2026屆遼寧省四校高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類比上述方法：設(shè)實系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.43．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與圓相切于點，交雙曲線的右支于點，且點是線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.6．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要7．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.8．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，9．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.10．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.11．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標(biāo)為，則的最小值是A. B.C. D.12．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當(dāng)時，的周長為定值②當(dāng)時，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得④當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得平面14．已知為拋物線上的動點，，，則的最小值為________.15．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________16．過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，且點的橫坐標(biāo)為，過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準方程；（2）過橢圓E的上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；否則，說明理由.18．（12分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標(biāo)為，求線段的長19．（12分）設(shè)橢圓過，兩點，為坐標(biāo)原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由20．（12分）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點（1）求直線與直線所成角余弦值；（2）求點到平面的距離21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值22．（10分）記為等差數(shù)列的前n項和，已知.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A2、A【解析】用類比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對應(yīng)系數(shù)相等得：，.故選：A.【點睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.3、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C4、D【解析】焦點三角形問題，可結(jié)合為三角形的中位線，判斷：焦點三角形為直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出關(guān)系，從而得到關(guān)系，從而求得漸近線方程.【詳解】由題意知，，且點是線段的中點，點是線段的中點，為三角形的中位線故，故，由雙曲線定義有由勾股定理有故則則，故故漸近線方程為：故選：D【點睛】雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關(guān)系5、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.6、B【解析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：B7、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B8、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B9、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題10、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項公式，則可求出，得數(shù)列是一個等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個等比數(shù)列.所以=.故選：D11、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當(dāng)最小時，最小，則當(dāng)和拋物線相切時，最小設(shè)切點，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，與焦點、準線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關(guān)系可求得距離弦長以及相關(guān)的最值等問題.12、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】①結(jié)合得到P在線段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內(nèi)一點，①，當(dāng)時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當(dāng)點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當(dāng)時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當(dāng)時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當(dāng)時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當(dāng)時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當(dāng)時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉(zhuǎn)化等思路進行解決.14、6【解析】根據(jù)拋物線的定義把的長轉(zhuǎn)化為到準線的距離為，進而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點，設(shè)到準線的距離為，則，而的最小值為到準線的距離，故的最小值為.故答案為：615、##0.4【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進而利用求方差公式進行求解.【詳解】設(shè)，則，從而，解得：，所以故答案為：16、##【解析】不妨設(shè)點為第一象限內(nèi)的點，求出點的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點、的坐標(biāo)，可求得以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限內(nèi)的點，設(shè)點，其中，則，可得，即點，拋物線的焦點為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點，所以，，直線的方程為，拋物線的準線方程為，聯(lián)立，可得點，點到直線的距離為，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）過定點，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】因為橢圓離心率為，所以有.橢圓過點，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線的方程為：，若，由橢圓的對稱性可知：，不符合題意，當(dāng)時，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因為，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，當(dāng)時，直線，直線恒過定點，此時與點重合，不符合題意，當(dāng)時，，直線恒過點，當(dāng)直線不存在斜率時，此時，，因為，所以，兩點不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點的直線過定點，定點坐標(biāo)為.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍（2）設(shè)交點A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及弦長公式求解即可【詳解】（1）聯(lián)立y=2可得∵與有兩個不同的交點，且，且（2）設(shè)，由（1）可知，又中點的橫坐標(biāo)為，，或又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，19、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到，結(jié)合題意求解即可，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可.【小問1詳解】將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當(dāng)直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯(lián)立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即當(dāng)切線的斜率不存在時，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且20、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法由求解；（1）建立空間直角坐標(biāo)系，先取得平面的一個法向量，，，然后由求解【小問1詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，2，，則直線與直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】，2，，，2，，設(shè)平面的一個法向量，，，則，取，得，1，，又，點到平面的距離21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因為Q為AD的中點，，所以，又因為平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小