第01講基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：基本立體圖形角度1：結(jié)構(gòu)特征角度2：直觀圖角度3：展開圖題型二：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積角度2：體積角度3：螞蟻爬行最短問(wèn)題題型三：空間幾何體的外接球角度1：補(bǔ)形法角度2：對(duì)棱相等型角度3：借助三角形外心確定球心題型四：空間幾何體的內(nèi)切球第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、多面體的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱1.2棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐1.3棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征2.1圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱2.2圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐2.3圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)2.4球球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:知識(shí)點(diǎn)二：直觀圖1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn),畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn),且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡(jiǎn)記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.2、斜二測(cè)畫法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．知識(shí)點(diǎn)三：柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體（棱柱，圓柱）椎體（棱錐，圓錐）臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）球知識(shí)點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)圖示側(cè)面積公式常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：基本立體圖形角度1：結(jié)構(gòu)特征典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題為（

）A．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B．底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體C．直四棱柱是直平行六面體D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)例題2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（

）A． B． C． D．題型歸類練1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（文））下列說(shuō)法中正確的是（

）A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)B．上下底面全等，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是______．角度2：直觀圖典型例題例題1．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)（文））如圖，是水平放置的的斜二測(cè)畫法的直觀圖，其中，則是（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形例題2．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）如圖，平行四邊形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中,，則原圖形的面積是（

）A．4 B． C． D．例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二開學(xué)考試）如圖，是水平放置的的直觀圖，，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．題型歸類練1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的面積是________．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是利用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為16，過(guò)作軸，則的長(zhǎng)為______．角度3：展開圖典型例題例題1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（文））如圖是一個(gè)正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對(duì)面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒例題2．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二期中）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是2和4，則該圓臺(tái)的體積是（

）A． B．C． D．例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．例題4．（2022·貴州黔東南·高一期末）如圖（1）的平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖（2）的“正六面體”，則=___________．題型歸類練1．（2021·湖南·株洲市南方中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）2．（2022·遼寧·高一期末）某圓臺(tái)的側(cè)面展開圖如圖所示，其中，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．3．（2020·浙江師范大學(xué)附屬東陽(yáng)花園外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開學(xué)考試）圓臺(tái)的上、下底半徑分別是和，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角為，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是_________.題型二：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，沿圖1中對(duì)角面將它分割成兩個(gè)部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））我國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長(zhǎng)為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺例題3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示（單位：m），則要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要______的篷布．（取3.14，計(jì)算結(jié)果精確到）例題4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，求該圓柱的側(cè)面積與表面積．例題5．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，且，，．(1)求四棱臺(tái)的側(cè)面積；(2)求四棱臺(tái)的體積．題型歸類練1．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））如圖，長(zhǎng)方體中，，若直線與直線所成的角為，則該長(zhǎng)方體的表面積為（

）A．48 B．32 C．24 D．122．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，、是圓錐SO的兩條母線，是底面圓的圓心，底面圓半徑為10，是的中點(diǎn)，，與底面所成角為，求此圓錐的側(cè)面積．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用鐵皮作一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形容器，已知該圓錐的母線與底面所在平面的夾角為45°，容器的高為10cm，制作該容器需要多少面積的鐵皮？（不計(jì)耗損，結(jié)果精確到整數(shù)）4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知球的半徑為，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱的底面半徑和高為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)．若截面是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的表面積．角度2：體積典型例題例題1．（2022·浙江·高一期中）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江蘇南通·高一期末）如圖，直三棱柱中，是的中點(diǎn)，則

（

）A． B． C． D．例題3．（2022·山東臨沂·高一期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其底面積為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B．16π C．18π D．例題4．（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)），則三棱錐的體積的取值范圍是___________.例題5．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，且為中點(diǎn)．求到平面的距離．題型歸類練1．（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三開學(xué)考試）甲?乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和體積分別為和.若，則___________.3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）所有棱長(zhǎng)均為2的正三棱錐的體積為______.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的體積為______.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某圓錐的側(cè)面展開圖的面積為，扇形的圓心角的正切值為，求圓錐的體積．角度3：螞蟻爬行最短問(wèn)題典型例題例題1．（2022·河北張家口·高一階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．例題2．（2021·福建·廈門一中高一開學(xué)考試）如圖是一塊長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．cm B．cm C．9cm D．cm例題3．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，已知圓錐的母線長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)的最短距離為，則該圓錐的底面半徑為（

）A．1 B．2 C． D．例題4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱底面，．有一只小蟲從點(diǎn)沿三個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)，求小蟲爬行的最短路程．題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點(diǎn)E，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·鄭州市第二高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，繞過(guò)三棱柱的一條棱爬到點(diǎn)處，則這只螞蟻爬行的最短路程是__________．3．（2022·河南開封·高二期末（理））已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，一只螞蟻從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為______．4．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校高一期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，紅、黑兩只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，紅螞蟻的爬行路線是，黑螞蟻的爬行路線是，它們都依照如下規(guī)則：所爬行的第段與第n段所在直線必須是異面直線．設(shè)紅、黑兩只螞蟻都走完2023段后各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)紅、黑兩只螞蟻的直線距離是多少？題型三：空間幾何體的外接球角度1：補(bǔ)形法典型例題例題1．（2022·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，則鱉臑外接球的表面積是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·廣東·開平市忠源紀(jì)念中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在四棱錐中，平面，底面為矩形，，當(dāng)最大時(shí)，該四棱錐外接球的表面積為___________.題型歸類練1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，則四棱錐的外接球的表面積為_______________.2．（2022·江蘇南通·高一期末）我國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載，四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，，，則該四面體的外接球的表面積為__________．角度2：對(duì)棱相等型典型例題例題1．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型歸類練1．（2022·湖北·武漢市第四十九中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．2．（2022·河南濮陽(yáng)·高一期中）如圖所示三棱錐，其中，，則該三棱錐外接球的表面積___________.角度3：借助三角形外心確定球心典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知四棱柱是底面為等腰梯形的直四棱柱，，，則其外接球的半徑為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾在數(shù)學(xué)著作《算罔論》中得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六約等于八分之五．已知在菱形中，，將沿