2025屆安陽市第一中學高三畢業(yè)班摸底考試數(shù)學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知的展開式中的常數(shù)項為8,則實數(shù)（）

x

A.2B.-2C.-3D.3

2.已知集合/必=卜|丁-3X+2WO},N={x|y=/二"若=則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.y,l]B.（-co,l）C.（1,-KO）D.[l,+oo）

3.已知AM,8V分別為圓a：（x+l『+y：=l與。2：（.L2『+y2=4的直徑，則而.麗的取值范圍為（）

A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]

4.在A/WC中，NBAC=60。，AB=3tAC=4,點M滿足的=2就，則通等于（）

A.10B.9C.8D.7

5.已知函數(shù)/(X)=X2-3X+5,g(x)=ovTnx,若對Dxe(0,e),羽,％e(0,。)且工尸9，使得

/。）=9七）（，=1,2）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

6.已知平面向量滿足同二川=1,且內+相2+用則Z與B的夾角為（）

7.在直角坐標平面上，點P（x,y）的坐標滿足方程Y-2X+），2=0,點。的坐標滿足方程

。2+〃2+6々一8/?+24=0則^—的取值范圍是（）

x-a

-4-V7-4+近

A.[-2,2]C.

9.雙曲線c：4-4=1(4>0，力>0)的一個焦點為E(c,O)(c>0),且雙曲線G的兩條漸近線與圓C，：

a~b~

(X-。)2+)尸=三均相切，則雙曲線G的新近線方程為()

4

A.x±=0B.Qx±y=0C.>/5x±y=0D.x±yf5y=0

10.已知定義在R上的可導函數(shù)/(x)滿足(1-x)-/(x)+x-/(x)>0,若y=/(x+2)-小，是奇函數(shù)，則不等式

x/(x)—<0的解集是()

A.~,2)B.(-oo,l)C.(2,+oo)D.(1,+so)

,r-4y+4<0

11.在平面直角坐標系中，若不等式組,2、+)，-10?0所表示的平面區(qū)域內存在點(.％,%)，使不等式%+“a+1?0

5x-2y+2>0

成立，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(-00,—|]B.C.[4,+8)D.(-00,-4]

12.設集合A={x|x<3},B={x|x<0或。2}，則Ac8=()

A.(F,0)B.(2,3)C.(-<C,0)D(2,3)D.(f，3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1+?)”展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32,貝IJ〃二.

14.在一次醫(yī)療救助活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有種.(用數(shù)字作答)

15.在（l+x）6（l+y）4的展開式中，/），'的系數(shù)為.

16.某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法

從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究，則應從高三年級學生中抽取人.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知點A、4分別在1軸、軸上運動，|人臼=3,溺=2方2.

（1）求點M的軌跡。的方程；

（2）過點N（O,一|］且斜率存在的直線/與曲線C交于尸、。兩點，40」），求|改『+|石?！旱娜≈捣秶?

/\

18.（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為夕=，（r>0）,直線/的方程為夕COSe+f=J2.設直線/與

I

曲線C相交于A,B兩點，且AB=25,求「的值.

19.（12分）在△ABC中，a、b、c分別為三個內角A、B、C的對邊，且從一也匕csinA+c?=/

3

⑴求角A；

（2）若4sinBsinC=3,且a=2,求^ABC的面積.

20.（12分）選修4?2：矩陣與變換（本小題滿分10分）

已知矩陣'=（k/））的一個特征向量為a=",

01—1

A的逆矩陣A'對應的變換將點（3,1）變?yōu)辄c（1,1）.求實數(shù)a,k的值.

21.（12分）已知函數(shù)?。?（"+-），其中OCR.

（1）當a=0時，求/（力在（1J。））的切線方程；

（2）求證：/（x）的極大值恒大于0.

22.（10分）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿400元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎者擲各面標有

1-6點數(shù)的正方體骰子1次，若擲得點數(shù)大于4,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結束抽獎，已知抽獎

箱中裝有2個紅球與帆（622,〃?￡77"）個白球，抽獎者從箱中任意摸出2個球，若2個球均為紅球，則獲得一等獎，

若2個球為1個紅球和1個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.

（1）若〃?=4,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；

（2）若一等獎可獲獎金400元，二等獎可獲獎金300元，三等獎可獲獎金100元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為X,

若商場希望X的數(shù)學期望不超過150元，求加的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在母小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先求的展開式，再分類分析（2-〃W）中用哪一項與相乘，將所有結果為常數(shù)的相加，即為

XX

（2-〃。?）（1-'）3展開式的常數(shù)項，從而求出〃？的值.

X

【詳解】

（1--）3展開式的通項為卻=c;-i3-r（--r=c;?（一iy/，

X'X

當（2-〃出取2時，常數(shù)項為2xC；=2,

當（2-〃㈤取t心時，常數(shù)項為—mxC；x（—4=3/〃

由題知2+3m=8,則〃?=2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對（2-"a）所取的項要進行分類討論，屬于基礎題.

2、A

【解析】

解一元二次不等式化簡集合M的表示，求解函數(shù)），二J二"的定義域化簡集合N的表示，根據(jù)McN=/W可以得

到集合M、N之間的關系，結合數(shù)軸進行求解即可.

【詳解】

M=^x|x2-3x4-2<0j={x|1<x<2},N=卜|）'==.

因為McN=M,所以有MqN,因此有aVl.

故選：A

【點睛】

本題考查了已知集合運算的結果求參數(shù)取值范圍問題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學

運算能力.

3、A

【解析】

由題先畫出基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得

血用”=[00；+(4。；+。同]]。江-(47；+0月)]=9-，。；+0?,結合[西+5|的范圍即可求解

【詳解】

如圖，

=|殂口語+型『=9_|兩+型|?其中?碼+取|W[2T2+1]=[1,3],所以

人從MNe[9-319--]=[0,8].

【點睛】

本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數(shù)形結合思想，屬于中檔題

【解析】

利用已知條件，表示出向量說，然后求解向量的數(shù)量積.

【詳解】

_________1__2___

在AABC中，Zfi4C=60°,AB=3,AC=4,點M滿足麗=2限，可得AM+§AC.

___一1一21-22-------21

則麗麗=A3(-AB+-AC)=—AB+-ABAC=3+-X3X4X-=7.

333332

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量.

5、I)

【解析】

先求出的值域，再利用導數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,0)上的單調性，結合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因為8(%)="一。吠，故g'("="一-?

X

當〃40時,g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調遞減；

當aN1時,/(力>0,故g(x)在區(qū)間(0,e)上單調遞增；

e

(\\]

當時，令g'("=0,解得匯=；,

故g(x)在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.

又/口=l+/〃a,g(e)=3-l,且當工趨近于零時，g(x)趨近于正無窮；

對函數(shù)/(x),當x?0,e)時，$5)；

根據(jù)題意，對Wxe(0,e),四,超e(0,e)且用工/，使得/⑴=&(?￡)(，=1，2)成立，

只需g(：)<?，g(e)之5,

即可得1+歷。<8；一125,

4e

解得ae-,Z.

上)

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

6、C

【解析】

根據(jù)忤+q=歸+*兩邊平方肉+/；閆〃+4，化簡得2茄=—3何，再利用數(shù)量積定義得到

2ab\cos（a,g）=—3（a）求解.

【詳解】

因為平面向量滿足。=！，丐=1,且2a+^=a+B,

3

所以恢+7=3+0,

所以2方=一3（不，

所以2H忖cos卜，%）=-3（a）,

所以cos（￡,B）=_；,

所以）與否的夾角為午.

故選：C

【點睛】

本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎題.

7、B

【解析】

由點P（x,y）的坐標滿足方程/一2工+）尸=0,可得P在圓（x—l『+y2=i上，由坐標滿足方程

/+力2+6。一8〃+24=0,可得。在圓&+3『+（）」4『=1上，則七，=即。求出兩圓內公切線的斜率，利用數(shù)

形結合可得結果.

【詳解】

???點尸（X,），）的坐標滿足方程/-2x+y2=0,

二.P在圓（x-l）2+y2=1上，

Q（〃,〃）在坐標滿足方程〃+力2+6〃―8b+24-0.

二。在圓（工+3『+（），-41二1上，

則上必=憶世作出兩圓的圖象如圖，

x-a

設兩圓內公切線為43與CO,

由圖可知，皂B-kpQWkCD,

設兩圓內公切線方程為，=履+切，

則」;7=＞卜+向引-3k+〃-4|,

|-3k+〃?一4|

???圓心在內公切線兩側，.?"+〃?=一(—3A+W—4),

\k+m\|2k+2|

可得〃7=k+2,二/----;=-]=1,

xl\+k2yl\+k2

化為女2+弘+3=0，kJ土布,

3

——J+不

一；s-KpQ-'

3x-a3

y-b「-4--4+x/7-

一的取值范圍一六，—廣一，故選以

x-a33

【點睛】

本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數(shù)形結合思想的應用，屬于綜合題.數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形

之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著

奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數(shù)

形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.

8、D

【解析】

由題可得函數(shù)/（X）的定義域為｛X|x^±l（,

因為f(_K)=ln|Fl=-卜］|二金|=-/"),所以函數(shù)/G)為奇函數(shù),排除選項B：

1+X1-X

又/(1.1)=11121>1,/(3)=ln2<l,所以排除選項A、C,故選D.

9、A

【解析】

,bec

根據(jù)題意得到“=/,,,=彳,化簡得到〃=3〃，得到答案.

\la+b-2

【詳解】

be

根據(jù)題意知：焦點F(c,O)到漸近線v=-.v的距離為〃=

a2

故a2=3護,故漸近線為x±JJy=O.

故選：A-

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

10、A

【解析】

構造函數(shù)式力="?"),根據(jù)已知條件判斷出g(x)的單調性.根據(jù)>=/。+2)-/是奇函數(shù)，求得”2)的值,

由此化簡不等式xf(x)-2e'+i<0求得不等式的解集.

【詳解】

構造函數(shù)g(x)="：("),依題意可知g(x)=(J')?J⑴+x?/(")>0,所以g(x)在R上遞增.由于

y=/(x+2)-/是奇函數(shù)，所以當冗=0時，)，=/(2)-/=o,所以/(2)=",所以且仁)=v￡=2e.

由工?/(幻-22<0得g(x)="jf)<2=g(2),所以工<2,故不等式的解集為(一8,2).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔

題.

11、

【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標函數(shù)七+"LVo+lVO恒過。(-1,0),再分別討論”的正負進一步確定目標函數(shù)

與可行域的基本關系，即可求解

【詳解】

作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：

其中4(2,6),直線x+陽+1=0過定點。(-1,0),

當"?=0時，不等式x+l<0表示直線x+l=0及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；

當"?>0時，直線工+"9+1=0的斜率一,<(),

m

不等式x+w+i<0表示直線x+〃?)，+1=0下方的區(qū)域，不滿足題意；

當機<0時，直線x+my+l=0的斜率一,>0,

m

不等式x+my+\<0表示直線x+沖+1=0上方的區(qū)域，

要使不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點(%,必)，

使不等式“+〃?%+1工0成立，只需直線x+沖+1=0的斜率-l工勤=2,解得加4一"

m2

綜上可得實數(shù)機的取值范圍為(-8,-g],

故選：B.

【點睛】

本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結合思想，屬于中檔題

12、C

【解析】

直接求交集得到答案.

【詳解】

集合A={X|X<3},3={川耳0必}2},則ACB=(-O),0)52,3).

故選：C.

【點睛】

本題考查了交集運算，屬于簡單題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解析】

由題意可得項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結果.

【詳解】

觀察式子可知

??,8<C：-C：+…禺=2"<32,.?.〃二4，

故答案為：4.

【點睛】

該題考查的是有關二項式定理的問題，涉及到的知識點有展開式中項的系數(shù)和，屬于基礎題目.

14、60

【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).

【詳解】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，

然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，

故選派的方法為：=10x6=60.

故答案為60.

【點睛】

解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素（或位置）的性質進行分類：二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,

解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

15、60

【解析】

根據(jù)二項展開式定理，求出（1+1）6含/的系數(shù)和（1+），）4含尸的系數(shù)，相乘即可.

【詳解】

（1+力'（1+），『的展開式中，

所求項為：盤/盤）,3=^x4/），3=60/y3,

1)，3的系數(shù)為60.

故答案為:60.

【點睛】

本題考查二項展開式定理的應用，屬于基礎題.

16、1.

【解析】

先求得高三學生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.

【詳解】

15005

由題意，高三學生占的比例為

1200+900+1500一行'

所以應從高三年級學生中抽取的人數(shù)為720XA=300.

【點睛】

本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關鍵，著重考查了運

算與求解能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+y2=1(2)4,——

4-I25

【解析】

(1)設坐標后根據(jù)向量的坐標運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標表示出EAEO,得到EP上EQ,

所以|EP\i+\EQ\z=\PQf,代入韋達定理即可求解.

【詳解】

(1)設4(%0),3(0,%)，則片+.=9,

3

UUUUIIUX=2(X0-A)=七二3、

設MC%)，)，由8W=2MA得

y-y=2(O-y)

o%=3y

又由于(gx

+(3?=9,

化簡得M的軌跡C的方程為三+)，2=i.

4.

3

（2）設直線的方程為），二h—

.7464

與C的方程聯(lián)立，消去）'得（1+4公卜x2-合去一黃=0,

/>0,設P（%,y）,。（程必），

24%-64

則X]+W=X-X,=----------------7

5+20k21-25+1003

由己知麗=(x”y_l),EQ=(x2.y2-\)t則

^PEQ=x}x2+(yi-\)(y2-\)=x]x2+\kxl

=(1+公)芭占-5〃(玉+%)+|^

-648,24k64

-kx--------1---

25+100公55+20公25

—64二64尸-192^2+64+256^

25+100公

=0?

故直線EPJ.EQ.

|EP『+1EQ2?！?0+公)[(玉+一

-小國卜24k丫也-164(1+公)(25公+4)

1仙5+20/2)25+100公125(1+4公丫

64(4+29公+25K)

25(1+4k2yT

令l+4—=f,則

644+29x—+25xf—1「力

4I4)4[-27+66/+25r2J

|PQ『=25?=25?

由于/=1+4/21,0<-<l,

256

4<|PQ|W

25

［2^6

所以，|￡P『十|EQ『的取值范圍為(4,弓］.

【點睛】

此題考查軌跡問題，橢圓和直線相交，注意坐標表示向量進行轉化的處理技巧，屬于較難題目.

18、r=3

【解析】

先將曲線C和直線，的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.

【詳解】

以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy,

可得曲線C：P=r(r>0)的直角坐標方程為Y+y2=/，表示以原點為圓心，半徑為「的圓.

由直線/的方程2,化簡得pcosOcos工一0sinOsinK=J5,

V4J44

則直線,的直角坐標方程方程為x-y-2=().

記圓心到直線/的距離為d,則(/=

又產=/+(竺］,即/=2+7=9,所以，:3.

I2)

【點睛】

本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.

19、(1)A=-；(2)6?

3

【解析】

(1)整理〃一2亞力csirtA+c?=a?得：b2+c2-a2=^^-bcsinA>再由余弦定理可得cosA=，問題得

333

解.

(2)由正弦定理得：R=半，〃=2Rsin3,「=2網(wǎng)inU,再代入5寸8c=g機，sinA即可得解.

【詳解】

(1)由題意，^b2+c2-a2=2bccosA=bcsxnA=cosA=且sinAntanA=G，

33

(2)由正弦定理，得一也=_J=，_=2RnR=油,

sinBsinCsinA3

/?=2/?sinB,c=2/?sinC

S..=—besinA=2/?2sin>4sin^sinC=2?

d八AInU2.光=G

【點睛】

本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉化思想及化簡能力，屬于基礎題.

kak-k=Ak

20、解：設特征向量為?=對應的特征值為3則即、

-1A=1

因為導0,所以a=2.5分

「3[「1]「1]「3一2kli_3

因為,所以A=,即

_lj|_1J|_1Joii-1

所以2+k=3,解得k=2.綜上，a=2,k=2.20分

【解析】

試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k

考點：特在向量，逆矩陣

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣.

21、(1)y=-x(2)證明見解析

e

【解析】

(1)求導，代入。=0,求出在x=l處的導數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程;

(2)分類討論得出極大值即可判斷.

【詳解】

(1)/(力「2―伍二2八+2〃-(x+?)(x-2)

當〃=0時，/(1)=-,

ee

則/(力在(1J(1))的切線方程為)，=L；

e

(2)證明：令/'(工)=0,解得1=2或*=-",

①當〃=-2時，尸(x)V0恒成立，此時函數(shù)/(x)在R上單調遞減,

二函數(shù)f(r)無極值：

②當”>一2時，令/'(x)>0,解得一〃<x<2,令/'(x)<。，解得或X>2,

???函數(shù)/'(X)在(—。,2)上單調遞增，在(3,—〃)，(2,長。)上單調遞減，

〃+4

?VW^=/(2)=-X)；

③當av—2時，令/'(x)>0,解得2vx<—〃，令