第29講離心率問題速解【典型例題】例1．（2024·云南昆明·一模）已知橢圓（）的左、右焦點為、，圓與的一個交點為，直線與的另一個交點為，，則的離心率為（

）A． B． C． D．例2．（2024·廣西來賓·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過作一條直線與C交于A，B兩點（不在坐標軸上），坐標原點為O，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例3．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知斜率為3的直線l過雙曲線C的右焦點，且與C的左、右兩支各有一個交點，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C．（1,3） D．例4．（2024·江蘇·一模）在平面直角坐標系中，已知為雙曲線的右頂點，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．4例5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓T上一點，且，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓T的離心率．例6．（2024·陜西西安·一模）已知橢圓的上頂點為A，B、C在橢圓上，△ABC為等腰直角三角形，A為直角，若這樣的△ABC有且只有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍為．例7．（2024·高三·遼寧錦州·開學(xué)考試）已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則橢圓的離心率為．例8．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點.若，則雙曲線C的離心率為.例9．（2024·江西南昌·一模）用平面截圓錐面，可以截出橢圓?雙曲線?拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數(shù)學(xué)家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1，在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個平面過圓錐母線上的點且與兩個球都相切，切點分別記為.這個平面截圓錐面得到交線是上任意一點，過點的母線與兩個球分別相切于點，因此有，而是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線是一個橢圓.如圖2，兩個對頂圓錐中，各有一個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為，球的半徑為4，平面與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于兩點，記平面與圓錐側(cè)面相交所得曲線為，則曲線的離心率為.例10．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）點分別為雙曲線的左、右焦點，過作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若為以為底的等腰三角形，則的離心率為．例11．（2024·河南信陽·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，且，，若點Q也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為．例12．（2024·山東菏澤·一模）已知斜率為的直線過雙曲線的右焦點且交雙曲線右支于A、B兩點，在第一象限，若，則的離心率為．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，若，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與交于兩點，且．則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．3．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．4．（2024·四川廣安·二模）已知，分別是雙曲線（，）的左右焦點，若過的直線與圓相切，與在第一象限交于點，且軸，則的離心率為（

）A． B．3 C． D．5．（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）記橢圓：與圓：的公共點為，，其中在的左側(cè)，是圓上異于，的點，連接交于，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024·高三·河南·階段練習）如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上異于的點滿足，，，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．7．（2024·廣東·一模）已知O為雙曲線C的中心，F(xiàn)為雙曲線C的一個焦點，且C上存在點A，使得，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．5 D．78．（2024·陜西·模擬預(yù)測）直線過雙曲線的右焦點，且與的左、右兩支分別交于A，B兩點，點關(guān)于坐標原點對稱的點為，若，且，則的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．二、填空題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于點．若為線段的中點，則的離心率的取值范圍是．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過分別作傾斜角為的直線，分別交雙曲線的左、右兩支于點（均在軸上方），過與的交點作傾斜角為的直線與軸交于點，若，則雙曲線的離心率為.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知軸上的點是橢圓的長軸頂點，也在雙曲線上，設(shè)過坐標原點且斜率互為相反數(shù)的兩條直線與橢圓的四個交點構(gòu)成的四邊形面積為，雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點構(gòu)成的四邊形面積為，若恒成立，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則．12．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，過點直線與雙曲線右支交于，兩點，點是軸上一點，，，則雙曲線的離心率為．13．（2024·遼寧鞍山·二模）已知雙曲線的右焦點為，左、右頂點分別為，，軸于點，且．當最大時，點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為．14．（2024·山東臨沂·一模）已知是雙曲線的左?右焦點，點在上.，則的離心率為.15．（2024·山東青島·一模）已知O為坐標原點，點F為橢圓的右焦點，點A，B在C上，AB的中點為F，，則C的離心率為．16．（2024·高二·山東青島·期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法，如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的頂點和軸都重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為2，側(cè)面積均為，記過兩個圓錐軸的截面為平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為．已知平面平行于平面，平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且的兩條漸近線分別平行于，則該雙曲線的離心率為．17．（2024·廣東湛江·一模）已知，分別為橢圓C：的左、右焦點，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為．18．（2024·遼寧·一模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是.19．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為F，過F的直線l交圓于A，B兩點，交C的右支于點P.若，，則C的離心率為.20．（2024·云南貴州·二模）已知分別是雙曲線的左、右焦點，經(jīng)過點且與軸垂直的直線與交于點，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是.21．（2024·云南·模擬預(yù)測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為.22．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知正方形的四個頂點均在橢圓上，的兩個焦點分別是的中點，則的離心率是.23．（2024·吉林白山·二模）已知點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上異于，的一點，且以為直徑的圓過點，點在軸上，且三點共線，為坐標原點，