第34講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.直線、平面平行的判定與性質(zhì)定理文字語言符號(hào)語言圖形語言作用直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行a?α,b?α,且a∥b?a∥α證明直線與平面平行直線與平面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b證明或判斷兩條直線平行平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α證明兩個(gè)平面平行平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b證明或判斷兩條直線平行2.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)(2)．3.線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化示意圖4.常用結(jié)論(1)中位線定理：在中，分別是的中點(diǎn)，則；(2)平行四邊形常見證明方法：一組對(duì)邊平行且相等；對(duì)角線互相平分；兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)互相平行.考點(diǎn)一證明線線平行考點(diǎn)二證明線面平行考點(diǎn)三證明面面平行考點(diǎn)一：證明線線平行例1．如圖，已知長方體中，，.為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn).求證：；【答案】證明見解析【分析】由面面平行的性質(zhì)可得平面，再由線面平行的性質(zhì)即可證結(jié)論.【詳解】由長方體的性質(zhì)知：平面平面，又面，面，又平面平面，且面，.考點(diǎn)二：證明線面平行例2．在長方體中，矩形和矩形的中心分別為M、N．求證：平面ABCD．【答案】證明見解析【分析】由線面平行的判定定理證明，證明后可得．【詳解】證明：如圖，連接、、AC、MN．∵矩形和矩形的中心分別為M、N，∴，，∴．又平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．考點(diǎn)三：證明面面平行例3．如圖所示，在三棱柱中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點(diǎn)．求證：平面平面BCHG．【答案】證明見解析【分析】證明，進(jìn)而證明出平面BCHG，再證明，得到平面BCHG，從而證明面面平行.【詳解】證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，且∴四邊形是平行四邊形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG．一、解答題1．如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】證明見解析【分析】如圖取中點(diǎn)，連接，，，由平行四邊形的判定定理可證四邊形、為平行四邊形，則，，利用線面平行的判定定理可得平面，平面，結(jié)合面面平行的判定定理即可證明.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，，∵為正方體，，分別為，中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形、為平行四邊形，則，，∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，∵平面，平面，，∴平面平面.2．已知四棱錐的底面ABCD為矩形，底面ABCD，且，設(shè)E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，H為EG的中點(diǎn)，如圖．(1)求證：平面PBD；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用中位線得到的線線平行，證明線面平行，再證面面平行，由面面平行得證線面平行；【詳解】（1）證明：∵E、F、G分別為PC、BC、CD的中點(diǎn)，∴，，∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可證平面PBD，∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，∵平面EFG，∴平面PBD．3．如圖，已知正方體的棱長為分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用正方體的性質(zhì)及線面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得；（2）利用線面平行的判定定理即得.【詳解】（1）由正方體的性質(zhì)可得，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又平面，∴平面平面；（2）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，∴，又平面，平面，∴平面.4．如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)M，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AM的中點(diǎn)．(2)證明：平面；【答案】(2)證明見解析【分析】（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解.【詳解】（2）取BM中點(diǎn)為G，連接EG、,則，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，而在平面內(nèi)，EF在平面外，故平面.5．（山東省聊城市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，平面平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，且，點(diǎn)G在線段上．(1)若點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）連接，交于H，連接，證明四邊形為平行四邊形，從而，即可根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論.【詳解】（1）連接，交于H，連接，則H為的中點(diǎn)，因?yàn)镚，H分別為的中點(diǎn)，所以且．又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又平面平面，所以平面，6．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；【詳解】（1）證明：分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由題意可知點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．所以，，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)椋?、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?．（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，若，，分別為，的重心．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）延長交于，延長交于，根據(jù)等分點(diǎn)與三角形底邊平行關(guān)系先證明線線平行，再證明線面平行；【詳解】（1）延長交于，延長交于，如圖所示：因?yàn)榉謩e為和的重心，所以分別為的中點(diǎn)，且，又因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點(diǎn)，，，．(1)證明：平面ACQ；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用三角形相似得，結(jié)合，則有，利用線面平行的判定即可證明；【詳解】（1）如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；9．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，E為AD的中點(diǎn)，平面，，M為PB的中點(diǎn).(1)求證：直線平面PCD；【答案】(1)見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)為,連接，證明四邊形是平行四邊形，則，再利用線面平行的判定即可；【詳解】（1）取的中點(diǎn)為,連接，則,且,∴四邊形是平行四邊形，，平面,平面,∴直線平面.10．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，O是AC與BD的交點(diǎn)，，，平面ABCD，，M是PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面ACM【答案】(1)見解析【分析】（1）連接，通過中位線性質(zhì)得到，從而根據(jù)線面平行的判定定理得到平面；【詳解】（1）連接，在平行四邊形中，因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?11．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）如圖，三角形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，利用平行四邊的判定及性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；【詳解】（1）連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形CDEF為平行四邊形，平面平面ABCD，．(1)證明：平面ABE；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面ABE.13．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，分別為棱中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論；【詳解】（1）為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；分別為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）在如圖所示的多面體中，平面，四邊形為矩形.(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定證結(jié)論；【詳解】（1）由平面平面，所以平面，四邊形為矩形，則，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.15．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，分別是，，的中點(diǎn)，平面，，且．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；【詳解】（1）在菱形中，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形，即有BG//DE，因?yàn)槠矫妫矫?，所以BG//平面DEF.又是的中點(diǎn)，所以．平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.因?yàn)?，平面PBG，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面?6．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考