時間序列分析張成思2

第6章非平穩(wěn)時間序列

6.1確定性趨勢模型

6.2隨機(jī)趨勢模型

6.3去除趨勢的方法8.1確定性趨勢模型

所謂確定性趨勢，是指模型中含有明確的時間t變量，從而使得某一時序變量隨著時間而明確地向上增長。最簡單的線性確定性趨勢模型可以寫成

其中表示均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)變量。

對方程兩邊同取期望，可得

方程說明，只要系數(shù)不為0，則序列的均值隨時間推移而不斷增大。正因?yàn)檫@個特點(diǎn)，確定性趨勢模型也稱為“均值非平穩(wěn)”過程圖6-1中國真實(shí)GDP時序數(shù)據(jù):1992年第1季度—2024年第1季度6.2隨機(jī)性趨勢模型6.2.1隨機(jī)趨勢模型的基本定義

考慮AR(1)模型：其中代表方差為的白噪音過程。

將模型寫成：。

如果假設(shè)初始觀測值為

，那么通過反復(fù)迭代可以得到：

這個表達(dá)式可以看成是一種隨機(jī)常數(shù)項，由于每個隨機(jī)擾動因子對

的條件均值的影響都是永久性的，所以這樣的模型經(jīng)常被稱為隨機(jī)趨勢模型。6.2.2隨機(jī)游走模型

實(shí)際上，模型方程式的形式就是一個隨機(jī)游走過程。那么隨機(jī)游走過程的特點(diǎn)有哪些呢？首先，從基本定義式可以看到，隨機(jī)游走過程就是一個常數(shù)項為0并且自回歸系數(shù)為1的AR（1）模型。

進(jìn)一步考察隨機(jī)過程的均值和方差：根據(jù)自協(xié)方差的定義，有：進(jìn)而，可以獲得自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式：圖6-2隨機(jī)游走過程與高持久性AR(1)模型的比較6.2.3帶有截距項的隨機(jī)游走模型如果現(xiàn)在假設(shè)模型(6.8)中增加了一個常數(shù)項，即

其它假設(shè)均不變。此時的模型稱為帶有截距項的隨機(jī)游走過程

RWD的均值、方差:RWD的自協(xié)方差:RWD的自相關(guān)函數(shù):圖6-3RWD過程及其樣本自相關(guān)函數(shù)6.3去除趨勢的方法

在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，平穩(wěn)時間序列要比非平穩(wěn)時間序列具有更多吸引人的特性。另外，平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列在某些重要特性方面差異明顯。

但是，含有趨勢的時間序列卻永遠(yuǎn)也不會回復(fù)到一個長期的固定水平。隨機(jī)擾動對含有趨勢的時間序列的影響將是長久的，表現(xiàn)出一種長期的記憶性。

如果含有趨勢成分的非平穩(wěn)時間序列參與到計量回歸中，許多經(jīng)典的回歸估計假設(shè)條件將不再滿足，所以就必須小心解釋相應(yīng)的統(tǒng)計檢驗(yàn)和統(tǒng)計推斷，有的情況下會出現(xiàn)所謂的“偽回歸”現(xiàn)象，而有的條件下需要應(yīng)用協(xié)整分析方法。

一般來說，常用的去除趨勢的方法有差分法和去除趨勢法，前者主要針對隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)時間序列，而后者主要針對含有確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列。

6.3.1差分法

差分法一般用來去除含有隨機(jī)趨勢的非平穩(wěn)時間序列。如果從AR模型的平穩(wěn)性條件來考慮，它非平穩(wěn)，就是因?yàn)樗奶卣鞣匠痰母幸粋€單位根。所以也被稱為“單位根過程”，或者“一階單整過程”，記做I(1)，其中“I”表示單整，“(1)”表示單整的階數(shù)。

隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程可以通過差分法變?yōu)槠椒€(wěn)過程。如果是I(1)，則一次差分即可實(shí)現(xiàn)，而對于I(2)過程，則可以通過兩次差分獲得平穩(wěn)過程。

以隨機(jī)游走過程為例，一階差分就是指使用原過程獲得一次差分項

的表達(dá)式，其中“

”表示差分符號。所以：

從模型方程式可以看出，基于隨機(jī)游走過程的一次差分

是一個平穩(wěn)的隨機(jī)時序變量，因?yàn)?/p>

等于平穩(wěn)白噪音過程

。圖6-4RWD過程與其一次差分后的序列

以上處理方法很容易拓展到高階單整序列。例如，假設(shè)

是一個I(2)過程，那么對其二次差分就可以獲得平穩(wěn)序列，即：

其中：“

”表示二次差分符號。依此類推，“

”表表示三次差分符號，而“

”表示n次差分符號。對于ARIMA(p,1,q)來說，

雖然我們這里討論的是一階單整形式的ARIMA模型，但二階或者其他高階ARIMA模型可以運(yùn)用類似的思路獲得平穩(wěn)的差分序列。概括地說，一個ARIMA(p,d,q)過程，經(jīng)過d次差分后就可以獲得對應(yīng)的平穩(wěn)過程。6.3.2去除趨勢法

當(dāng)然，如果不能確定時間趨勢成分是否僅為一次冪的形式，還可以采用更一般的確定性趨勢非平穩(wěn)序列的模型形式，如：

。

然后可以通過OLS回歸，運(yùn)用“向下檢驗(yàn)法”的原則或者信息準(zhǔn)則法確定出

的階數(shù)，最終獲得平穩(wěn)序列

的估計值即可。6.3.3去除趨勢的方法比較

前面小節(jié)討論了差分法和去除時間趨勢法，并且認(rèn)識到不同的趨勢非平穩(wěn)序列需要采用不同的去除趨勢成分的方法。實(shí)際上，去除含有趨勢成分的非平穩(wěn)時間序列的方法還有很多濾波方法。常見的有HP濾波、卡爾曼濾波，以及近年來新發(fā)展起來的BK濾波和CF濾波。圖6-5去除趨勢法獲得的序列及其自相關(guān)函數(shù)圖和部分自相關(guān)函數(shù)圖

本小節(jié)開始我們還提到過其他一些常用的濾波法，利用這些方法也可以獲得非平穩(wěn)時間序列的平穩(wěn)序列成分。HP濾波就是很常用的一種。

假定一個非平穩(wěn)時間序列yt可以分解為趨勢成分μt和平穩(wěn)成分(yt-μt),HP濾波使用下列算法求解趨勢成分μt,即最小化下列函數(shù)其中,T是樣本大小,λ被稱為懲罰參數(shù)(penaltyparameter),用來控制趨勢成分μt的平滑程度,λ越大,該序列越平滑

從式(6.3)不難看出,當(dāng)λ=0時,最小化式(6.3)的結(jié)果給出的是yt=μt,即yt序列的趨勢成分等于其本身。而在另一極端情況下λ→∞,最小化式(6.33)的結(jié)果給出的是(μt+1-μt)-(μt-μt-1)=0。也就是說,在λ→∞的情況下,趨勢的變化幅度是恒定的,從而趨勢成分就是一個線性時間趨勢,因?yàn)棣蘴-μt-1=μt-1-μt-2

注意，因?yàn)槟Ｐ?6.33)中的T并不影響函數(shù)最小化過程的實(shí)質(zhì)性結(jié)果，所以有的教