾何圖形考查）。4.復(fù)數(shù)的四則運算（高考必考運算題） 加法：（實部相加，虛部相加）； 減法：（實部相減，虛部相減）； 乘法：類比多項式乘法，結(jié)合化簡： 特殊公式：（共軛復(fù)數(shù)乘積，即模長平方），（高考高頻，需熟記）； 除法：核心是分母實數(shù)化，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)： 5.復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義（高考偶爾結(jié)合向量考查） 加法：復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的向量為，遵循平行四邊形法則（以，為鄰邊，對角線即為和向量）； 減法：復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的向量為（從對應(yīng)點指向?qū)?yīng)點的向量）。二、常用結(jié)論（高考真題高頻調(diào)用）1.虛數(shù)單位的冪次循環(huán)：，，，，周期為，即（，）。 示例：，（高考?？贾笖?shù)化簡）。2.常見復(fù)數(shù)運算結(jié)果： （分子分母同乘，得）； （分母實數(shù)化：）； （同理推導(dǎo)，與上式互為相反數(shù)）。3.模長的運算性質(zhì)：對任意復(fù)數(shù)，，有： ； （）； （）。4.共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：，，（）。三、微點提醒（高考易錯點規(guī)避）1.虛部的概念誤區(qū)：復(fù)數(shù)的虛部是（實數(shù)），而非。例如，的虛部是，不是（高考選擇題常設(shè)置此陷阱）。2.純虛數(shù)的條件遺漏：判斷純虛數(shù)時，需同時滿足“實部為”且“虛部不為”。例如，為純虛數(shù)，需，解得，不可僅由得（模擬題高頻易錯點）。3.復(fù)平面與直角坐標(biāo)系的區(qū)別：復(fù)平面的縱軸是虛軸，單位為，對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部；直角坐標(biāo)系的縱軸是軸，單位為，二者不可混淆。例如，復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點，而非直角坐標(biāo)系中的向量。4.除法運算的分母不為零：進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時，需先判斷分母是否為零（即分母的實部、虛部不同時為零）。例如，無意義，因分母對應(yīng)的復(fù)數(shù)不能作為除數(shù)。5.模長的非負(fù)性：復(fù)數(shù)的模長是實數(shù)且非負(fù)，計算時需注意根號下的表達(dá)式為平方和（恒正），例如，不可遺漏負(fù)號的平方。【課前自測】【真題體驗】一、單選題1．（2023·全國甲卷·高考真題）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.【詳解】故選：C.2．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.3．（2023·全國乙卷·高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.4．（2007·陜西·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運算法則，可得復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.5．（2024·全國甲卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.【詳解】由，則.故選：A6．（2025·北京·高考真題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.二、填空題7．（2025·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】先由復(fù)數(shù)除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)模長公式即可計算求解.【詳解】先由題得，所以.故答案為：8．（2024·天津·高考真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．【答案】【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算即可得.【詳解】.故答案為：.9．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是．【答案】【分析】先設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運算及概念確定，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計算即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，則，又，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸上運動，如圖所示即線段上運動，設(shè)，則，由圖象可知，所以.故答案為：10．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為．【答案】2【分析】設(shè)且，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設(shè)，且.則，，，解得，故答案為：2.題型題型分類知識講解與常考題型【考點一：復(fù)數(shù)的相關(guān)概念】【例題】1．（24-25高一下·陜西渭南·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，故虛部為.故選：B2．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、除法運算求得，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】由，得，所以，所以的虛部為.故選：D.【針對訓(xùn)練】3．（2025·全國·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．的實部是B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限D(zhuǎn)．與在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、實部的定義、模的公式及幾何意義求解判斷各選項即可．【詳解】由，得，則，所以的實部為，A錯誤；而，B正確；因為，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第四象限，C錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則與在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點關(guān)于軸對稱，D正確．故選：BD．4．（2025·海南·模擬預(yù)測）下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中i為虛數(shù)單位），正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為4C．若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為2D．若是關(guān)于x的方程的一個根，則【答案】BC【分析】計算可判斷A；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B；求出的軌跡為圓，圓上的點到原點的距離最大值為2，可判斷C；得到為方程的另一個根，根據(jù)韋達(dá)定理計算可得判斷D.【詳解】A選項，，故A錯誤；B選項，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故虛部為，故B正確；C選項，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的軌跡為復(fù)平面內(nèi)，以為圓心，1為半徑的圓，此圓上的點到原點的距離，最大值為2，即到原點距離，故的最大值為2，故C正確；D選項，是關(guān)于x的方程的一個根，為方程另一個根，故，D不正確.故選：BC5．（2025·河北·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)，再寫出它的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行加法運算找到實部虛部再計數(shù)模即可.【詳解】，，，.故選：C.【解題策略】一、復(fù)數(shù)基本概念（實部、虛部、分類）解題思路1.核心考點與解題步驟 考點1：識別實部與虛部 解題步驟：①明確復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式（），若復(fù)數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式（如含、分母含），先化簡為；②直接提取實部（不含的實數(shù)部分）、虛部（的系數(shù)，且為實數(shù)）。 適配場景：題目直接要求求復(fù)數(shù)的實部/虛部，或結(jié)合實部、虛部求參數(shù)（如“已知的實部為，求”）。 考點2：復(fù)數(shù)分類（實數(shù)、純虛數(shù)、虛數(shù)） 解題步驟：①先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（）；②按分類條件判斷： 實數(shù)：滿足； 純虛數(shù)：滿足且（需同時滿足兩個條件，缺一不可）； 虛數(shù)：滿足（包含純虛數(shù)與非純虛數(shù)的虛數(shù)）。 適配場景：題目明確要求判斷復(fù)數(shù)類型，或已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù)（如“已知為純虛數(shù)，求”）。2.避錯關(guān)鍵 虛部不可帶：如的虛部是，而非； 純虛數(shù)需“雙條件”：不可僅由“實部為”判定為純虛數(shù)，需額外驗證“虛部不為”，避免漏解或錯解參數(shù)。二、復(fù)數(shù)相等與共軛復(fù)數(shù)解題思路1.核心考點與解題步驟 考點1：復(fù)數(shù)相等 解題步驟：①確保兩個復(fù)數(shù)均化為標(biāo)準(zhǔn)形式、（）；②根據(jù)“實部相等且虛部相等”列方程組；③解方程組求參數(shù)或驗證相等關(guān)系。 適配場景：題目給出復(fù)數(shù)相等的等式，求其中的參數(shù)（如“，求”），或證明兩個復(fù)數(shù)相等。 考點2：共軛復(fù)數(shù) 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接得共軛復(fù)數(shù)（實部不變，虛部變號）；②若復(fù)數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式，先化簡為，再求共軛；③利用共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)解題：（實數(shù)）、（純虛數(shù)或零）、（模長平方）。 適配場景：題目要求求共軛復(fù)數(shù)，或結(jié)合共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)求模長、數(shù)量關(guān)系（如“已知，求”）。2.避錯關(guān)鍵 復(fù)數(shù)相等的“前提條件”：必須保證兩個復(fù)數(shù)的實部、虛部均為實數(shù)，否則不可直接用“實部、虛部分別相等”； 共軛復(fù)數(shù)的“符號變化”：僅虛部變號，實部不變，避免將誤寫為或。三、復(fù)數(shù)幾何意義（點、向量、模長）解題思路1.核心考點與解題步驟 考點1：復(fù)數(shù)與點、向量的對應(yīng)關(guān)系 解題步驟：①明確對應(yīng)規(guī)則：復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點，對應(yīng)向量（為原點）；②若已知復(fù)數(shù)，直接寫出對應(yīng)點坐標(biāo)或向量坐標(biāo)；③若已知點或向量，反向?qū)懗鰧?yīng)復(fù)數(shù)（點對應(yīng)，向量對應(yīng)）。 適配場景：題目要求指出復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點或向量，或由點/向量求復(fù)數(shù)（如“求復(fù)平面內(nèi)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)”）。 考點2：復(fù)數(shù)模長的計算與幾何意義 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接用公式計算；②若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如），先化簡為，或利用模長性質(zhì)（，、）；③結(jié)合幾何意義：表示點到原點的距離，表示點到的距離，輔助分析幾何圖形（如圓、線段）。 適配場景：題目要求求復(fù)數(shù)模長，或結(jié)合模長的幾何意義求最值、判斷軌跡（如“求表示的圖形”）。2.避錯關(guān)鍵 復(fù)平面與直角坐標(biāo)系的“區(qū)別”：復(fù)平面縱軸為虛軸，對應(yīng)復(fù)數(shù)虛部，不可將點誤理解為直角坐標(biāo)系中“，”； 模長的“非負(fù)性”：是實數(shù)且非負(fù)，計算時需注意根號下為平方和（恒正），避免遺漏負(fù)號的平方（如）。四、通用解題流程（適用于所有復(fù)數(shù)概念題）1.化簡優(yōu)先：無論何種題型，先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），避免非標(biāo)準(zhǔn)形式導(dǎo)致的概念混淆；2.定位考點：根據(jù)題目要求，判斷考查“基本概念”“復(fù)數(shù)相等/共軛”還是“幾何意義”，匹配對應(yīng)解題步驟；3.列關(guān)系/用性質(zhì)：結(jié)合考點列方程（如復(fù)數(shù)相等列方程組）、用公式（如模長公式、共軛性質(zhì)），確保每一步緊扣概念本質(zhì)；4.驗證檢查：解題后驗證結(jié)果是否符合概念要求（如純虛數(shù)需驗證虛部不為，模長需驗證非負(fù)），規(guī)避常見易錯點?！究键c二：復(fù)數(shù)的幾何意義】【例題】1．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】設(shè)，由已知得在復(fù)平面的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由圖即可判斷.【詳解】設(shè)，由得，可得在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，（如圖）.由圖知圓顯然不經(jīng)過第三象限，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上不可能位于第三象限.故選：C.2．（2025·四川巴中·二模）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記為，對于任意的三個復(fù)數(shù)與下列結(jié)論錯誤的是（

）A．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)B．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限C．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為2D．若，且，則【答案】BC【分析】A選項，利用復(fù)數(shù)除法法則和共軛復(fù)數(shù)的概念得到A正確；B選項，利用復(fù)數(shù)乘方法則得到，得到對應(yīng)點坐標(biāo)，得到所在象限；C選項，由模長的幾何意義得到對應(yīng)的點在虛軸（加上原點）上，由幾何意義得到最小值為1；D選項，，又，則.【詳解】A.復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)，正確：B.，對應(yīng)點為，在第三象限，B錯：C.復(fù)數(shù)滿足，則對應(yīng)的點在是以對應(yīng)點為端點的線段的中垂線上，即虛軸（加上原點）上，表示虛軸（加上原點）上的點到點的距離，最小值為1，C錯誤.D.若，則，又，則，故D正確：故選：BC【針對訓(xùn)練】1．（2025·山東·三模）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)乘法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點即可.【詳解】設(shè)，則，，于是，解得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第二象限.故選：B2．（2025·廣東佛山·三模）復(fù)平面上兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則（

）A．17 B． C．13 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出坐標(biāo)即可得出復(fù)數(shù)，進(jìn)而求出模.【詳解】由題意可得，，則，所以，得．故選：D3．（2025·廣東·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)z滿足的限制條件，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點為：，由可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到兩點的距離之和為2，而，所以點在線段上，故，則，當(dāng)時，的最大值為.故選：B.【解題策略】一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點、向量的對應(yīng)關(guān)系（高考基礎(chǔ)高頻考點）1.核心考點與解題步驟 考點1：由復(fù)數(shù)確定點/向量 解題步驟：①確保復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），若為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如含、分母含），先化簡（如）；②依據(jù)對應(yīng)規(guī)則：復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點（橫軸為實軸，縱軸為虛軸），對應(yīng)從原點出發(fā)的向量；③直接寫出點的坐標(biāo)或向量的坐標(biāo)，無需額外運算。 適配場景：題目要求指出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的位置（如象限、坐標(biāo)軸），或?qū)懗鰧?yīng)向量（如“求復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點及向量”）。 考點2：由點/向量確定復(fù)數(shù) 解題步驟：①明確已知條件類型：若已知復(fù)平面內(nèi)點，直接對應(yīng)復(fù)數(shù)；若已知向量（為原點），同樣對應(yīng)復(fù)數(shù)；②若向量起點非原點（如，、），先計算向量坐標(biāo)，再對應(yīng)復(fù)數(shù)。 適配場景：題目給出復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)或向量坐標(biāo)，求對應(yīng)復(fù)數(shù)（如“復(fù)平面內(nèi)點對應(yīng)什么復(fù)數(shù)”“向量對應(yīng)什么復(fù)數(shù)”）。2.避錯關(guān)鍵 區(qū)分“復(fù)平面與直角坐標(biāo)系”：復(fù)平面縱軸是虛軸，僅對應(yīng)復(fù)數(shù)的虛部，不可將點誤寫為“”，也不可將向量坐標(biāo)中的帶； 非原點向量的轉(zhuǎn)化：若向量起點不是原點，需先計算向量的坐標(biāo)（終點坐標(biāo)減起點坐標(biāo)），再對應(yīng)復(fù)數(shù)，避免直接用起點或終點坐標(biāo)對應(yīng)復(fù)數(shù)。二、復(fù)數(shù)模長的幾何意義（高考重難點考點）1.核心考點與解題步驟 考點1：模長的基本計算（點到原點的距離） 解題步驟：①若復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接代入模長公式計算（根號下為實部、虛部的平方和，恒非負(fù)）；②若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)形式（如），先化簡為（如），再代入公式；③若復(fù)數(shù)與共軛相關(guān)（如），可利用性質(zhì)簡化計算（如，，則）。 適配場景：題目直接要求求復(fù)數(shù)的模長（如“求”），或結(jié)合復(fù)數(shù)運算求模長（如“求”）。 考點2：模長的幾何應(yīng)用（兩點間距離與軌跡問題） 解題步驟：①兩點間距離：若復(fù)數(shù)、對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點、，則，即兩點間的距離；②軌跡判斷：根據(jù)模長表達(dá)式的結(jié)構(gòu)確定軌跡： （，為定復(fù)數(shù)）：表示以對應(yīng)點為圓心、為半徑的圓； （為定復(fù)數(shù)）：表示線段的垂直平分線； （）：表示以為焦點的橢圓。 適配場景：題目要求求復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離（如“求與對應(yīng)點的距離”），或判斷模長表達(dá)式表示的幾何圖形（如“判斷表示的圖形”）。 考點3：模長的最值問題 解題步驟：①幾何法（優(yōu)先用）：將復(fù)數(shù)模長轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的距離，結(jié)合圖形求最值（如求的最小值，即求點到點的最小距離，若在某定圖形上，如線段、圓，則結(jié)合圖形性質(zhì)找最近點）；②代數(shù)法：設(shè)（），將模長表達(dá)式化為關(guān)于的函數(shù)（如），結(jié)合約束條件（如）求函數(shù)最值。 適配場景：題目要求求模長的最值（如“已知滿足，求的最大值”），常結(jié)合圓、線段、橢圓等圖形考查。2.避錯關(guān)鍵 模長公式的“平方和”：不可將誤寫為或，計算時需注意實部、虛部的正負(fù)（平方后均為正）； 軌跡條件的“限制”：判斷橢圓軌跡時，需滿足“”，若，則表示線段，不可直接判定為橢圓； 最值求解的“幾何優(yōu)先”：代數(shù)法計算較繁瑣，且易因計算錯誤出錯，優(yōu)先用幾何法轉(zhuǎn)化為距離問題，結(jié)合圖形直觀求解。三、復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義（高考低頻但易漏考點）1.核心考點與解題步驟 考點1：加法的幾何意義（平行四邊形法則） 解題步驟：①確定兩個復(fù)數(shù)、對應(yīng)向量、；②以、為鄰邊作平行四邊形，從原點出發(fā)的對角線對應(yīng)的向量即為，對應(yīng)復(fù)數(shù)；③若需驗證，可通過向量加法坐標(biāo)運算或復(fù)數(shù)加法運算核對。 適配場景：題目要求結(jié)合平行四邊形法則求兩復(fù)數(shù)的和（如“已知、，用幾何方法求”）。 考點2：減法的幾何意義（三角形法則） 解題步驟：①確定復(fù)數(shù)、對應(yīng)向量、；②復(fù)數(shù)減法對應(yīng)向量減法，即從對應(yīng)點指向?qū)?yīng)點的向量，對應(yīng)復(fù)數(shù)；③可通過兩點間距離公式驗證。 適配場景：題目要求結(jié)合向量減法求復(fù)數(shù)差（如“已知、，用幾何方法求”），或解釋復(fù)數(shù)差的幾何意義。2.避錯關(guān)鍵 加法的“平行四邊形起點”：兩向量需從同一原點出發(fā)，才能構(gòu)成平行四邊形的鄰邊，不可用非共起點的向量直接疊加； 減法的“向量方向”：對應(yīng)向量是“從指向”，而非“從指向”，避免方向混淆導(dǎo)致復(fù)數(shù)符號錯誤。四、通用解題流程（適用于復(fù)數(shù)幾何意義題型）1.化簡先行：無論何種題型，先將涉及的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（），為后續(xù)對應(yīng)點、向量或計算模長奠定基礎(chǔ)；2.幾何轉(zhuǎn)化：將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題——復(fù)數(shù)對應(yīng)點/向量，模長對應(yīng)距離，模長表達(dá)式對應(yīng)軌跡，明確幾何模型（如點、線段、圓、橢圓）；3.選法求解：基礎(chǔ)計算用公式（如模長公式），軌跡與最值問題優(yōu)先用幾何法（結(jié)合圖形性質(zhì)），復(fù)雜約束條件下用代數(shù)法（設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為函數(shù)）；4.驗證回歸：解題后將幾何結(jié)果回歸到復(fù)數(shù)問題（如軌跡圖形對應(yīng)模長表達(dá)式，距離最值對應(yīng)模長最值），驗證是否符合題目要求，規(guī)避幾何與復(fù)數(shù)的轉(zhuǎn)化錯誤。【考點三：復(fù)數(shù)的運算】【例題】1．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算逐一計算即可判斷AB；由可得，然后判斷CD.【詳解】因為，則，則，A正確．因為，B正確．因為，所以，，，故C正確，D錯誤．故選：ABC．2．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和模的定義求解.【詳解】,所以，且.故選：B【針對訓(xùn)練】1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方、乘法運算求出，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】，則，所以.故選：A2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則得出、，進(jìn)而得出、，再利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡即可.【詳解】由題意可得，，，則，則.故選：C3．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程，即可求出，再計算其模.【詳解】設(shè)，則左邊，右邊，，，解得，，故.故選：A.【解題策略】一、復(fù)數(shù)的加法運算（高考基礎(chǔ)送分點）1.核心考點與解題步驟 考點：代數(shù)形式加法 解題步驟：①確保兩個復(fù)數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)形式、（），若含非標(biāo)準(zhǔn)項（如），先化簡（如）；②按“實部相加，虛部相加”規(guī)則計算：；③結(jié)果保留形式，若虛部為，可直接表示為實數(shù)（如）。 適配場景：題目直接考查復(fù)數(shù)加法，或結(jié)合向量加法（復(fù)平面幾何意義）考查，多為基礎(chǔ)計算題（如“計算”）。2.避錯關(guān)鍵 避免“實虛部混淆”：不可將實部與虛部交叉相加（如）； 化簡非標(biāo)準(zhǔn)項：計算前需先處理、分母含等非標(biāo)準(zhǔn)形式，確保復(fù)數(shù)為后再運算，避免直接相加導(dǎo)致錯誤。二、復(fù)數(shù)的減法運算（高考基礎(chǔ)高頻考點）1.核心考點與解題步驟 考點：代數(shù)形式減法 解題步驟：①同加法，先將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式、；②按“實部相減，虛部相減”規(guī)則計算：；③注意負(fù)號分配，若虛部為負(fù)，相減后變?yōu)檎ㄈ纾?適配場景：題目直接考查復(fù)數(shù)減法，或結(jié)合復(fù)平面內(nèi)兩點間距離（）考查，如“計算”，或先算減法再求模長。2.避錯關(guān)鍵 負(fù)號分配完整：減去一個復(fù)數(shù)等于加上其相反數(shù)，即，避免漏改實部或虛部的符號（如）； 結(jié)果符號檢查：計算后核對虛部符號，確保負(fù)號未遺漏（如若為負(fù)，虛部直接保留負(fù)號）。三、復(fù)數(shù)的乘法運算（高考核心考點，多結(jié)合公式考查）1.核心考點與解題步驟 考點1：代數(shù)形式乘法（多項式乘法類比） 解題步驟：①將復(fù)數(shù)視為多項式（為字母），按多項式乘法展開：；②利用化簡含的項：；③合并實部與虛部：實部為，虛部為，最終結(jié)果為。 適配場景：基礎(chǔ)乘法計算（如“計算”），或結(jié)合共軛復(fù)數(shù)乘法（）考查。 考點2：特殊乘法公式（高頻應(yīng)用） 解題步驟：熟記高頻特殊公式，直接代入計算以簡化運算：①平方公式：，尤其、；②共軛乘法：（結(jié)果為實數(shù)，常用于分母實數(shù)化或求模長）；③立方公式（低頻）：，可按多項式展開后化簡。 適配場景：題目含平方、共軛乘法結(jié)構(gòu)，如“計算”“計算”，用特殊公式可快速得出結(jié)果。2.避錯關(guān)鍵 化簡不遺漏：展開后必須將化為，不可保留（如）； 特殊公式記準(zhǔn)確：避免混淆與，或共軛乘法符號錯誤（如）。四、復(fù)數(shù)的除法運算（高考重難點，多為壓軸基礎(chǔ)題）1.核心考點與解題步驟 考點：代數(shù)形式除法（分母實數(shù)化） 解題步驟：①確保被除數(shù)、除數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)形式，除數(shù)不為（即除數(shù)實部、虛部不同時為）；②核心操作“分母實數(shù)化”：分子分母同乘除數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（除數(shù)的共軛為），使分母變?yōu)閷崝?shù)： ③拆分結(jié)果：實部為，虛部為，整理為（）形式，若分子為，結(jié)果為（如）。 適配場景：題目直接考查除法（如“計算”），或結(jié)合其他運算（先乘后除、先加減后除）考查，是高考復(fù)數(shù)運算的高頻壓軸基礎(chǔ)題。 考點：特殊除法結(jié)果（熟記簡化計算） 解題步驟：熟記常見特殊除法結(jié)果，直接調(diào)用：①（分子分母同乘，得）；②（分母實數(shù)化后得）；③（同理推導(dǎo)）。 適配場景：題目含上述特殊結(jié)構(gòu)，如“計算”“計算”，用熟記結(jié)果可大幅節(jié)省時間。2.避錯關(guān)鍵 共軛復(fù)數(shù)符號正確：除數(shù)為時，共軛復(fù)數(shù)為（僅虛部變號），不可將實部變號（如）； 分子展開完整：分子乘共軛復(fù)數(shù)時，按多項式乘法完整展開，避免漏項（如）； 分母計算準(zhǔn)確：分母（平方和），不可誤算為。五、復(fù)數(shù)混合運算（高考綜合考點，多為多步運算）1.核心考點與解題步驟 考點：加、減、乘、除混合運算 解題步驟：①遵循“先乘除，后加減”的運算順序，有括號先算括號內(nèi)；②每一步運算均按對應(yīng)規(guī)則進(jìn)行（乘除先化簡，加減后合并）；③優(yōu)先使用特殊公式（如共軛乘法、平方公式）簡化中間步驟，避免復(fù)雜展開。 示例流程：計算： 第一步：先算分子乘法：； 第二步：算除法：； 第三步：算加法：。 適配場景：高考復(fù)數(shù)綜合題，如“計算”，多為多步運算，考查運算準(zhǔn)確性與技巧性。2.避錯關(guān)鍵 運算順序不顛倒：不可先算加減后算乘除，有括號需優(yōu)先計算括號內(nèi)內(nèi)容； 分步驗證：每一步運算后單獨驗證結(jié)果（如乘法后檢查化簡是否正確，除法后檢查分母是否為實數(shù)），避免一步錯導(dǎo)致后續(xù)全錯； 結(jié)果形式規(guī)范：最終結(jié)果需化為最簡形式，分?jǐn)?shù)實部、虛部需化為最簡分?jǐn)?shù)（如），不可保留復(fù)雜分式。六、通用解題流程（適用于所有復(fù)數(shù)運算題型）1.化簡標(biāo)準(zhǔn)形式：無論單一運算還是混合運算，先將所有復(fù)數(shù)化為（）的標(biāo)準(zhǔn)形式，處理、分母含等非標(biāo)準(zhǔn)項；2.確定運算順序：單一運算直接按規(guī)則計算，混合運算遵循“先乘除，后加減，有括號先算括號內(nèi)”；3.優(yōu)先使用技巧：乘除運算優(yōu)先用共軛復(fù)數(shù)、特殊公式（如）簡化，減少計算量；4.分步驗證結(jié)果：每一步運算后檢查符號、化簡、實虛部分類是否正確，避免積累錯誤；5.規(guī)范結(jié)果形式：最終結(jié)果整理為形式，實部、虛部為實數(shù)（可含分?jǐn)?shù)），虛部為時直接表示為實數(shù)。課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2025·全國·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．22．（2025·全國·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)的模為（

）A．1 B． C． D．23．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）A． B． C． D．4．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B．1 C． D．5．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A．8 B． C．2 D．6．（2025·陜西咸陽·三模）已知復(fù)數(shù)，則|z|＝（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2025·湖南長沙·三模）復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．69．（2025·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．10．（2025·全國·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)的實部為（

）A．1 B． C．0 D．i11．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題12．（2025·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，原點為，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．若點的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點在第三象限B．若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為C．若，則的模為7D．若是關(guān)于的方程的一個根，則13．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．14．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)為復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．15．（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．若復(fù)數(shù)z為實數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則C．當(dāng)時，D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第二象限三、填空題16．（2023·北京·三模）設(shè)是純虛數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)