匯報人:xxxx2025年11月06日人教版四年級數(shù)學上冊：積的變化規(guī)律CONTENTS目錄01

復習導入：乘法的秘密02

探索規(guī)律一：因數(shù)乘幾的情況03

探索規(guī)律二：因數(shù)除以幾的情況04

積的變化規(guī)律綜合總結CONTENTS目錄05

鞏固練習：基礎應用06

提升練習：實際問題解決07

課堂總結與拓展復習導入：乘法的秘密01乘法算式的組成部分乘法算式的基本要素乘法算式由兩個因數(shù)和一個積組成，例如在算式6×2=12中，6和2是因數(shù)，12是積。因數(shù)的定義與作用因數(shù)是指乘法運算中相乘的兩個數(shù)，它們表示相同加數(shù)的個數(shù)或相同的加數(shù)，如20×4=80中，20和4都是因數(shù)，分別代表不同的數(shù)量含義。積的含義與計算結果積是兩個因數(shù)相乘的結果，它表示幾個相同加數(shù)的和，例如8×50=400，400就是8與50相乘得到的積。舊知回顧：簡單乘法計算乘法算式基本結構在乘法算式中，相乘的兩個數(shù)稱為因數(shù)，結果稱為積，例如：6×2=12中，6和2是因數(shù)，12是積。一位數(shù)乘法口算練習計算下列算式：8×3=24，20×4=80，12×5=60，通過基礎口算鞏固乘法運算能力，為探索規(guī)律奠定基礎。兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算復習以23×3為例，復習筆算步驟：先算3×3=9，再算3×20=60，最后9+60=69，強調(diào)相同數(shù)位對齊與進位規(guī)則。乘法意義回顧乘法是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算，如4×5表示5個4相加或4個5相加，理解意義有助于分析因數(shù)與積的關系。情境導入：因數(shù)變化的猜想生活實例引發(fā)思考

每包大米6元，買2包需6×2=12元，買20包需6×20=120元，買200包需6×200=1200元。觀察算式，因數(shù)與積的變化有規(guī)律嗎？算式對比提出猜想

第一組：6×2=12，6×20=120，6×200=1200。第二個因數(shù)從2→20→200依次乘10，積從12→120→1200也乘10。逆向思維深化猜想

第二組：80×4=320，40×4=160，20×4=80。第一個因數(shù)從80→40→20依次除以2，積從320→160→80也除以2。規(guī)律假設引導探究

猜想：兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積是否也乘或除以相同的數(shù)？探索規(guī)律一：因數(shù)乘幾的情況02例題分析：6×2=12的變化

基礎算式回顧計算6×2=12，其中6和2是因數(shù)，12是積。

因數(shù)乘10的變化當?shù)诙€因數(shù)2乘10變?yōu)?0時，算式變?yōu)?×20=120，積12也乘10變?yōu)?20。

因數(shù)乘100的變化當?shù)诙€因數(shù)2乘100變?yōu)?00時，算式變?yōu)?×200=1200，積12也乘100變?yōu)?200。

規(guī)律總結兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變（如6），另一個因數(shù)乘幾（如10、100），積也乘相同的數(shù)。小組活動：觀察因數(shù)與積的關系

01活動要求：分組觀察算式組每組觀察兩組算式：第一組6×2=12、6×20=120、6×200=1200；第二組80×4=320、40×4=160、20×4=80，記錄因數(shù)與積的變化特點。

02討論問題1：不變因數(shù)與變化因數(shù)分析每組中哪個因數(shù)保持不變，另一個因數(shù)如何變化（乘或除以幾），積相應發(fā)生什么變化，用箭頭符號（如×10、÷2）標注變化過程。

03討論問題2：規(guī)律的初步歸納嘗試用簡潔語言描述發(fā)現(xiàn)，例如："一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘10，積也乘10"；"一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以2，積也除以2"。

04活動提示：舉例驗證規(guī)律每組自主編寫1組算式（如3×5=15，3×10=30，3×15=45），驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是否成立，準備小組匯報。規(guī)律總結：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾01核心規(guī)律表述兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積也乘相同的數(shù)。（0除外）02算式觀察驗證以6×2=12為基礎，6×20=120（因數(shù)2×10，積12×10）；6×200=1200（因數(shù)2×100，積12×100）。03關鍵詞解析"不變"指其中一個因數(shù)保持恒定；"乘幾"表示另一個因數(shù)擴大的倍數(shù)；"積也乘幾"強調(diào)積的變化與因數(shù)變化倍數(shù)一致。04反向思維驗證若積乘100（如12→1200），一個因數(shù)6不變，則另一個因數(shù)2需乘100變?yōu)?00，符合規(guī)律。驗證規(guī)律：舉例說明與計算基礎算式驗證根據(jù)8×50=400，應用規(guī)律可得：16×50=800（因數(shù)8×2，積400×2）；32×50=1600（因數(shù)8×4，積400×4）；8×25=200（因數(shù)50÷2，積400÷2）。多維度算式驗證以26×48=1248為例：26×24=624（因數(shù)48÷2，積1248÷2）；26×12=312（因數(shù)48÷4，積1248÷4）。再如17×12=204，則17×24=408（因數(shù)12×2，積204×2）；17×36=612（因數(shù)12×3，積204×3）。反向驗證與0除外說明以20×4=80為基礎：10×4=40（因數(shù)20÷2，積80÷2）；5×4=20（因數(shù)20÷4，積80÷4）。強調(diào)規(guī)律中“0除外”：若因數(shù)除以0無意義，故需排除0的情況。探索規(guī)律二：因數(shù)除以幾的情況03例題分析：80×4=320的變化

因數(shù)變化觀察第一組算式：80×4=320，40×4=160，20×4=80。第一個因數(shù)80依次除以2變?yōu)?0、20，第二個因數(shù)4不變。

積的變化規(guī)律與80×4=320相比，40×4的第一個因數(shù)除以2，積320也除以2得160；20×4的第一個因數(shù)除以4，積320也除以4得80。

規(guī)律總結兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積也除以幾。如本例題中，因數(shù)4不變，另一個因數(shù)除以2（或4），積也相應除以2（或4）。對比觀察：因數(shù)縮小與積的變化

基礎算式組呈現(xiàn)80×4=320；40×4=160；20×4=80。觀察發(fā)現(xiàn)：第一個因數(shù)依次縮小2倍，第二個因數(shù)4不變，積也相應縮小2倍。

變化規(guī)律分析以80×4=320為基準，40×4中因數(shù)80÷2=40，積320÷2=160；20×4中因數(shù)40÷2=20，積160÷2=80。規(guī)律：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積就除以幾。

反向驗證示例80×3=240；20×3=60；8×3=24。因數(shù)80→20（÷4），積240→60（÷4）；20→8（÷2.5），積60→24（÷2.5），驗證規(guī)律成立。

注意事項強調(diào)縮小倍數(shù)時，除數(shù)不能為0。例如“因數(shù)除以0”無意義，需明確“0除外”條件，確保規(guī)律的嚴謹性。規(guī)律總結：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外）

核心規(guī)律表述兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積也除以相同的數(shù)。

算式對比驗證以80×4=320為基礎：40×4=160（因數(shù)80÷2，積320÷2）；20×4=80（因數(shù)40÷2，積160÷2）；5×4=20（因數(shù)20÷4，積80÷4）。

關鍵條件強調(diào)除法中除數(shù)不能為0，因0做除數(shù)無意義，故規(guī)律需注明"0除外"。

記憶口訣輔助一個因數(shù)沒變化，另一個數(shù)除以幾（0除外）；積隨除數(shù)同變化，除以相同數(shù)字牢記它。驗證規(guī)律：反向舉例與驗算反向舉例驗證規(guī)律根據(jù)規(guī)律“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積也除以幾”，以8×50=400為例，反向舉例：8×25=200（50÷2，積400÷2），8×10=80（50÷5，積400÷5），驗證規(guī)律成立。筆算驗算規(guī)律應用計算26×24，已知26×48=1248，根據(jù)規(guī)律“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以2，積也除以2”，得出26×24=624，通過筆算26×24=624，結果一致，驗證規(guī)律正確?？缃M算式交叉驗證第一組算式6×200=1200，第二組算式20×4=80，交叉驗證：6×20=120（200÷10，1200÷10），10×4=40（20÷2，80÷2），不同情境下規(guī)律均適用。積的變化規(guī)律綜合總結04合并規(guī)律：乘除變化的統(tǒng)一表述

規(guī)律合并的核心思想將因數(shù)乘幾和除以幾（0除外）的兩種變化情況，歸納為同一規(guī)律，體現(xiàn)乘法運算中因數(shù)與積的關聯(lián)性。

統(tǒng)一規(guī)律的完整表述兩個因數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘（或除以）相同的數(shù)。

關鍵詞解析“不變”“乘幾”“除以幾（0除外）”“相同的數(shù)”是規(guī)律的核心要素，需準確理解和記憶。

規(guī)律記憶口訣一個因數(shù)沒變化，積就跟著另一跑；乘、除要一致，計算快捷少煩惱。記憶口訣：規(guī)律的簡單記法因數(shù)不變，積隨另跑一個因數(shù)沒變化，積就跟著另一跑；另因乘除幾（0除外），積也同樣乘或除。乘除一致，計算快捷乘、除要一致，計算快捷少煩惱；舉例驗證規(guī)律牢，8×3=24，8×6=48（×2則×2）。0要除外，牢記心間除數(shù)為0無意義，規(guī)律應用要注意；因數(shù)除以幾（0除外），積才隨之除以幾。易錯點提醒：0除外的重要性為何要強調(diào)“0除外”在除法中，0不能作除數(shù)。當研究“一個因數(shù)除以幾，積也除以幾”的規(guī)律時，若除以0，算式無意義，因此必須明確“0除外”。反例驗證：除以0不成立假設算式6×20=120，若說“一個因數(shù)6不變，另一個因數(shù)20除以0，積120也除以0”，由于20÷0和120÷0均無意義，所以規(guī)律不成立。正確表述完整規(guī)律完整規(guī)律為：兩個因數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘幾或除以幾。牢記“0除外”，避免規(guī)律應用錯誤。鞏固練習：基礎應用05填空題：根據(jù)規(guī)律直接寫得數(shù)

基礎型題目：單因素變化根據(jù)8×50=400，直接寫出得數(shù)：16×50=800（因數(shù)8×2，積400×2）；32×50=1600（因數(shù)8×4，積400×4）；8×25=200（因數(shù)50÷2，積400÷2）。

進階型題目：雙因素變化根據(jù)12×3=36，直接寫出得數(shù)：120×30=3600（因數(shù)12×10，因數(shù)3×10，積36×100）；24×15=360（因數(shù)12×2，因數(shù)3×5，積36×10）；6×6=36（因數(shù)12÷2，因數(shù)3×2，積不變）。

驗證型題目：規(guī)律反向應用根據(jù)26×48=1248，填空：26×24=624（因數(shù)48÷2，積1248÷2）；13×48=624（因數(shù)26÷2，積1248÷2）；26×12=312（因數(shù)48÷4，積1248÷4）。判斷題：辨析規(guī)律的應用

因數(shù)變化與積的關系判斷兩數(shù)相乘，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘5，積應該乘4。（×）解析：根據(jù)積的變化規(guī)律，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘5，積應乘5。

因數(shù)縮小對積的影響判斷兩數(shù)相乘，一個因數(shù)除以10，另一個因數(shù)不變，積也除以10。（√）解析：符合“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾（0除外），積也除以幾”的規(guī)律。

雙因數(shù)變化的積不變判斷一個因數(shù)乘7，另一個因數(shù)除以7，它們的積不變。（√）解析：一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同倍數(shù)（0除外），積不變。

單一因數(shù)擴大的積變化判斷一個因數(shù)擴大4倍，積也一定擴大4倍。（×）解析：需強調(diào)“另一個因數(shù)不變”的前提，若另一個因數(shù)變化，則積的變化不確定。計算題：利用規(guī)律簡化計算

基礎規(guī)律應用根據(jù)8×50=400，直接寫出結果：16×50=800（因數(shù)8×2，積400×2）；32×50=1600（因數(shù)8×4，積400×4）；8×25=200（因數(shù)50÷2，積400÷2）。

算式接龍練習26×48=1248，則26×24=624（48÷2，積1248÷2）；26×12=312（24÷2，積624÷2）；17×12=204，則17×24=408（12×2，積204×2）；17×36=612（24×1.5，積408×1.5）。

因數(shù)雙向變化△×○=600，若△÷10，○不變，則積=600÷10=60；若△不變，○÷10，則積=600÷10=60；若△×10，○÷10，則積=600×10÷10=600（積不變）。

實際問題應用長方形果園面積400平方米，寬8米，長=400÷8=50米；寬增加到24米（×3），面積=400×3=1200平方米（長不變，寬×3，積×3）。提升練習：實際問題解決06長方形面積的變化問題

01典型例題解析已知長方形綠地寬8米，面積400平方米，寬增加到24米，長不變。寬擴大倍數(shù)為24÷8=3，面積變?yōu)?00×3=1200平方米。

02解題關鍵步驟1.確定不變量：長方形的長；2.計算變化量：寬的擴大倍數(shù)；3.應用規(guī)律：面積隨寬的擴大而擴大相同倍數(shù)。

03變式練習一個長方形果園面積200平方米，長不變，寬從5米增加到20米，擴大后的面積是多少？（答案：800平方米）

04規(guī)律應用總結長方形面積=長×寬，當長不變時，寬乘（或除以）幾，面積也相應乘（或除以）幾，體現(xiàn)積的變化規(guī)律在幾何中的應用。購物情境中的規(guī)律應用

單價不變，數(shù)量變化求總價每包大米6元，買2包需6×2=12元；買20包（數(shù)量×10）需6×20=120元（總價×10）；買200包（數(shù)量×100）需6×200=1200元（總價×100）。

總價不變，單價調(diào)整算數(shù)量用400元買筆記本，單價8元可買50本；單價降至4元（÷2），可買100本（數(shù)量×2）；單價升至20元（×2.5），可買20本（數(shù)量÷2.5）。

促銷活動中的規(guī)律運用某零食單價15元，買3送1（實際付3份錢得4份）。買4份時，原總價60元，現(xiàn)付45元（總價×3/4），相當于單價降至11.25元（單價×3/4）。拓展題：兩個因數(shù)都變化的情況

規(guī)律一：兩因數(shù)同時擴大倍數(shù)一個因數(shù)乘A，另一個因數(shù)乘B，積就乘(A×B)。例：2×3=6，(2×2)×(3×3)=6×6=36，積乘(2×3)=6。

規(guī)律二：兩因數(shù)同時縮小倍數(shù)一個因數(shù)除以A，另一個因數(shù)除以B（A、B≠0），積就除以(A×B)。例：24×15=360，(24÷4)×(15÷3)=6×5=30，積除以(4×3)=12。

規(guī)律三：兩因數(shù)擴大