第10講函數(shù)與方程題型梳理題型梳理題型方法題型一判斷零點(diǎn)所在區(qū)間題型二判斷零點(diǎn)的大小題型三判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)題型四已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)知識(shí)清單知識(shí)清單1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．常用結(jié)論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)題型方法題型方法【題型一】判斷零點(diǎn)所在區(qū)間【例1】（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏线B續(xù)且為增函數(shù)．且，則．由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．故選：C.解題技巧確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．【舉一反三】【變式1】（2025·河北滄州·二模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】因?yàn)榕c均在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，，又，函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是．故選：B．【變式2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解【詳解】解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：【變式3】（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計(jì)函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)為上的減函數(shù),函數(shù)的圖像在上為一條連續(xù)不斷的曲線,又,,所以函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為.故答案為:.【題型二】判斷零點(diǎn)的大小【例2】（2024·廣東·二模）設(shè)，，分別為函數(shù)，，的零點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為(

).A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)，，所以，然后在和時(shí)，分別判斷和的零點(diǎn)，即，的取值范圍，最后綜合判斷即可.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以；若，則，所以時(shí)，，即；若，則，所以時(shí)，，即.綜上所述，，故選：D.【舉一反三】【變式1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)分別為a,b,c,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a,b,c,結(jié)合圖象分析判斷大小.【詳解】令，可得，可知與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為a,b,c,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出，的圖象，根據(jù)圖象可知：與有2個(gè)交點(diǎn)，但均有，所以.故選：A.【變式2】（多選）（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)都是一次函數(shù)的零點(diǎn)，則下列不等關(guān)系中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】首先由條件轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可得，，即，在同一坐標(biāo)系下作出的圖象如圖.根據(jù)圖象可知，時(shí)，，時(shí)，，有或，故B錯(cuò)誤；若，則，所以，故A正確；若，則，所以，故D正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕沟茫?，即，故C正確.故選：ACD【變式3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）若，，，則x、y、z由小到大的順序是.【答案】【分析】把給定的三個(gè)等式作等價(jià)變形，比較函數(shù)的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小作答.【詳解】依題意，，，，，因此，成立的x值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的y值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的z值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的順序是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及某些由指數(shù)式、對數(shù)式給出的幾個(gè)數(shù)大小比較，可以把這幾個(gè)數(shù)視為對應(yīng)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與另外某個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用圖象的直觀性質(zhì)解決.【題型三】判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例3】（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．解題技巧求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個(gè)解，則f(x)有多少個(gè)零點(diǎn)；(2)定理法：利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【舉一反三】【變式1】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先求出零點(diǎn)滿足，再結(jié)合特殊值及角的范圍求解零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)零點(diǎn)滿足所以或舍，在上的值為，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè).故選：C.【變式2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先發(fā)現(xiàn)其關(guān)于原點(diǎn)對稱，再利用奇函數(shù)的定義判斷為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用二倍角公式將化簡為，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而解出在的兩個(gè)零點(diǎn)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到在上也有兩個(gè)零點(diǎn)，最后匯總零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，則，因?yàn)椋杂啥督枪降?，化簡得，令，則，易得，當(dāng)時(shí)，得到在上單調(diào)遞減，則，故，則令，可得，得到，解得，或，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上也有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上，共有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確.故選：C【變式3】（2023·河南平頂山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法求切線；（2）轉(zhuǎn)化為求與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法求得的單調(diào)性及極值，由數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)函數(shù)，則，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，如圖所示，由，得．當(dāng)或時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4．【題型四】已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【例4】（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根即可，令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.解題技巧根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.【舉一反三】【變式1】（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)圖象觀察，分類討論即得.【詳解】解：由題意知，要使得恰有2個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，，令，可得；當(dāng)時(shí)，，令，可得．在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)，和的圖象，如圖所示，由函數(shù)，可得，可得時(shí)，，，故函數(shù)在處的切線方程為，又由函數(shù)，可得，可得時(shí)，，故函數(shù)在的切線方程為，所以函數(shù)與只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象得：當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有3個(gè)零點(diǎn)，要使得恰有2個(gè)零點(diǎn)，則滿足，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C.【變式2】（2025·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】首先分析分段函數(shù)的單調(diào)性，然后畫圖，將“存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)的問題，結(jié)合圖象即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，最大值為.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如下：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)的問題.由圖可知時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)與直線最多有2個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)與直線最多有2個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，由圖可以知道，存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)與直線恰有3個(gè)交點(diǎn)，符合題意.故答案為：.【變式3】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可求出的值，再檢驗(yàn)即可；（2）依題意的圖像與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/p>

，由已知，即，或，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，時(shí)有極小值，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，時(shí)有極大值，不符合題意，故舍去.；（2）由已知有三個(gè)不同零點(diǎn)，即的圖像與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由（1）知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有極大值，即，當(dāng)時(shí)，有極小值，即，所以，.好題必刷好題必刷一、單選題1．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，解得．故選：D.2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得在上單調(diào)遞增，后由零點(diǎn)存在性定理結(jié)合冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】注意到函數(shù)圖象在上連續(xù)不間斷，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增.對于A，.因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則在上無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，結(jié)合，故在上存在零點(diǎn)，故正確；對于CD，由于在上單調(diào)遞增，，可知C?D都是錯(cuò)誤的.故選：B.3．（2025·湖南邵陽·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由，，令，求解的值，判斷選項(xiàng).【詳解】由，，令，則，或，故或，即或，由，則或，即或，故或，綜上所述，存在個(gè)零點(diǎn),即為.故選：C.4．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過將已知等式變形得到關(guān)于、、的方程，然后將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后通過比較函數(shù)圖像交點(diǎn)的位置來確定、、的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由此，分別為方程的解，在同一坐標(biāo)系作函數(shù)的圖像，分別與函數(shù)的圖像分別交于，其橫坐標(biāo)分別為，由圖可知.故選：A.5．（2025·山東青島·模擬預(yù)測）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同構(gòu)得有兩個(gè)不同的解，換元后考慮有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求參數(shù)的范圍.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的解，所以有兩個(gè)不同的解，故有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，故為上的單調(diào)增函數(shù)，而時(shí)，，時(shí)，，故的值域?yàn)椋试谏嫌袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故時(shí)，確有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上.故選：D.二、多選題6．（2025·陜西·二模）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分，和三種情況，通過導(dǎo)數(shù)求切線斜率，數(shù)形結(jié)合判斷.【詳解】令，即，，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出的圖象，當(dāng)時(shí)，，如圖，此時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由于恒過，故與有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)與相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，此時(shí)切線斜率為，解得：，，當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，此時(shí)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，如下圖：當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，當(dāng)時(shí)，設(shè)與相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，恒過，此時(shí)切線斜率為，解得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，如下圖：當(dāng)時(shí)，與的圖象沒有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，無論取何值，與的圖象不會(huì)由4個(gè)交點(diǎn).故選：ABC.7．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知，則（

）A．的最小正周期為B．的最小值為C．在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)D．在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】由三角恒等變換化簡即可判斷AB，由平移變換得和求出零點(diǎn)即可判斷CD.【詳解】對于A，由，顯然不恒等于，即不是的周期，故A錯(cuò)誤；對于B，因，，則，故B正確；對于C，，因，則由可得，即零點(diǎn)有3個(gè)，故C正確；對于D，，因，則由有，即零點(diǎn)有4個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題8．（2025·上?！と＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】3【分析】根據(jù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)，由圖即可得出答案.【詳解】根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

時(shí)，函數(shù)取最大值，時(shí)函數(shù)的值為，又因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知，兩函數(shù)圖象具有個(gè)交點(diǎn).所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：.9．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】2【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，求證為偶函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到，計(jì)算即可.【詳解】令，定義域?yàn)镽，則，則為偶函數(shù)，由于曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則只有唯一的零點(diǎn)，則，解得.故答案為：.10．（2024·浙江·二模）函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)．【答案】1【分析】運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)概念，求解零點(diǎn)，結(jié)合分段函數(shù)特征,分類討論判定即可.【詳解】當(dāng)，令，解得，但，所以只有可能是零點(diǎn)，且.當(dāng)，令，解得，又，所以只有，即時(shí)，可能是零點(diǎn).綜上，當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)．即函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)故答案為：1．四、解答題11．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）把問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，令，研究其單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化為求最小值，判斷大于零即可；（2）利用分類討論的思想來求解，方法一：分和，設(shè)，容易判斷時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來進(jìn)行討論，求出的最小值為，進(jìn)行分類討論即可求解；方法二：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)利用極限的思想來求解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，要證函數(shù)在上單調(diào)遞增，只要證明在上恒成立，令，因?yàn)?，令，解得，由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以恒成立，即在上單調(diào)遞增；（2）方法一：令，等價(jià)于，設(shè)，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，若．即在上沒有零點(diǎn)；若，即在上有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).方法二：當(dāng)時(shí)，恒成立，沒有零點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故在上有唯一零點(diǎn)，所以在上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，即，得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則只要即可，解得；綜上，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).12．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)常數(shù).已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)；(2)若在上嚴(yán)格增，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由零點(diǎn)的定義建立方程，根據(jù)三角函數(shù)恒等式，結(jié)合正切函數(shù)，可得答案；（2）由函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，建立不等式，可得答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（2），求導(dǎo)可得即在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，，，故，所以.13．（2025·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)．(1)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，再用零點(diǎn)存在性定理求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，并求出切線方程，結(jié)合（1）證兩條切線重合即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，函數(shù)在和上均單調(diào)遞增，由，，得在上有唯一零點(diǎn)，由，，得在上有唯一零點(diǎn)，所以有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（2）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則，，，即切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.由是的一個(gè)零點(diǎn)，得，則，因此直線與直線為同一直線，所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.14．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（），(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）由（1）的結(jié)論，按分段討論給定不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性建立不等式求解