第6題

“數(shù)”與“形”突破平面向量問題（解透一題）【2025年3月廣西柳州市聯(lián)考數(shù)學試題T14】在直角三角形中，其中，，并且點P是三角形內(nèi)一點，且AP=1，，則的最大值為.這是一道基于平面向量的最值問題，以三角形為載體，給出直角三角形的兩邊長度以及向量的關系和模長條件，要求求解一個關于向量系數(shù)的線性組合的最大值，屬于向量與代數(shù)運算相結合的綜合性題目，題型具有較強的綜合性和創(chuàng)新性.而此類涉及平面向量的線性運算、模與數(shù)量積等綜合應用問題，通常是高考中該模塊知識的一大基本考點．常見的思維方法或通過“數(shù)”的基本屬性進行代數(shù)運算，或通過“形”的幾何結構進行直觀化處理，或通過“數(shù)形結合”的綜合應用進行坐標法求解等，從不同思維視角切入與應用，合理發(fā)散數(shù)學思維，可以很好地考查數(shù)學的“四基”，以及學生的“四能”與關鍵能力等．【方法一】轉化為二元約束優(yōu)化問題根據(jù)條件得到λ與μ的關系，然后最大化.這是一個典型的約束優(yōu)化問題.先求λ與μ的關系【角度1】坐標法得λ與μ的關系鑒于，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸構建平面直角坐標系.(重點：借助垂直構建平面直角坐標系)由此可得，設，則.已知，將坐標代入可得即.（依據(jù)向量關系推導坐標關系）因為AP=1，所以點P在以為圓心，1為半徑的圓上，即（x>0，y>0，因為P為△ABC內(nèi)一點），此時也有【角度2】模方得λ與μ的關系因為，所以，又∣AP∣=1，對兩邊平方得：，即.已知，則.因為P為△ABC內(nèi)一點，所以求解的最大值角度一-----三角換元法因為AP=1，所以點P在以A(0，0)為圓心，1為半徑的圓上，即（x>0，y>0，因為P為△ABC內(nèi)一點），所以可設故（時取等）角度二-----線性規(guī)劃法設，則，.令，則，表示直線在y軸上的截距.根據(jù)直線與四分之一圓的位置關系，直線與圓相切時.角度三------均值不等式運用均值不等式（當且僅當時等號成立）.對于.因為，所以，則，當且僅當時等號成立.角度四------柯西不等式由柯西不等式有，當時取等號.因為，所以故，角度五------方程法令，則.把代入中，得到.即).由于為實數(shù)，所以關于的一元二次方程的判別式.解得.（本題是由范圍限制的，方程法的局限性在于容易出錯不好檢查）方法一點評與總結:1.在直角三角形中，合理構建平面直角坐標系可將向量問題轉化為坐標運算問題，降低問題難度，注意坐標原點、坐標軸的選取要結合已知條件.2.準確運用向量基本定理：根據(jù)，準確得到坐標之間的關系，為后續(xù)的代數(shù)變形做準備.3.靈活選擇求最值方法：本題可以通過構造一元二次方程利用判別式求最值，也可以利用均值不等式求最值，要根據(jù)自己的熟練程度和題目的特點靈活選擇.【方法二】利用共線向量得得2λ+3μ的表達式+幾何法以A為圓心，AP為半徑作圓分別交AB，AC于M，N，如圖:因為AP=1，則AM=AN=1，則①設，由M，N，Q三點共線得：存在，使由A，P，Q三點共線得:存在，使②這里由①②得：.當AQ⊥MN時，|AQ|最短為，此時取得最大值為，即的最大值為.【方法三】利用向量的數(shù)量積得2λ+3μ的表達式，，所以，所以故.涉及平面向量的?；驍?shù)量積的求值與最值(或取值范圍)等綜合應用問題時，往往借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性.抓住平面向量的模與數(shù)量積自身“數(shù)”的屬性應用，或“形”的幾何特征，并結合不同的應用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應的平面向量的?；驍?shù)量積的綜合應用問題．依托平面向量自身的“數(shù)”與“形”的雙重屬性，借助“數(shù)”與“形”的不同視角，使得平面向量的?；驍?shù)量積的綜合問題的求解與應用更加合理、有效、可行、快捷，或借助“數(shù)”來代數(shù)運算，或借助“形”來直觀想象，也可以實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的緊密結合，有效實現(xiàn)知識與能力的有效融合(回歸教材研究平面向量基本定理表示向量)1．將向量的起始點平移至同一點，即兩個向量都是從點A出發(fā)的，從點A出發(fā)任意方向作一個向量，從的終點處分別作向量的平行線，形成一個平行四邊形，那么由向量相加的平行四邊形法則可知，向量可以表示成分別與共線的兩個向量之和，即.問題:已知向量??在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若（），則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，求出的坐標，通過坐標運算即可求解.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，設每個格子長度為1，則，由得，解得，所以.故選：B.(坐標法，即合理建立坐標系，求出向量所涉及點的坐標，利用向量的坐標運算解決)2．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若，則+的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.設,易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【點睛】（1）應用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.3．在邊長為1的正方形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上.若，則的最大值是A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】以為原點，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設點的坐標為，，根據(jù)，求出，，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值【詳解】如圖：以為原點，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標系，則，，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，設圓的半徑為，，，，圓的方程為，設點的坐標為，，，即，=，，，，，，，，故的最大值為3，故選：A.【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關鍵是設點的坐標，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．(基底法)4．如圖，在中，，點是的中點，點在邊上，交于點，設，則；點是線段上的一個動點，則的最大值為．【答案】##【分析】利用平面向量的基本定理計算即可得空一，利用平面向量數(shù)量積的運算律計算即可得空二.【詳解】

設，由題意可知，，則，因為不共線，所以有，此時；可設，則，當重合時取得等號.故答案為：；.5．如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓上有一點，若，則的最大值為.【答案】【分析】以點A為坐標原點，建立平面直角坐標系如下圖所示，由已知條件得出點坐標，圓M的方程，設，由