第30講等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比中項(1)如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時.(2)在等比數(shù)列中，任取相鄰的三項，則是與的等比中項，即.3.等比數(shù)列的通項公式(1)首項為，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為.(2)等比數(shù)列的圖象是指數(shù)型函數(shù)的圖象上的一群孤立的點.4.等比數(shù)列的前n項和公式首項為，公比為q的等比數(shù)列的前n項和.5.等比數(shù)列及其前n項和公式的性質(1)若是等比數(shù)列，且，則;若，則.(2)等比數(shù)列中相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即仍是等比數(shù)列，公比為.(3)若(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列.(5)若是等比數(shù)列的前n項和，則當q≠-1或q=-1，且n為奇數(shù)時，仍成等比數(shù)列，其公比為.6.常用結論(1)為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列.(2)當時，是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時.(3)等比中項法：在數(shù)列中，若，且，則是等比數(shù)列.考點一公式法求數(shù)列通項、基本量考點二定義法判斷等比數(shù)列考點三等比中項法判斷等比數(shù)列考點四等比數(shù)列片段和性質及應用考點一：公式法求數(shù)列通項、基本量例1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．或 D．或例2．設等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．考點二：定義法判斷等比數(shù)列例3．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則（

）A．1458 B．1460 C．2184 D．2186例4．若正項數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．6 D．12考點三：等比中項法判斷等比數(shù)列例5．已知角的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（

）A． B．C． D．考點四：等比數(shù)列片段和性質及應用例6．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列的前項和為，，，則為（

）A． B． C． D．或例7．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．80 B．30 C．26 D．16一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．242．明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應鐘的波長成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長之積為（

）A． B．C． D．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．或4．若成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)列：（1）;（2）;（3），必成等比數(shù)列的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列前項和為，公差是與的等比中項，則下列選項不正確的是（

）A． B．C．當，時，取得最大值 D．當時，的最大值為217．下列命題中正確的是（

）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c是等比數(shù)列B．若a，b，c是等比數(shù)列，則log2a，log2b，log2c是等差數(shù)列C．若a，b，c是等差數(shù)列，則2a，2b，2c是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則2a，2b，2c是等差數(shù)列8．正項等比數(shù)列的前項和為，，，則等于（）A．90 B．50C．40 D．309．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則（

）A． B．43 C． D．41二、多選題10．已知是等比數(shù)列，，，則公比（

）A． B． C．2 D．11．我國古代數(shù)學專著《九章算術》中有這樣一個問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗；禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還a升、b升、c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（

）A．a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列 B．a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列C． D．12．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，且，，成等比數(shù)列，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、解答題13．已知數(shù)列滿足：.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式及其前項和的表達式.14．在等比數(shù)列{an}中，(1)已知，求前4項和；(2)已知公比，前5項和，求.15．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.16．在數(shù)列中，，，．(1)設，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．17．設等比數(shù)列的前n項和為．(1)若公比，，，求n；(2)若，求公比q．18．已知等差數(shù)列滿足，前4項和．(1)求的通項公式；(2