全等三角形幾何問(wèn)題典型題集引言全等三角形是平面幾何的核心工具，是證明線段相等、角相等及幾何位置關(guān)系的關(guān)鍵載體，貫穿初中幾何學(xué)習(xí)與中考命題。本文梳理全等三角形的典型問(wèn)題類(lèi)型，結(jié)合判定定理與解題技巧，通過(guò)實(shí)例解析深化對(duì)全等三角形的理解，提升幾何推理能力。一、全等三角形判定定理回顧全等三角形需滿(mǎn)足“對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角完全相等”，但直接驗(yàn)證所有邊、角不具操作性，因此需借助判定定理簡(jiǎn)化證明：1.SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“邊邊角”不成立，需嚴(yán)格區(qū)分“夾角”）。3.ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.AAS（角角邊）：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊）：僅適用于直角三角形，斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。二、典型題型與實(shí)例解析（一）基礎(chǔ)型：利用全等證明線段/角相等例題1：如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：∠B=∠C。思路分析：要證∠B=∠C，可通過(guò)證明△ABE≌△ACD，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。證明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知），∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。例題2：如圖，BD、CE是△ABC的高，BD=CE，求證：AB=AC。思路分析：BD、CE為高，故△ABD和△ACE均為直角三角形，可通過(guò)AAS證明全等。證明：∵BD、CE是高，∴∠ADB=∠AEC=90°。在△ABD和△ACE中，∠A=∠A（公共角），∠ADB=∠AEC（均為直角），BD=CE（已知），∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。（二）進(jìn)階型：利用全等證明線段和差關(guān)系例題3：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，過(guò)C作CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE。思路分析：需構(gòu)造全等三角形，將BD與CE的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段相等。延長(zhǎng)BA、CE交于F，證明△BEF≌△BEC（ASA）得EF=CE，再證明△ABD≌△ACF（ASA）得BD=CF，從而B(niǎo)D=2CE。證明：延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F?！逤E⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°。∵BD平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE。在△BEF和△BEC中，∠FBE=∠CBE（角平分線定義），BE=BE（公共邊），∠BEF=∠BEC（均為直角），∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EF=CE，即CF=2CE。又∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°。∵∠ADB=∠CDE（對(duì)頂角相等），∴∠ABD=∠ACF。在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF（已證），AB=AC（已知），∠BAD=∠CAF=90°（已知），∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF?！逤F=2CE，∴BD=2CE。（三）綜合型：全等與動(dòng)點(diǎn)、折疊問(wèn)題結(jié)合例題4：如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D從B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，△ABD≌△ACE？思路分析：由AB=AC得∠B=∠C（等邊對(duì)等角）。要使△ABD≌△ACE，需結(jié)合全等判定定理分析：若用SAS，需AB=AC（已知），∠B=∠C（已知），BD=CE（夾∠B、∠C的邊）。但BD=t，CE=2t，故t=2t?t=0（舍去）。重新觀察：當(dāng)D、E運(yùn)動(dòng)至D與E重合時(shí)，△ABD與△ACE重合，此時(shí)BD=BE，CE=CD（因D、E在BC上相向運(yùn)動(dòng)）。解答：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BD=t，CE=2t，BE=12?2t，CD=12?t。當(dāng)D、E重合時(shí)，BD=BE且CE=CD（即t=12?2t，2t=12?t），解得t=4。此時(shí)BD=4，CE=8（矛盾？不，實(shí)際當(dāng)t=4時(shí)，D運(yùn)動(dòng)至BC上的(4,0)，E運(yùn)動(dòng)至(12?8,0)=(4,0)，即D、E重合，△ABD與△ACE重合，故全等。（四）幾何綜合：全等與角平分線、中垂線結(jié)合例題5：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接EF，求證：AD垂直平分EF。思路分析：先證△AED≌△AFD（AAS）得AE=AF，DE=DF，再證AD是EF的垂直平分線（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）。證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∠AED=∠AFD=90°。在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD（均為直角），∠EAD=∠FAD（角平分線定義），AD=AD（公共邊），∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF。∴點(diǎn)A、D都在EF的垂直平分線上（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上），∴AD垂直平分EF（兩點(diǎn)確定一條直線）。三、解題思路與技巧總結(jié)1.找全等條件的策略：優(yōu)先觀察公共邊、公共角、對(duì)頂角（天然相等條件）。利用角平分線、中垂線、平行線的性質(zhì)（如角平分線到角兩邊距離相等）推導(dǎo)相等的邊/角。動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，用代數(shù)表達(dá)式（路程=速度×?xí)r間）表示線段長(zhǎng)度，結(jié)合全等條件列方程。2.輔助線的常見(jiàn)做法：證明線段和差時(shí)，常用截長(zhǎng)補(bǔ)短法（如例題3中延長(zhǎng)CE構(gòu)造CF=2CE）。涉及角平分線時(shí)，可作垂線（如例題5中DE、DF）或翻折三角形構(gòu)造全等。等腰三角形中，常作底邊的高（三線合一）輔助證明。3.易錯(cuò)點(diǎn)提醒：混淆“SSA”與“SAS”：“邊邊角”（非夾角）不能判定全等，需嚴(yán)格確認(rèn)角是兩邊的夾角。動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中忽略運(yùn)動(dòng)范圍（如例題4中E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間上限為6秒），導(dǎo)致方程解不符合實(shí)際。四、拓展與提升全等三角形的學(xué)習(xí)需結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、平移（全等變換）深化理解：旋轉(zhuǎn)類(lèi)問(wèn)題：將三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)邊、角仍相等，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等（如“半角模型”）。綜合題中，全等常與相似三角形、圓的性