全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

第一試

(3月20日上午8:30-9:30)

一、選擇題(本題滿分42分，每題7分)

(本題共有6個(gè)小題，每題均洽出了代號(hào)為力,/，4；〃的四個(gè)答案，其中有且僅有一種是對(duì)的的.將

你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得7分：不選、選借或選出的代號(hào)字母超過■

種(不管與否寫在括號(hào)內(nèi))，一律得0分

I.用［可表達(dá)不超過X的最大整數(shù)，把工一［同稱為X的小數(shù)部分.已知/=—。是，的小

2—V3

數(shù)部分，b是T的小數(shù)部分，則」---=()

2ba

A.-B.—C.\D.x/3

22

2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)置上述圖書30本，

那么不一樣的購(gòu)書方案有()

A.9種B.1()種C.11種￡).12種

3(A).假如一種正整數(shù)可以表達(dá)為兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“友好數(shù)”.如：

2=13-(-1)3,26=33-13,2和26均為“友好數(shù)”.那么，不超過2016的正整數(shù)中，所有的“友

好數(shù)”之和為()

A.6858B.6860C.9260D.9262

3(B).已知二次函數(shù))，=ax1+/?A+1(?*0)的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)(1,0).當(dāng)a-b為

整數(shù)時(shí)，ab=()

I3

AOB.-C.一一D.-2

44

4.已知OO的半徑OD垂直于弦A8,交A8于點(diǎn)C,連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,若

A8=8,8=2,則ABCE的面積為()

A.12B.15C.16D.18

5.如圖，在四邊形A8CD中，/BAC=/BDC=90°,A8=4C=J5,8=1,對(duì)角線的

交點(diǎn)為則DW=

A出口加

23

C巫P.1

22

6.設(shè)實(shí)數(shù)x,yz滿足x+y+z=\,則M=xy+2yz+3xz的最大值為)

1?3

A.—B.-C.-D.\

234

二、填空題(本題滿分28分，每題7分)

(本題共有4個(gè)小題，規(guī)定直接將答案寫在橫線上.)

I.[1(A),2(B)]已知AA8C的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù))，=上(x>0)的圖象上，

X

NAC8=90。，/48c=30。，A8_Lx軸，點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方，且A8=6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

KB).己知A48C的最大邊BC上的高線AD和中線AM恰好把NBAC三等分，AD=6

貝ijAM=.

2(A).在四邊形ABCD中，AC〃AO,C4平分NBCD,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，

CD=AO,BC=OD,則ZABC=.

3.[3(A).4(B)]有位學(xué)生忘掉寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一種六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為本來

兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是.

3(B).若質(zhì)數(shù)〃、q滿足：3i/-〃-4=0,〃+g<111,則〃q的最大值為.

4(A),將5個(gè)I、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一種5行5列的表格內(nèi)(每格填入一

種數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為

M，則M的最大值為.

第二試

(3月20日上午9:50—11:20)

一、(本題滿分20分)

已知a,b為正整數(shù)，求M=3a2-ab2-2b-4能取到的最小正整數(shù)值.

二、(本題滿分25分)

(A).如圖，點(diǎn)C在認(rèn)為A8直徑的。。匕CD人AB干點(diǎn)D,點(diǎn)E在BD匕AE=AC,四邊

形。ERW是正方形，AM的延長(zhǎng)線與〔。交于點(diǎn)N.證明：FN=DE.

(B).已知：a+b+c=5,a2+/?24-c2=15,o'+/?3+c3=47.

求(/+cib+b2)(b2+bc+c2)(c2++/)的值.

三、(本題滿分25分)

(A).已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足：孫+)，z+zrHl,且

(--1)(/-1)^(/-1)(22-I)(Z2-l)(X2-1)L

---------------1--------------+--------------=L

xyyzzx

(1)求----1----1—的值.

xyyzzx

(2)證明：9(x十)，)()，十z)[z+x)之8xyz(xy十乃十zx).

(B).如圖，在等腰A4BC中，AB=AC=J5,。為4c邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)C有關(guān)直線4。的

對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)石，E8的延長(zhǎng)線與A。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)/，求A/的值.

全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解

第一試

（3月20日上午8:30-9:30）

一、選擇題（本題滿分42分，每題7分）

（本題共有6個(gè)小題，每題均洽出了代號(hào)為力,/，4；〃的四個(gè)答案，其中有且僅有一種是對(duì)的的.將

你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得7分：不選、選借或選出的代號(hào)字母超過■

種（不管與否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分

1.用國(guó)表達(dá)不超過X的最大整數(shù)，把X—因稱為X的小數(shù)部分.已知/。是，的

小數(shù)部分，力是T的小數(shù)部分，則」---=

)

2ba

A；B.與C.1

D.x/3

【答案】4.

1

【解析］\'t=2+6,1<退<2,/.3<2+百<，1,即3v1<4,

2-73

-3=>/3—1.又T=-2-瓜一2<一+<7,/.-4<-2-^<-3,

J______1_________1_2+6G+I

b=-1—(—4-)=2—y]3^=—,故選人

2b2(2-73)2

2.三種圖書的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)置上述圖書30本,

那么不一樣的購(gòu)書方案有（）

A9種B.1（）種C11種D12種

【答案】C.

x+y+z=30

【解析】設(shè)購(gòu)置三種圖書的數(shù)量分別為x,y,z,則《」

10x+15y+20z=500

y+z=30-xy=20-2x

即《,解得《依題意得，X,），,Z為自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）,

3y+4z=100-2xz=10+x

故0w4010,工有11種也許的取值（分別為0,1,2,,,9,10）,對(duì)于每一種x值，y和z均有唯

一的值（自然數(shù)）相對(duì)應(yīng).即不一樣的購(gòu)書方案共有11種，故選C.

3（A）.假如一種正整數(shù)可以表達(dá)為兩個(gè)持續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“友好數(shù)”.如：

2=15-（-1）\26=33-1\2和26均為“友好數(shù)”.那么，不超過2016的正整數(shù)中，所有的“友

好數(shù)”之和為)

A6858B.6860C.926()D.9262

【答案】B.

[解析](2攵+1)3_(2攵_1)3=[(2k+1)-(2/:_3[(22+1)2+(2攵+1)(2攵-1)+(2/:-1)2]

=2(12公+1)(其中々為非負(fù)整數(shù))，由2(12^+1)42016得，k<9

.?.Z=0,1,2,…,8,9,即得所有不超過的“友好數(shù)”，它們的和為

[13-(-1)3]+(33-13)+(53-33)+,+(173—153)+(19,-173)=19,+1=6860.故選由

3（B）.已知二次函數(shù)），=。十+無1+1（。中0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)（1,0）.當(dāng)4一力

為整數(shù)時(shí)，ab=（）

13

A.0B.—C.—D.—2

44

【答案】B.

【解析】依題意知。<0,—2<0,。+匕+1=0,故〃<0,且6=一々一1,

2a

a—b=a—（—a—\）=2a-\-\,于是一1<2?+1<1

又〃一〃為整數(shù)，「.2a+1=0,故（1=-上=b,ab=',故選B.

24

4.已知OO的半徑OD垂直于弦AB,交AB于點(diǎn)C,連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,若

AB=8,CD=2,則MCE的面積為()

A12B.15C.16D.18

【解析】設(shè)OC=x,則04=00=1+2,

?.ODJ.44于C,:.AC=CB=-AB=4,

2

在R/AOAC中，0。2+人。2=。八2

即工2+42=。+2)2,解得x=3,即OC=3（第4題答案圖）

?.?OC為的中位線，.?.BE=2OC=6.AE是。。的直徑，..N5=90,

S=—CB-BE=—x4x6=12.故選A.

2CL22

5.如圖，在四邊形48CD中，N84C=N8OC=90°,A8=AC=逐，CO=1,對(duì)角線的

交點(diǎn)為M,則DW=()

A

A&B亞

23

B

D.-

42

（第5題答案圖）

【答案】D.

【解析】過點(diǎn)A作A〃_L8D于點(diǎn)H,則A4M"?ACM/Z/.—=—,?/CD=1,

CDCM

.人〃=則.加=不x

則CM=\/5—xyAH=

CM\/5—x

在RfAABM中,BM=y/Alf+AM2=Vx2+5,則/〃=".."二”

BM777?

，=?=—j=----，顯然x工0,化簡(jiǎn)整頓得2x?—5x/5x+10=0

yjx2+5\l5-x

解得人=倉，（人=26不符合題息，舍去），故

2

CM=吏■，在R仙CDM中,DM=qCM2—CD2="!■，故選D

22

6.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=l,則M=A＞，+2yz+3xz的最大值為()

123

A—B.-C.-D.1

234

【答案】C.

【解析】

M=xy+(2y4-3x)z=xy+(2y+3x)(1-x-y)=-3x2-4xy-2y2+3x+2y

』2/n(iflo2o』if

——2y+2]J)：+11一耳-3x~+3x+2x——J

13

當(dāng)且僅當(dāng)x=-,y=2。時(shí)/，M取等號(hào)，nid故x時(shí)41皿=一，故遠(yuǎn)仁

二、填空題（本題滿分28分，每題7分）

（本題共有4個(gè)小題，規(guī)定直接將答案寫在橫線上.）

1.[1（A）.2（B）]已知AWC的頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)），=立（x>0）的圖象上,

x

NAC8=90°,NA8C=30°,軸，點(diǎn)4在點(diǎn)4的上方，且AB=6,則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為.

【答案】，2?

【解析】如圖，過點(diǎn)C作CZ）_LA8于點(diǎn)。.

在mAACAUlBC=AB-cosZABC=3\/3

在口ABCD中,CD=BCsinB=^~

（第1題答案圖）

2

93

8O=8Ccos3=2,AO=A8-8Q=二，設(shè)Cm、

22

依題意知〃>Ui>0,故CD=n—in,AD=,?于是

mn

3下>

n-in=-----73

2m=—

解得《2，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為，2?

GG3

―=—n-2q3

,mn2

KB）.已知MBC的最大邊6。上的高線4。和中線AM恰好把N84C三等分，4。二百,

則AM=,

【答案】2.

【解析】

（第I題答案圖I）（第I題答案圖2）

依題意得ABAD=ND4M=ZA14C.NADB=ZADC=9D”,故ZABC工ZACB.

(1)若NA8C>NAC8時(shí)，如答案圖1所示，^ADM§MDB,;.BD=DM=、CM,

2

又AM平分NOAC,...絲=也=,，在RfAD4c中，OfcosZDAC=-,

ACCM22

ZDAC=60°,從而NBAC=90°,NACO=30。.

在用AADC中，CO=AOtan/QAC=Gtan60=3,DM=1.

在自AAOM中，AM=^AD'+DM'=2.

(2)若NABCvNACB時(shí)，如答案圖2所示.同理可得AM=2.綜上所述，AM=2.

2(A).在四邊形ABCD中，AC〃AO,C4平分/BCD,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，

CD=AO,BC=OD,則ZABC=.

【答案】126.7^

［解析】設(shè)ZOCD=ZADO=p,\

?.CA平分/BCD一..ZOCD=4OCB=a,夕<

BC//AD,ZADO=NOBC=4,ZDAO=40cB=a,(第2題答案圖)

;.NOCD=/DAO=a,AD=CD,vCD=AOyAD=AO,

ZADO=ZAOD=NBOC=NOBC=0?:.OC=BC,

BC=OO,「.OC=OD,/.ZODC=ZOCD=a

???ZBOC=NODC+4OCD,/BOC+/OBC+AOCB=180

.?.〃=2。,。+2尸=180，解得。=36，夕=72、："DBC=/BCD=T2,

BD=CD=AD./ABD=/BAD=⑻=54,

2

故ZABC=ZABD{ZDBC=126.

3.13(A)、4(B)］有位學(xué)生忘掉寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號(hào)，得到一種六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為本來

兩個(gè)三位數(shù)的乘積的3倍，這個(gè)六位數(shù)是.

【答案】167334.

【解析】設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為苞)，，則10004+)，=3冷3①

.?.y=3.D—1000x=(3y-1000)x,故y是％的正整數(shù)倍，不妨設(shè)y=次(/為正整數(shù))，代入

?

①得iooo+f=3a,/.x=&^］，「x是三位數(shù)，.x=!222i￡>ioo,解得

3f3r

1()0()

t<——，:/為正整數(shù)，「./的也許取值為1,2,3.驗(yàn)證可知，只有！=2符合，此時(shí)

299

x=167,y=334.故所求的六位數(shù)為167334.

3(B).若質(zhì)數(shù)〃、夕滿足：3q-〃-4=(),〃+9<111,則/的的最大值為.

【答案】1007.

4

3

由于q質(zhì)數(shù)，故困的值伴隨質(zhì)數(shù)q的增大而增大，當(dāng)且僅當(dāng)g獲得最大值時(shí)，/矽獲得最大值.

3

又p+q<lll,「.39-4+鄉(xiāng)<111,.?.q<28—，由于q質(zhì)數(shù)，故q的也許取值為

23,19,17,13,11,7,5,3,2,但夕=23時(shí)，〃=3g-4=65=5xl3不是質(zhì)數(shù)，舍去.

當(dāng)，/=19M,〃=3夕-4=53伶為質(zhì)數(shù).故，/max=19,(/〃/)max=53x19=1007.

4(A).將5個(gè)】、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一種5行5列的表格內(nèi)(每格填入一

種數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2.考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為

M,則M的最大值為.

【答案】10.

【解析】(根據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不一樣情形進(jìn)行討論，確定M的最大值.

(1)若5個(gè)1分布在同一列，則M=5；

(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故

2MW5xl+5x3=20及MG0；

(3)若5個(gè)1分布在二列中，則由題意知這二列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,故

3M<5x1+5x2+5x3=30,故10；

(4)若5個(gè)I分布在至少四列中，則其中某一列至少有一種數(shù)不小于3,這與已知矛盾.

綜上所述，

另首先，如下表的例子闡明M可以取到10.故M的最大值為10.

第二試

（3月20日上午9:50—11:20）

一、(本題滿分20分)

己知a,b為止整數(shù)，求M=3a2-air-2h-4能取到的最小正整數(shù)值.

【解析】解：由于出。正整數(shù)，要使得M=3/-。匕2一乃-4的值為正整數(shù)，則有c/22.

當(dāng)。=2時(shí)，〃只能為1,此時(shí)M=4.故M能取到的最小正整數(shù)值不超過4.

當(dāng)々=3時(shí)，只能為I或2.若8=1,M=18；若Z?=2,則M=7.

當(dāng)a=4時(shí)，/?只能為1或2或3.若〃=1,M=38：若〃=2,M=24；若〃=3,則旭=2.

（下面考慮：M=3/-a〃一乃一4的值能否為1?）

（反證法）假設(shè)M=l,則3/—?！?—2/?—4=1,即3/—出/=2〃+5,

。（3。一/）=2%+5①

由于b正整數(shù)，故3+5為奇數(shù)，從而。為奇數(shù)，6為偶數(shù)，

不妨設(shè)。=2〃?+1,〃=2〃，其中〃?,〃均為正整數(shù)，則

a（3a-b'）=（2m十I）［3（2〃z+1）一（2〃）？］=4（3"7'+3m-2mn'-n'）+3

即。（3。一。2）被4除所得余數(shù)為3,而2〃+5=2（2〃）+1=4%+1被4除所得余數(shù)為I

故①式不也許成立，故Mxl.因此，M能取到的最小正整數(shù)值為2.

二、（本題滿分25分）

（A）.如圖，點(diǎn)C在認(rèn)為AB直徑的OO上，CD上AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BD匕AE=AC,

四邊形OEKM是正方形，AM的延長(zhǎng)線與。。交于點(diǎn)N.證明：FN=DE.

（笫2（A）題答案圖）

【證明】：連接8C、BN.A8為。0的直徑，C0_LAB于點(diǎn)。

二ZACB=ZANB=ZADC=90

???NCAB=NDAC,ZACB=ZADC,MCBsMDG

ACAB._?czn

---=----,.*.AC2=A.D'AB

ADAC

由四邊形DEFM是正方形及CO_LA8于點(diǎn)?？芍?

點(diǎn)M在C。上，DE=DM=EF=MF

???乙NAB=ZDAM,ZANB=ZADM,^ANBsAWM,

ANAR

-=——，...ADAB=AM-AN,：.AC2=AM-AN.

ADAM

;AE=AC.AE2=AMAN

以點(diǎn)F為圓心、FE為半徑作GF,與直線AM交于另一點(diǎn)P,則QF與AB切于點(diǎn)E,即

AE是尸的切線，直線AMP是O尸的割線，故由切割線定理得AE?尸

:.AN=AP,即點(diǎn)N與點(diǎn)P重賽，點(diǎn)、N在.OF上，二FN=FE=DE.

(注：上述最終一段得證明用了“同一法”)

(B).已知：a+b+c=5,?2+Z?2+c2=15,a5+/?5+c5=47.

求(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)的值.

【解析】由已知得ab++ca=+〃+c『一(/+〃+c

由恒等式a'+Ir"+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)得,

47-3abc=5x(15-5),/.abc=-1

又a2+ab+b2=(a+b+c)(a+b)-(ab+bc+ca)=5(5-c)-5=5(c-\)

同理可得b1+bc+c2=5(4-a),c2+ca+a2=5(4-b)

原式=5'(4一a)(4-0)(4-c)=I25[64-l6(a+6+c)+4(“〃+bc+ca)-abc]

=125x[64-16x5+4x5-(-l)]=625.

【注：恒等式(，-a)(l—〃)(f-c)=-(a+b+c)r+(ab+bc+ca)t-abc]

三、(本題滿分25分)

(A).已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足：孫+yz+zxwl,且

(X2-1)(/-1)^(/-1)(22-1)JZ?-1)*2-1)

xyyzzx

(3)求」一+」一+——的值.

xyyzzx

(4