四川蓉城名校聯(lián)盟2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數(shù)滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.3．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.4．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為5．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.6．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.107．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.9．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點，且，則（）A. B.C. D.11．設(shè),,,則,,大小關(guān)系為A. B.C. D.12．若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.14．若向量滿足，則_________.15．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.16．若滿足約束條件，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式：.18．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，.（1）證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B2、A【解析】設(shè)，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的軌跡方程.3、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題4、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動比品種的數(shù)據(jù)波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎(chǔ)5、A【解析】求出點坐標，做出關(guān)于準線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準線方程為，，到準線的距離為2，故點縱坐標為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.7、A【解析】設(shè)，則函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出【詳解】設(shè)，定義域為，則，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，且所以當時，，遞減；當時，，遞增，所以所以，即故選：A【點睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B9、D【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.10、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B11、C【解析】由,可得,,故選C.考點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)12、B【解析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得，且，因此，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：14、【解析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.15、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：16、5【解析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即平移直線，當直線過點時取得最小值5故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）由題設(shè)可得，進而可知在恒成立，即可求參數(shù)范圍.（2）題設(shè)不等式等價于，討論的大小并根據(jù)一元二次不等式的解法求解集即可.【小問1詳解】當時，得，即.由，則，∴，即，∴，即，∴實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由，即，即.①當時，不等式解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為.綜上，當時﹐不等式的解集為；當時，不等式的解集為﹔當時，不等式的解集為.18、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),.則(2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗，當時，成立，故實數(shù)的取值范圍是.點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出在上的單調(diào)性；（2）設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設(shè)條件得出對任意恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】，當時，在上單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞增【小問2詳解】設(shè)和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當時，則有符合題意；當時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關(guān)鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導(dǎo)得不了函數(shù)的單調(diào)性，再次求導(dǎo)得，進而得出在恒成立，得在上的單調(diào)性.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、（1）的結(jié)論、構(gòu)造函數(shù)法分類討論進行求解即可.【小問1詳解】,,①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.②當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，③當吋，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上所述，當吋，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由（1）可知：①當時，在單調(diào)遞增，則恒成立②當時，在單調(diào)遞減，則應(yīng)（舍）③當時，，則應(yīng)有令，則，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又恒成立，則無解綜上，.【點睛】關(guān)鍵點睛：運用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合存在性、任意性的定義進行求解是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項和公差，由此求得.（2）利用裂項求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問2詳解】由（1）知.∴.∴.22、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的一個法