專題10函數(shù)的零點問題（一題多變）【典例展示】設函數(shù)．（1）若，則的最小值為______．（2）若恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．【思路分析】本題中在上是指數(shù)型函數(shù)．在上是二次函數(shù)，第（1）問求函數(shù)的最值，需分類討論；第（2）問，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)，須分，兩種情況加以討論，通過驗證來實現(xiàn)對x的取值范圍的討論．【精細解析】（1）當時，，當時，，無最小值；當時，．由二次函數(shù)的性質知，時，的最小值為，∴的最小值為．（2）當時，無解，有兩解，分別為a與，但均小于1，不合題意，故時不成立；當時，有解，有解或，要使恰有2個零點，需3個根中有1個不合題意，只有或．解得或．綜上，實數(shù)a的取值范圍是．【題后反思】本例是分段函數(shù)最值和零點問題的探求．由于分段函數(shù)是定義域內(nèi)不同區(qū)間內(nèi)對應關系不同的函數(shù)，解題時要把握分類討論的基本思想．在下面的變式及訓練題中，將圍繞函數(shù)零點問題：求零點（和、范圍）、求零點個數(shù)、根據(jù)零點情況求參數(shù)（范圍）展開.【追根溯源】1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(3)結論：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.2．函數(shù)零點的判定定理條件結論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b）＜03．確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標，實質是同一個問題的3種不同表達形式．確定零點、方程根、函數(shù)圖像與x軸交點所在區(qū)間本質上是同一問題的不同表述形式，所以常用解法有3種．①解方程法；②利用函數(shù)零點的存在性定理；③數(shù)形結合法．同樣，判斷函數(shù)零點個數(shù)也是這3種方法．4．判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結合單調性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．5.已知函數(shù)有零點（方程有根），求參數(shù)取值常用的方法（1）直接法．直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分離參數(shù)法．先將參數(shù)分離，轉化為求函數(shù)值域問題加以解決．（3）數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結合求解．（4）導數(shù)法【變化角度】變具體含參分段函數(shù)為具體函數(shù)，根據(jù)新含參函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù).已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【思路分析】根據(jù)函數(shù)可化為=a|x|，分段函數(shù)涉及一次、二次函數(shù)，其圖象易于繪制，因此，利用數(shù)形結合思想，畫出的圖像與d的圖象；對于“臨界”處，應用代數(shù)方法探究.【詳解】畫出函數(shù)的圖像如圖所示．函數(shù)有4個零點，即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有4個交點（根據(jù)圖像知）．當時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有3個交點，故．當與相切時，在整個定義域內(nèi)，的圖像與的圖像有5個交點．此時，由得．由得，解得或（舍去）．則當時，兩個函數(shù)圖像有4個交點，故實數(shù)a的取值范圍是．【變換角度】變根據(jù)含參函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，為函數(shù)在區(qū)間存在零點求參數(shù)范圍.設函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意不為零的實數(shù)a，b均有成立，則t的取值范圍是______．【思路分析】本題可以有兩種思路．①運用零點存在性定理求解；②運用數(shù)形結合求解，畫出函數(shù)及y=a+b的圖象.【詳解】解法一（零點存在性定理）由題意在區(qū)間上對于任意的，均有解．故在上對于任意的，均有零點．∵，．故；?。?，則t一定要大于1；ⅱ．若，則．故在區(qū)間上必有零點．由零點存在性定理可得．解法二（一“定”一“動”，數(shù)形結合）∵在區(qū)間上對于任意的，有解，即在區(qū)間上對于任意以，均有解．即與在區(qū)間上有交點，如圖所示，故．【變換角度】給出兩個含參數(shù)的函數(shù)，變換問題的提法，將兩函數(shù)圖象的交點問題，轉化成根據(jù)零點情況求參數(shù).（2024·全國·高考真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（）A．

B．

C．1

D．2【思路分析】思路一：令，分析可知曲線與恰有一個交點，結合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得，并代入檢驗即可；思路二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即可得，并代入檢驗即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.【變換角度】變根據(jù)含參函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，為探究函數(shù)零點個數(shù).（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關于方程的根個數(shù)不可能是（）A．0個

B．1個

C．2個

D．3個【思路分析】將原問題轉化為直線與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：將原問題轉化為直線（過定點）與函數(shù)的圖象交點的個數(shù)，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象只有一個交點；當時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點；當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個交點．故選：C．（23-24高一上·廣東湛江·期中）1．設，若關于x的方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得或，的圖象與直線共有三個不同的交點，從而可求出實數(shù)t的取值范圍.【詳解】由得或，作出函數(shù)的圖象，易知當時，不符合題意；當時，，結合函數(shù)的圖象知，要使方程有三個不同的解，需滿足方程有兩個解，方程有且只有一個解，由圖象知，所以．故選：C．（23-24高一下·廣東東莞·期中）2．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，，，且，，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象特征可得，再由對數(shù)的運算性質得，然后代入可求得結果.【詳解】的圖象如圖所示，因為的圖象關于直線對稱，且函數(shù)有四個不同的零點，，，所以，，所以，因為，所以，得，即實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問題，解題的關鍵是畫出函數(shù)圖象，結合圖象求解，考查數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.（23-24高三下·上海·期中）3．已知，且，則函數(shù)的零點為.【答案】3【分析】令，分和兩種情況，解方程可得答案.【詳解】因為，則，所以，令，則，當時，，令，解得：；當，，令，解得：(舍去)，故函數(shù)的零點為故答案為：3（23-24高二下·上?！て谥校?．已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使在上有2個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】由題意可知：原題意等價于與在內(nèi)有2個交點，求在處的切線方程，結合圖象分析求解.【詳解】令，可得，原題意等價于與在內(nèi)有2個交點，且，的橫截距為，因為，則，即切點坐標為，切線斜率，則切線方程為，即，即在處的切線方程為，該切線的橫截距為，結合圖象可知：若與在內(nèi)有2個交點，則，即的取值范圍為.故答案為：.（2024·江蘇徐州·模擬預測）5．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點個數(shù)，對參數(shù)a分類討論并結合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】①當時，，由于時，時，此時只有一個零點，所以不符合題意；②當時，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于時，，時，，當且僅當，即時取等號，此時在上有，要使有兩個零點，只需，即；③當時，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，故與x軸有且只有一個交點，要使有兩個零點，只需函數(shù)有一個零點即可，當時，恰好只有一個零點.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.（2024高二上·福建·學業(yè)考試）6．已知函數(shù)且．(1)求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計算可得；