上海市高中四大名校2025年自主招生考試數(shù)學綜合測試題【含答案詳解】_第1頁
上海市高中四大名校2025年自主招生考試數(shù)學綜合測試題【含答案詳解】_第2頁
上海市高中四大名校2025年自主招生考試數(shù)學綜合測試題【含答案詳解】_第3頁
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上海市高中四大名校2025年自主招生考試數(shù)學綜合測試題（考試時間：60分鐘；試卷滿分：100分）一、填空題（1-4題每題6分，5-8題每題7分）1.已知正數(shù)，，，滿足，則______．2.的方程有實數(shù)根，那么的取值范圍是______．3.實數(shù)和滿足，則______．4.一組數(shù)據(jù)1，2，■，4，■，6，7，其中有兩個數(shù)據(jù)被涂黑，平均值為4，那么這組數(shù)據(jù)方差最小值為______．5.如圖，正方形的邊長為3，其內(nèi)部有一個等腰直角三角形，其中，斜邊長為，可以在正方形中任意滑動，始終保持垂直于，那么這個三角形的重心能掃到的面積為______．6.如圖，平面直角坐標系中有一菱形，滿足．一反比例函數(shù)經(jīng)過點且交線段于點，那么______．7.如圖，平行四邊形面積為1，，，是平行四邊形的兩條高，點，，的位置如圖所示，滿足，且，那么邊的長為______．8.對于正整數(shù)，我們定義：形如的數(shù)叫作三角形數(shù)，且把與叫作連續(xù)的三角形數(shù)，已知三個正整數(shù)，，滿足，，是三個連續(xù)的三角形數(shù)，那么的最小值是______．二、解答題（9-10題每題15分，11題18分）9.如圖，四邊形內(nèi)接于圓，為圓的直徑，與的延長線交于點．已知，（1）求證：；（2）若，求四邊形面積．10已知函數(shù)，．（1）若，與的圖像恰有一個交點，求關于的函數(shù)解析式：（2）若，，，與存在兩個交點，且這兩個交點的橫坐標分別為，，問：代數(shù)式的值是否和實數(shù)有關？說明理由．11.一直角三角形邊長為，，．其中為斜邊，我們把它叫做初始三角形．現(xiàn)在進行如下的變換：構(gòu)造兩個新的直角三角形，其邊長分別為，，與，，．現(xiàn)在，對于邊長為3，4，5的直角三角形反復進行上述的變換．（1）第二次變換后，能夠獲得4個不同的直角三角形．問：這4個直角三角形中有幾個直角三角形最小角的正切值小于？（2）第七次變換后，能夠獲得254個不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知這254

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