高分提能七圓錐曲線融合交匯問題【考情分析】高考試卷結(jié)構(gòu)變化之后,注重知識融會貫通,要求具備將不同模塊知識綜合應(yīng)用的能力,本專題在模塊間的融合主要側(cè)重以下三個方面:(1)圓錐曲線與數(shù)列;(2)圓錐曲線與函數(shù);(3)圓錐曲線與三角.類型一圓錐曲線與數(shù)列交匯例1[2024·新課標Ⅱ卷]已知雙曲線C:x2-y2=m(m>0),點P1(5,4)在C上,k為常數(shù),0<k<1,按照如下方式依次構(gòu)造點Pn(n=2,3,…):過點Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點Qn-1,令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點,記Pn的坐標為(xn,yn).(1)若k=12,求x2,y2(2)證明:數(shù)列{xn-yn}是公比為1+k1(3)設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積,證明:對于任意正整數(shù)n,Sn=Sn+1.自測題[2025·山東臨沂二模]已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,P為圓x2+(y+3)2=1上的動點,|PF|的最大值為92(1)求C的方程.(2)已知點M11,12,按照如下方式構(gòu)造點Mn(n=1,2,3,4,…),設(shè)直線ln為C在點Mn處的切線,過點Mn作ln的垂線交C于另一點Mn+1,記Mn的坐標為(xn,y①證明:當n≥1時,|MnF|≥2n-1;②設(shè)△MnFMn+1的面積為Sn,證明:∑k=1n類型二圓錐曲線與函數(shù)交匯例2[2025·廣東廣州一模]已知動點P到點F12,0的距離等于它到直線x=-12的距離,(1)求C的方程.(2)O為坐標原點,過點M(2,0)且斜率存在的直線l與C相交于A,B兩點,直線AO與直線x=-2相交于點D,過點B且與C相切的直線交x軸于點E.(i)證明:直線DE∥l.(ii)滿足四邊形ABDE的面積為12的直線l共有多少條?說明理由.自測題“對號函數(shù)”y=ax+bx(a>0,b>0)的圖象也可以看成是以直線x=0與直線y=ax為漸近線的雙曲線.設(shè)函數(shù)y=3x3+32x(1)求雙曲線C1的焦點坐標;(2)將雙曲線C1繞著坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn),使焦點落到x軸上,得到雙曲線C2,設(shè)雙曲線C2的右焦點為F,過F的直線l與雙曲線C2的右支交于A,B兩點,當OA·OB=21時,求直線l的方程.類型三圓錐曲線與三角交匯例3[2025·天津卷]已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,P為直線x=a上一點,且直線PF的斜率為13,△(1)求橢圓的方程;(2)過點P的直線與橢圓有唯一交點B(異于點A),求證:PF平分∠AFB.自測題[2025·石家莊二模]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,F1,F2分別為C的左、右焦點,點P為橢圓C在第一象限內(nèi)的一點,△PF1F2的周長為4+22,若O為坐標原點,記|OP|=r,∠POF2(1)求C的方程及m的值.(2)若P1,P2為C上不同的兩點,滿足∠POP1=∠P1OP2=∠P2OP,設(shè)△POP1,△P1OP2,△P2OP的面積分別為S1,S2,S3,求證:當θ變化時,S12(3)請?zhí)骄?若P1,P2,…,P2n為C上2n(n≥2)個不同的點,且∠PiOPi+1=πn,|OPi|=ri,其中i=1,2,…,2n-1,|OP2n|=r2n,點P1與