第二章§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.借助函數(shù)圖象,會用數(shù)學(xué)符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值,理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用.課標(biāo)要求課時精練內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型落實主干知識第一部分1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I當(dāng)x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函數(shù)減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是

的

自左向右看圖象是

的上升下降(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)遞增單調(diào)遞減2.函數(shù)的最值前提一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

；(2)?x0∈D,使得_________(1)?x∈D,都有

；(2)?x0∈D,使得_________結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M

××√×2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞增的是A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x√

√

微點提醒2.解題時謹(jǐn)防以下易誤點(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式表示.(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時,必須先求函數(shù)的定義域.(3)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念,顯然N?M.返回微點提醒探究核心題型第二部分

√確定函數(shù)的單調(diào)性題型一命題點1函數(shù)單調(diào)性的判斷√√

命題點2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法.(2)導(dǎo)數(shù)法.(3)圖象法.(4)性質(zhì)法.思維升華

√

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題型二命題點1比較函數(shù)值的大小√

命題點2求函數(shù)的最值

(1)配方法：主要用于和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問題.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來確定函數(shù)的值域.(3)數(shù)形結(jié)合法.(4)換元法：引進一個(幾個)新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”.(5)分離常數(shù)法：分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式.求函數(shù)的值域(最值)的常用方法微拓展

√√√對于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域為[2，6).

例5

(2025·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x,則使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的實數(shù)x的取值范圍是A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)命題點3解函數(shù)不等式√函數(shù)y＝ex為增函數(shù),函數(shù)y＝e－x為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)＝ex－e－x為增函數(shù),所以f(|x|)<f(－3x2＋4)?|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以實數(shù)x的取值范圍為(－1,1).命題點4求參數(shù)的值(范圍)

√

(1)比較函數(shù)值的大小時,先轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時,由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù),要注意銜接點的取值.思維升華

[1,2)

√√

返回課時精練對一對答案1234567891011121314題號12345678答案CCBCCACDBCD題號9101314答案f(x)=-x(答案不唯一)ACD(-∞，0]

(2，4]答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知識過關(guān)答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案2.已知f(x)＝2x＋x,則“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√因為函數(shù)y＝2x,y＝x在R上為增函數(shù),則函數(shù)f(x)＝2x＋x在R上為增函數(shù),則“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要條件.

√1234567891011121314答案

√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案充分性：當(dāng)a≥1時,因為－1≤sin

x≤1,由f(x)為增函數(shù),所以f(a2)≥f(sin

x),故充分性成立；必要性：由f(x)為增函數(shù),當(dāng)f(a2)≥f(sin

x)恒成立時,因為－1≤sin

x≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,綜上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin

x)”的充分不必要條件,故D正確.1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法國數(shù)學(xué)家.我們把函數(shù)方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)稱為柯西方程,滿足該方程的函數(shù)f(x)稱為“加性函數(shù)”.請寫出一個在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù)

.

1234567891011121314答案f(x)＝－x(答案不唯一)設(shè)f(x)＝－x,在R上單調(diào)遞減.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函數(shù)f(x)＝－x是在R上單調(diào)遞減的加性函數(shù).

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值.1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案