第6講軌跡綜合問題第一部分：判斷軌跡與平面截圓柱和圓錐的截口曲線類型（1）幾何法判斷軌跡動(dòng)點(diǎn)滿足如下軌跡定義條件時(shí)：1.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長，軌跡為圓2.空間中動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長，軌跡為球（面）3.兩個(gè)不同平面內(nèi)的公共點(diǎn)的集合，軌跡為兩平面的交線（直線）4.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值（定值大于兩定點(diǎn)間的距離），軌跡為橢圓5.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值（定值小于兩定點(diǎn)間的距離），軌跡為雙曲線6.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定線的距離（定點(diǎn)不在定線上），軌跡為拋物線（2）方程法判斷軌跡1.直線類型：、、2.圓的類型：、、3.橢圓與雙曲線類型：等5.拋物線類型：、等（3）平面截圓柱和圓錐的截口曲線類型類型一：平面截圓柱表示中軸線與平面所成的角，表示圓柱底面圓的半徑當(dāng)時(shí)，截口曲線為長方形；當(dāng)時(shí)，截口曲線為圓當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓.此時(shí)，短半軸，長半軸，離心率.【注】平面截圓柱，所得截口曲線為橢圓，橢圓的短軸即為圓柱底面圓的直徑.類型二：平面截圓錐注：表示中軸線與母線的夾角，表示中軸線與平面所成的角當(dāng)時(shí)，截口曲線為圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線第二部分：六大基礎(chǔ)類型求動(dòng)點(diǎn)軌跡題型一：動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡，平行時(shí)可利用向量法垂直關(guān)系求軌跡【例1】如圖（1-1），在棱長為的正方體中，、、、、分別是、、、、的中點(diǎn)，在四邊形邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若∥平面，則點(diǎn)軌跡的長度為（）圖（1-1）圖（1-2）[解]如圖（1-2）【例2】如圖（2），三棱臺(tái)中，在在上，且∥，點(diǎn)是三角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面∥平面，則點(diǎn)軌跡是（）三角形邊界的一部分一個(gè)點(diǎn)線段的一部分圓的一部分圖（2）[解]如圖（2）【例3】如圖（3-1），已知正方體的棱長為2，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（）圖（3-1）圖（3-2）[解]如圖（3-2）題型二：動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡可利用線線垂直、線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直得交線軌跡，利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡【例4】如圖（4），在正方體中，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡是（）點(diǎn)線段線段平面[解]如圖（4）圖（4）圖（5）【例5】如圖（5），在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持，則點(diǎn)的軌跡是（）線段線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段[解]如圖（5）【例6】（多選題）如圖（6-1），正方體的棱長為1，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，給出下列說法正確的是（）點(diǎn)可以為棱的中點(diǎn)線段的最大值為點(diǎn)的軌跡是正方形點(diǎn)的軌跡軌跡長度為圖（6-1）圖（6-2）[解]如圖（6-2）題型三：動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線的定義或球和圓的定義等知識(shí)判斷軌跡，利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡【例7】已知正方體的棱長為1，為底面內(nèi)一點(diǎn)，若到棱、距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）直線橢圓拋物線雙曲線[解]如圖（7）圖（7）圖（8-1）圖（8-2）【例8】如圖（8-1），在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，底面是正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（）[解]題型四：動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡【例9】如圖（9），長方體中，且，，點(diǎn)為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）拋物線橢圓雙曲線圓圖（9）[解]如圖（9）【例10】如圖（10-1），正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線的夾角和直線與直線的夾角線相等，則點(diǎn)所在軌跡為（）橢圓雙曲線拋物線拋物線或雙曲線圖（10-1）圖（10-2）[解]【例11】如圖（11-1），長方體中，，，為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與長方體的側(cè)面的交線長為.圖（11-1）圖（11-2）[解]題型五：投影求軌跡球的非正投影，可能是橢圓；多面體的投影，多為多邊形【例12】1822年比利時(shí)數(shù)學(xué)家利用圓錐區(qū)縣的兩個(gè)內(nèi)切球，試證明用一個(gè)平面取截圓錐，可得得到橢圓（其中兩個(gè)球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義域推擠定義的統(tǒng)一性.在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照底面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被底面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖（12-1），在底面的某個(gè)點(diǎn)正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在底面，使得與小球相切。若，小球半徑，則小球在點(diǎn)的影子形成的橢圓的離心率為（）[解]如圖（12-2）圖（12-1）圖（12-2）圖（13-1）圖（13-2）【例13】如圖（13-1），已知水底面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓，如圖，橢圓中心為，，，球與地面的接觸點(diǎn)為，若光線與底面所成角為，橢圓的離心率為.[解]如圖（13-2）題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡翻折問題，首先確定翻折前后變與不變的關(guān)系，畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決；其次確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置.所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算.【例14】如圖（14-1），將四邊形，沿著翻折到，則翻折過程中中點(diǎn)的軌跡是（）橢圓的一部分拋物線的一部分雙曲線的一部分一段圓弧圖（14-1）圖（14-2）圖（14-3）[解]如圖（14-2）如圖（14-3）【例15】如圖（15-1），為正三角形，邊長為2，在邊上任取一點(diǎn)，沿著將折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作平面，垂足為，那么隨著點(diǎn)的變化，點(diǎn)的軌跡長度為（）[解]如圖（15-2）圖（15-1）圖（15-2）圖（16-1）圖（16-2）【例16】如圖（16-1），等腰梯形中，∥，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰落在上，當(dāng)邊長變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為（）[解]【例17】如圖（17-1），在矩形中，,,為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使得點(diǎn)在面的射影在直線上.當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)所形成的軌跡長度為.圖（17-1）圖（17-2）圖（17-3）[解]第三部分：幾何性質(zhì)與坐標(biāo)計(jì)算判斷軌跡類型題型一：直線或線段軌跡類型【例18】在正四棱椎中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形最有可能是（）[解]如圖（18）圖（18）圖（19）【例19】如圖（19），在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且總有，則點(diǎn)的軌跡為（）線段圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分[解]如圖（19）【例20】如圖（20-1），正方體中，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是.（點(diǎn)、分別面、面的中心點(diǎn)）圖（20-1）圖（20-2）[解]如圖（20-2）【例21】如圖（21-1），平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）一條直線一個(gè)圓一個(gè)橢圓雙曲線的一支圖（21-1）圖（21-2）[解]如圖（21-2）【例22】如圖（22-1），點(diǎn)是長方體的棱的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)的軌跡為（）橢圓的一部分拋物線的一部分一條線段一段圓弧圖（22-1）圖（22-2）圖（22-3）[解][法1]如圖（22-2）圖（22-4）[法2]如圖（22-4）【例23】如圖（23），在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且總有，則點(diǎn)的軌跡為（）線段圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分[解]圖（23）圖（24-1）圖（24-2）【例24】如圖（24-1），在正方體中棱長為2，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，、分別為、上靠近和的三等分點(diǎn)，若線段與相交且互相平分，則點(diǎn)的軌跡與線段形成的封閉圖形的面積為.[解]如圖（24-1）如圖（24-2）【例25】若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到底面的距離與到棱的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的圖形可能是（）圖（25）[解]題型二：圓或圓部分軌跡類型【例26】如圖（26-1），已知三棱錐,,,,點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則異面直線與所成角的余弦值最大值為.圖（26-1）圖（26-2）[解]如圖（26-2）【例27】如圖（27），已知線段∥，且與平面的距離為4，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，則線段長度的取值范圍是.圖（27）[解]如圖（27）【例28】如圖（28-1），在棱長為3的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍是（）圖（28-1）圖（28-2）圖（28-3）[解]如圖（28-2）【例29】如圖（29-1），已知正方體中，，為的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且，則的最小值為（）圖（29-1）圖（29-2）[解]如圖（29-2）【例30】如圖（30-1），在長方體中，已知底面為正方形，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段的長度的最大值為.圖（30-1）圖（30-2）[解]如圖（30-2）總結(jié)：在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（定值不為1），考查阿波羅尼斯圓的性質(zhì).【例31】如圖（31-1），已知線段垂直于定圓所在平面，、是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是（）圓橢圓拋物線不是平面圖形圖（31-1）圖（31-2）[解]如圖（31-2）【例32】如圖（32-1），在正方體中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則動(dòng)點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡是（）橢圓的一部分雙曲線的一部分拋物線的一部分圓的一部分[解]如圖（32-2）圖（32-1）圖（32-2）【例33】如圖（33-1），四棱錐，平面，平面，底面為梯形，，，，，則滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)的軌跡是（）圓不完整的圓拋物線拋物線的一部分[解]如圖（33-2）圖（33-1）圖（33-2）圖（34-1）圖（34-2）【例34】如圖（34-1），已知正方體，空間一動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）直線圓橢圓拋物線[解]如圖（34-2）【例35】如圖（35-1），正四面體的棱長為2，棱與平面所成的角，且頂點(diǎn)在平面內(nèi)，、、均在平面外（同側(cè)），則棱的中點(diǎn)到平面的距離的取值范圍是.圖（35-1）圖（35-2）[解]如圖（35-2）總結(jié)：此題看似考查距離最值，其本質(zhì)考查直線與平面所成角的最值問題.旋轉(zhuǎn)問題，考查圓錐時(shí)，往往考查直線與圓錐母線及中軸線的夾角問題.題型三：橢圓或橢圓部分軌跡類型【例36】如圖（36-1），點(diǎn)是平面的斜線段，點(diǎn)為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）圓橢圓直線兩條平行線圖（36-1）圖（36-2）[解]如圖（36-2）【例37】如圖（37），斜線段是平面所成的角為，為斜足，平面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）直線拋物線橢圓雙曲線的一支圖（37）[解]【例38】如圖（38-1），在正方體中，點(diǎn)、分別是直線、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），記直線與所成角為，若的最小值為，則點(diǎn)的軌跡是（）圓的一部分橢圓的一部分拋物線的一部分雙曲線的一部分圖（38-1）圖（38-2）[解]如圖（38-2）【例39】如圖（39-1），已知異面直線、成角，其公垂線段為，，長為4的線段的兩端點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡為（）橢圓雙曲線圓以上都不是圖（39-1）圖（39-2）[解]如圖（39-1）如圖（39-2）【例40】歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線.如圖（40-1），在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為1，對于所得截口給出以下命題，其中正確的序號為（）①曲線形狀為橢圓；②點(diǎn)為該曲線上任意一兩點(diǎn)最長距離的三等分點(diǎn)；③該曲線上任意兩點(diǎn)間的最長距離為，最短距離為；④該曲線的離心率為.①②④①②③④①②③①④圖（40-1）圖（40-2）[解]題型四：雙曲線或雙曲線部分軌跡類型【例41】如圖（41-1），已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面中，且滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）圓橢圓雙曲線拋物線圖（41-1）圖（41-2）圖（42）[解]如圖（41-2）【例42】已知正方體的棱長為1，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到直線的距離，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在直線的曲線是（）拋物線雙曲線橢圓直線[解]如圖（42）總結(jié)：考查雙曲線軌跡類型相對比較少一些題型五：拋物線軌跡類型【例43】在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（）直線橢圓圓拋物線圖（43）[解]如圖（43）【例44】如圖（44），在正方體中，點(diǎn)在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到和的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為（）圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分拋物線的一部分[解]如圖（44），圖（44）圖（45）【例45】在正方體中，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是.[解]如圖（45）【例46】如圖（46），正方體的棱長為1，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）圓拋物線雙曲線直線[解]如圖（46）圖（46）圖（47-1）圖（47-2）【例47】如圖（47-1），已知三棱柱，平面，是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、在直線上運(yùn)動(dòng)，若直線和所成角的最小值與直線和平面所成角的最大值相等，則滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（）直線的一部分圓的一部分拋物線的一部分橢圓的一部分[解]如圖（47-2）題型六：球軌跡類型【例48】如圖（48-1），直線平面，垂足是，正四面體的棱長為4，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.[解]如圖（48-1）圖（48-1）圖（48-2）圖（49）【例49】如圖（49），在棱長為6的正方體中，長度為4的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡與其頂點(diǎn)的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積是.[解]總結(jié)：圓軌跡類型考查動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，球軌跡類型考查動(dòng)點(diǎn)在空間內(nèi)，區(qū)別比較明顯.第四部分：軌跡長度或面積問題【例50】如圖（50-1），已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足、與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為()圖（50-1）圖（50-2）[解]如圖（50-1），【例51】如圖（51），在四面體中，已知，且、、兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成的曲線的總長度是.圖（51）[解]如圖（51）【例52】如圖（52-1），點(diǎn)為棱長為2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為.圖（52-1）圖（52-2）[解]【例53】已知正方體的棱長為1，、是對角線上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度的最大值為.圖（53）[解]如圖（53），【例54】如圖（54-1），點(diǎn)為棱長是的正方體的內(nèi)切球的球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為.圖（54-1）圖（54-2）[解]如圖（54-2）【例55】如圖（55），直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，，點(diǎn)、、、、分別是邊、、、、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有∥平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（）[解]圖（55）圖（56）【例56】正四棱錐的底面邊長為2，高為2，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的周長為．[解]如圖（56）【例57】如圖（57-1），在空間坐標(biāo)系中，正四面體的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上移動(dòng).若該正四面體的棱長為2，則的取值范圍是（）圖（57-1）圖（57-2）[解]【例58】如圖（58-1），在長方形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則形成軌跡的長度為.圖（58-1）圖（58-2）圖（58-3）[解]如圖（58-2）【例59】正四棱錐的底面邊長為4，高為4，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正四棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持∥平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的周長為.圖（59-1）圖（59-2）圖（59-3）圖（59-4）[解]如圖（59-1）【例60】如圖（60-1），在四面體中，、、兩兩互相垂直且===3,則在該四面體表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成的曲線總長度為（）圖（60-1）圖（60-2）[解]如圖（60-2）【例61】如圖（61-1），已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且∥平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）圖（61-1）圖（61-2）[解]如圖（61-2）【例62】如圖（62-1），在棱長為3的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上移動(dòng)，且滿足，當(dāng)在上時(shí)，，點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形的面積是.圖（62-1）圖（62-2）[解]如圖（62-2）【例63】如圖（63-1），平面平面，且平面平面=，，，，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是.圖（63-1）圖（63-2）[解]【例64】如圖（64），是平面外固定的斜線段，為斜足.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且等于直線與平面所成的角，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）圓橢圓雙曲線拋物線[解]圖（64）圖（65-1）圖（65-2）【例65】2000多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面截圓錐的截口曲線為圓錐曲線，已知圓錐的高為，為底面直徑，頂角為，那么不過頂點(diǎn)的平面：與夾角滿足時(shí)，截口曲線為橢圓；與夾角時(shí)，截口曲線為拋物線；與夾角滿足時(shí)，截口曲線為雙曲線.如圖（65-1），底面內(nèi)的直線，過的平面截圓錐得到的曲線為橢圓，其中與的交點(diǎn)為，可知為長軸，那么當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，截口曲線的短軸頂點(diǎn)的軌跡為（）圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分拋物線的一部分[解]如圖（65-2），【例66】如圖（66-1），斜線段與平面的夾角為，，，且，平面內(nèi)有兩動(dòng)點(diǎn)與，分別滿足，，則的最小值為.圖（66-1）圖（66-1）圖（66-2）[解]第五部分：特殊軌跡類型【例67】已知直線平行于平面，且它們的距離為，我們把到直線與到平面的距離都相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合定義為集合，那么集合中同屬于某個(gè)平面的點(diǎn)過構(gòu)成的圖形不可能是（）橢圓兩條平行線一條直線拋物線圖（67）[解]【例68】已知平面∥平面，直線，點(diǎn)，平面、間的距離為4，則在內(nèi)到點(diǎn)的距離為5，且到直線的距離為的點(diǎn)的軌跡是（）一個(gè)圓兩條平行直線四個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)[解]如圖（68）圖（68）圖（69-1）圖（69-2）【例69】如圖，設(shè)、為定點(diǎn)，且均不在平面上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）圓或橢圓拋物線或雙曲線橢圓或雙曲線以上均有可能[解]如圖（69-2）【例70】如圖（70-1），平面，為線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為.圖（70-1）圖（70-2）[解]如圖（70-2）總結(jié)：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓或球面；動(dòng)點(diǎn)到定線的距離為定值，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以該定線為中軸線，定長為半徑的圓柱的母線上.第六部分：圓錐模型與角圓錐模型與角主要考查圓錐角最值定理的應(yīng)用，參考第三期的內(nèi)容【例71】如圖（71-1），已知矩形，,,、分別為線段與上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），沿直線將折起，沿直線將折起，在旋轉(zhuǎn)的過程中，直線與所成角的最大值是（）圖（71-1）圖（71-2）圖（71-3）[解]如圖（71-2）【例72】如圖（72-1），在中，，，為的中點(diǎn)，將沿著翻折至，使得，則的取值不可能為（）圖（72-1）圖（72-2）[解]如圖（72-2）【例73】如圖（73-1），在中,,.若平面外的點(diǎn)和線段上的點(diǎn)，滿足，,則四棱錐的體積的最大值是.（可參考第三期【例32】）圖（73-1）圖（73-2）[解]如圖（73-2）【例74】如圖（74-1），在菱形中，，線段、的中點(diǎn)分別為、，現(xiàn)將沿對角線翻折，則異面直線與所成的角的取值范圍是（）（可參考第三期【例18】）圖（74-1）圖（74-2）[解]【例75】如圖（75-1,75-2），在中，,,是斜邊的中點(diǎn)，將沿直線翻折，若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得，則的取值范圍是.圖（75-1）圖（75-2）圖（75-3）[解]如圖（75-3）【例76】如圖（76-1），在平行四邊形中，，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折到，在翻折過程中，若存在某個(gè)位置使得直線與垂直，則的取值范圍是.圖（76-1）圖（76-2）[解]如圖（76-2）總結(jié)：存在兩直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的最大值大于等于.【例77】已知在中，，，現(xiàn)將繞直線旋轉(zhuǎn)到，設(shè)二面角大小為，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則（）且且且且圖（77）[解]如圖（77）【例78】已知四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（）圖（78）[解]如圖（78）【例79】如圖（79-1），已知正四面體在平面上方，點(diǎn)，若與平面所成角等于，平面與平面所成角的正弦值的取值范圍是（）圖（79-1）圖（79-2）[解]【例80】如圖（80-1），正方體在平面上方，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線與平面所成角為.當(dāng)正方體繞著旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，平面與平面所成角的正弦值的最小值為（）圖（80-1）圖（80-2）[解]總結(jié)（1）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題主要以平行和垂直為條件設(shè)計(jì)題型，需要通過條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，判斷動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律，是線段，還是曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）等；（2）平面截圓錐所得截口曲線是考查的重點(diǎn)，需要準(zhǔn)確判斷圓錐中軸線與母線的夾角的大小與平面所成角的大小的關(guān)系，才能得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（3）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度主要考查球面中某截面的弧長，需要判斷是大圓中的弧長還是小圓中的弧長，標(biāo)準(zhǔn)依據(jù)就是球心是否在弧長所在的平面內(nèi)，若是就是大圓中弧長，若不是就是小圓中的弧長；（4）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡面積一般是三角形或四邊形面積為主；（5）圓錐模型與角本質(zhì)是考查圓錐角最值定理的應(yīng)用，求相應(yīng)邊的取值范圍需要轉(zhuǎn)化到求角的取值范圍.第六講軌跡綜合問題第二部分：六大基礎(chǔ)類型求動(dòng)點(diǎn)軌跡題型一：動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡，平行時(shí)可利用向量法垂直關(guān)系求軌跡【例1】如圖（1-1），在棱長為的正方體中，、、、、分別是、、、、的中點(diǎn)，在四邊形邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若∥平面，則點(diǎn)軌跡的長度為（）圖（1-1）圖（1-2）[解]如圖（1-2），由、分別是、的中點(diǎn)，則∥，由∥，故∥，由平面，平面，則∥平面，由、分別是、的中點(diǎn)，則∥，由平面，平面，則∥平面，又，則平面∥平面，由∥平面，故平面，又在四邊形邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)須在線段上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，，則點(diǎn)軌跡的長度是.答案：.【例2】如圖（2），三棱臺(tái)中，在在上，且∥，點(diǎn)是三角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面∥平面，則點(diǎn)軌跡是（）三角形邊界的一部分一個(gè)點(diǎn)線段的一部分圓的一部分圖（2）[解]如圖（2），過點(diǎn)作∥交于，連接，∥，平面，平面，則∥平面，同理∥平面，又，故平面∥平面，則（不與重合，否則沒有平面），故點(diǎn)軌跡是是線段的一部分.答案：.【例3】如圖（3-1），已知正方體的棱長為2，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（）圖（3-1）圖（3-2）[解]如圖（3-2）由已知∥平面，連接，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則∥，延長平面，平面，故∥平面，由交的延長線于點(diǎn)，則，連接，過點(diǎn)作∥，交與，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，由平面，平面，故∥平面，又，則平面∥平面，由∥平面，則平面，又點(diǎn)為底面內(nèi)（包含邊界），故點(diǎn)的軌跡為線段，在中，即點(diǎn)的軌跡長度為.答案：.題型二：動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡可利用線線垂直、線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直得交線軌跡，利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡【例4】如圖（4），在正方體中，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡是（）點(diǎn)線段線段平面[解]如圖（4），連接，，則，，，故平面，又，則平面，又是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上.答案：.圖（4）圖（5）【例5】如圖（5），在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持，則點(diǎn)的軌跡是（）線段線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段[解]如圖（5），連接、、在，在正方體中，有平面，又點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)的軌跡為平面與平面的交線段.答案：.【例6】（多選題）如圖（6-1），正方體的棱長為1，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，給出下列說法正確的是（）點(diǎn)可以為棱的中點(diǎn)線段的最大值為點(diǎn)的軌跡是正方形點(diǎn)的軌跡軌跡長度為圖（6-1）圖（6-2）[解]如圖（6-2），以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，設(shè)，則，由，則，即,當(dāng)時(shí)，，取，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，過點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則，由，，，故平面，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，故平面，即點(diǎn)的軌跡為長方形，故錯(cuò)，此時(shí)點(diǎn)在棱的四等分點(diǎn)處（靠近點(diǎn)），故錯(cuò)，長方形的周長，故對，又，故對.答案：.題型三：動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線的定義或球和圓的定義等知識(shí)判斷軌跡，利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡【例7】已知正方體的棱長為1，為底面內(nèi)一點(diǎn)，若到棱、距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）直線橢圓拋物線雙曲線[解]如圖（7），過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過作∥，交于，，由題意可知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，則，化簡得，即點(diǎn)的軌跡是雙曲線.答案：.圖（7）圖（8-1）圖（8-2）【例8】如圖（8-1），在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，底面是正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（）[解]如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，正方形的邊長為2，則，，，，則，，由，則，即點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為一條線段（）.答案：.題型四：動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡【例9】如圖（9），長方體中，且，，點(diǎn)為平面上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（）拋物線橢圓雙曲線圓圖（9）[解]如圖（9），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，故，即，由，，則，即，即，即，即點(diǎn)的軌跡為橢圓.答案：.【例10】如圖（10-1），正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線的夾角和直線與直線的夾角線相等，則點(diǎn)所在軌跡為（）橢圓雙曲線拋物線拋物線或雙曲線圖（10-1）圖（10-2）[解]由已知可得：點(diǎn)的軌跡為以為母線，為軸，為底面直徑的圓錐體即其關(guān)于反向?qū)ΨQ的錐體與平面的交線，設(shè)母線與軸的夾角為，則，設(shè)軸與平面的夾角為，如圖（10-2），以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，（），，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，得，取，故，即在上單增，則，則，又，故，當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.即點(diǎn)的軌跡可為拋物線或雙曲線.答案：. 【例11】如圖（11-1），長方體中，，，為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與長方體的側(cè)面的交線長為.圖（11-1）圖（11-2）[解]由已知，當(dāng)在面內(nèi)時(shí)，平面，平面，由，則，在中，，在中，，即，得，如圖（11-2），以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，則，化簡:,軌跡是圓的一部分，此圓與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的一部分，即為劣弧，在中，，則，即劣弧的長度.題型五：投影求軌跡球的非正投影，可能是橢圓；多面體的投影，多為多邊形【例12】1822年比利時(shí)數(shù)學(xué)家利用圓錐區(qū)縣的兩個(gè)內(nèi)切球，試證明用一個(gè)平面取截圓錐，可得得到橢圓（其中兩個(gè)球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義域推擠定義的統(tǒng)一性.在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照底面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被底面所截產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖（12-1），在底面的某個(gè)點(diǎn)正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在底面，使得與小球相切。若，小球半徑，則小球在點(diǎn)的影子形成的橢圓的離心率為（）[解]如圖（12-2），可得①，，，則，在中，②，由①②可得：，，故.答案：.圖（12-1）圖（12-2）圖（13-1）圖（13-2）【例13】如圖（13-1），已知水底面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓，如圖，橢圓中心為，，，球與地面的接觸點(diǎn)為，若光線與底面所成角為，橢圓的離心率為.[解]如圖（13-2），長軸，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，則，故，在中，，，故，即，又短軸，則，，故.題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡翻折問題，首先確定翻折前后變與不變的關(guān)系，畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決；其次確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置.所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算.【例14】如圖（14-1），將四邊形，沿著翻折到，則翻折過程中中點(diǎn)的軌跡是（）橢圓的一部分拋物線的一部分雙曲線的一部分一段圓弧圖（14-1）圖（14-2）圖（14-3）[解]如圖（14-2），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連接，如圖（14-3），翻折過程前后，與的形狀一致，即的長度不變，取的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)為，連接,則，在中，，則的長度不變，在中，，則的長度不變，過點(diǎn)作，連接、，由，則平面，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓的一部分（圓在平面內(nèi)）.答案：【例15】如圖（15-1），為正三角形，邊長為2，在邊上任取一點(diǎn)，沿著將折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作平面，垂足為，那么隨著點(diǎn)的變化，點(diǎn)的軌跡長度為（）[解]如圖（15-2）由平面平面，平面平面=，平面，故，取的中點(diǎn)為，連接，得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的一部分，其圓心角的范圍，故點(diǎn)的軌跡長度.答案：.圖（15-1）圖（15-2）圖（16-1）圖（16-2）【例16】如圖（16-1），等腰梯形中，∥，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰落在上，當(dāng)邊長變化時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為（）[解]由點(diǎn)在平面上的射影恰落在上，且的長度不變，故點(diǎn)的軌跡在以為圓心，半徑的圓.當(dāng)?shù)拈L度趨于0時(shí)，點(diǎn)、、共點(diǎn)于線段的中點(diǎn)；當(dāng)?shù)拈L度趨于時(shí)，點(diǎn)的射影為，如圖（16-2），設(shè)，則，在中，，，在中，，解得，即，在中，，則點(diǎn)所在軌跡圓的圓心角為，故點(diǎn)的軌跡長度.答案：.【例17】如圖（17-1），在矩形中，,,為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使得點(diǎn)在面的射影在直線上.當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)所形成的軌跡長度為.圖（17-1）圖（17-2）圖（17-3）[解]由已知平面，則，取的中點(diǎn)為，如圖（17-2），中，，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，如圖（17-3），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為劣弧，，在中，，則，故，則劣弧的長度，即點(diǎn)所形成的軌跡長度為.第三部分：幾何性質(zhì)與坐標(biāo)計(jì)算判斷軌跡類型題型一：直線或線段軌跡類型【例18】在正四棱椎中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形最有可能是（）[解]如圖（18），由正四棱錐的性質(zhì)可得：平面，取、的中點(diǎn)、，則∥，∥，故平面∥平面，又平面，由，則平面，又平面，平面，則，即點(diǎn)在側(cè)面的軌跡為的中位線.答案：圖（18）圖（19）【例19】如圖（19），在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且總有，則點(diǎn)的軌跡為（）線段圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分[解]如圖（19），由題意，根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，取、的中點(diǎn)為、，則平面∥平面，故平面，又點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，則在線段上，即點(diǎn)的軌跡為線段.答案：【例20】如圖（20-1），正方體中，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是.（點(diǎn)、分別面、面的中心點(diǎn)）圖（20-1）圖（20-2）[解]如圖（20-2），在線段上取，使得，則∥，連接與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為面的中心點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，則點(diǎn)面中心點(diǎn)，則∥，又點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，故∥，又，則∥，故∥，又，故點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡是線段.【例21】如圖（21-1），平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）一條直線一個(gè)圓一個(gè)橢圓雙曲線的一支圖（21-1）圖（21-2）[解]如圖（21-2），設(shè)與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個(gè)平面，且斜線垂直于這個(gè)平面，由過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線垂直，可知過定點(diǎn)與垂直的所有直線都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)都在這個(gè)平面與的交線上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條直線.答案：.【例22】如圖（22-1），點(diǎn)是長方體的棱的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在面內(nèi)，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)的軌跡為（）橢圓的一部分拋物線的一部分一條線段一段圓弧圖（22-1）圖（22-2）圖（22-3）[解][法1]如圖（22-2），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則面的法向量為，面的法向量為，點(diǎn)，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，故，取，由，得，故或，則點(diǎn)的軌跡在平面內(nèi)為一條線段或兩條線段，其方程設(shè)為直線，如圖（22-3），當(dāng)時(shí)，直線與正方形無交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與正方形有交點(diǎn)，符合題意；故點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為一條直線.答案：.圖（22-4）[法2]如圖（22-4），設(shè)點(diǎn)在平面的投影為，連接，，平面與平面所成的銳二面角為與平面，則，設(shè)點(diǎn)在平面的投影為的中點(diǎn)，連接，，平面與平面所成的銳二面角為與平面，則，故，即，得到，則，即點(diǎn)到直線的距離為定值，故點(diǎn)在于平行的直線上，又點(diǎn)在平面內(nèi)，故軌跡為一條線段.答案：.【例23】如圖（23），在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且總有，則點(diǎn)的軌跡為（）線段圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分[解]由題意，根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，取、的中點(diǎn)為、，則平面∥平面，故平面，又點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，，則在線段上，即點(diǎn)的軌跡為線段.答案：圖（23）圖（24-1）圖（24-2）【例24】如圖（24-1），在正方體中棱長為2，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，、分別為、上靠近和的三等分點(diǎn)，若線段與相交且互相平分，則點(diǎn)的軌跡與線段形成的封閉圖形的面積為.[解]如圖（24-1），由線段與互相平分，則四邊形是平行四邊形，故∥，如圖（24-2），由是底面正方形的中心，則點(diǎn)平行于的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)平行于的直線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡與線段形成的封閉圖形是等腰直角，在中，，則.【例25】若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到底面的距離與到棱的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的圖形可能是（）圖（25）[解]動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若點(diǎn)到的距離等于到棱的距離，則點(diǎn)在的內(nèi)角平分線上，現(xiàn)點(diǎn)到平面的距離等于到的距離相等，而點(diǎn)到棱的距離大于到底面的距離，于是，到棱的距離小于到棱的距離，故動(dòng)點(diǎn)只能在的內(nèi)角平分線與之間的區(qū)域內(nèi).如圖（25），設(shè)在平面上的射影為，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，故，令，，，由最小角原理：，即①，設(shè)，則，，，，，由，則②，則滿足①②關(guān)系的、即可，則可得為定值，即為定直線，靠近.答案：題型二：圓或圓部分軌跡類型【例26】如圖（26-1），已知三棱錐,,,,點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則異面直線與所成角的余弦值最大值為.圖（26-1）圖（26-2）[解]如圖（26-2），取的中點(diǎn)為，連接、，由，，則，，又，則平面，由平面，則平面平面，平面平面=，又，，取的中點(diǎn)為，則，平面，在中，，，故，在，，，則，，故點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡：以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，即直線是以為中軸線的圓錐的母線，又平面，則異面直線與所成角的最小角為直線與平面所成的角，此時(shí)所成角的余弦值最大，由平面，則直線與平面所成的角為，故.【例27】如圖（27），已知線段∥，且與平面的距離為4，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，則線段長度的取值范圍是.圖（27）[解]如圖（27），將線段投影到平面上，得到射影，將空間問題平面化，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，又，，，則，即.【例28】如圖（28-1），在棱長為3的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍是（）圖（28-1）圖（28-2）圖（28-3）[解]由已知條件中的數(shù)據(jù)，顯得感覺有點(diǎn)偏難，由橢圓的定義，可得動(dòng)點(diǎn)在空間中的軌跡滿足橢圓的定義，是橢圓繞著長軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，又點(diǎn)是平面內(nèi)，故點(diǎn)的軌跡是旋轉(zhuǎn)體與平面的交線，又旋轉(zhuǎn)體與平面垂直，則交線為橢圓.如圖（28-2），由平面，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)平面=，由，則設(shè)，得，，故，解得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓且在平面內(nèi)，是為以為頂點(diǎn)的圓錐的母線，所求角轉(zhuǎn)化為圓錐母線與所成的角，即圓錐母線與圓錐底面圓直徑所在直線的角，如圖（28-3），在中，，，則，得，故.答案：.【例29】如圖（29-1），已知正方體中，，為的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且，則的最小值為（）圖（29-1）圖（29-2）[解]如圖（29-2），取的中點(diǎn)為，連接，，則在中，，則，則，故點(diǎn)是以為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部（在正方形內(nèi)），以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)，則，，，故，則，設(shè)，則.答案：.【例30】如圖（30-1），在長方體中，已知底面為正方形，為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段的長度的最大值為.圖（30-1）圖（30-2）[解]如圖（30-2），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由已知，為的中點(diǎn)，，，則，，，由于點(diǎn)為正方形所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，由，則，整理得：，即點(diǎn)的軌跡是圓上的點(diǎn)，又，則表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，因此.【注】其中表示圓的半徑總結(jié)：在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（定值不為1），考查阿波羅尼斯圓的性質(zhì).【例31】如圖（31-1），已知線段垂直于定圓所在平面，、是圓上的兩個(gè)點(diǎn)，是點(diǎn)在上的射影，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是（）圓橢圓拋物線不是平面圖形圖（31-1）圖（31-2）[解]如圖（31-2），設(shè)圓的半徑為，取的中點(diǎn)為，則，，由平面，則是在平面上的射影，從而平面，故，則，即，亦即動(dòng)點(diǎn)在以為球心，為半徑的球面上，又，，，則平面，故，由于點(diǎn)為定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)又在過點(diǎn)且垂直于直線的定平面上，故點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓.答案：.【例32】如圖（32-1），在正方體中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則動(dòng)點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡是（）橢圓的一部分雙曲線的一部分拋物線的一部分圓的一部分[解]如圖（32-2），由，動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為軸線，以為母線的圓錐與底面的交線，即為圓錐的底面圓的一部分.答案：.圖（32-1）圖（32-2）【例33】如圖（33-1），四棱錐，平面，平面，底面為梯形，，，，，則滿足上述條件的四棱錐的頂點(diǎn)的軌跡是（）圓不完整的圓拋物線拋物線的一部分[解]如圖（33-2），以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由，平面，平面，則，即，即，設(shè)（），，，得，化簡得：,則點(diǎn)的軌跡為圓的一部分.答案：圖（33-1）圖（33-2）圖（34-1）圖（34-2）【例34】如圖（34-1），已知正方體，空間一動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）直線圓橢圓拋物線[解]如圖（34-2），由已知可得：平面，由，故平面，連接與交于點(diǎn)，連接，則，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，故為等腰三角形，由，則，設(shè)則，得，由為定值，又為定值，故為定值，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足在平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑的圓.答案：.【例35】如圖（35-1），正四面體的棱長為2，棱與平面所成的角，且頂點(diǎn)在平面內(nèi)，、、均在平面外（同側(cè)），則棱的中點(diǎn)到平面的距離的取值范圍是.圖（35-1）圖（35-2）[解]如圖（35-2），直線在平面內(nèi)的射影為直線，則，連接、，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，，設(shè)，有，，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，且直線與此圓垂直，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離取得最值，則，又，則，，即.總結(jié)：此題看似考查距離最值，其本質(zhì)考查直線與平面所成角的最值問題.旋轉(zhuǎn)問題，考查圓錐時(shí)，往往考查直線與圓錐母線及中軸線的夾角問題.題型三：橢圓或橢圓部分軌跡類型【例36】如圖（36-1），點(diǎn)是平面的斜線段，點(diǎn)為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）圓橢圓直線兩條平行線圖（36-1）圖（36-2）[解]如圖（36-2），由線段是固定的，的面積為定值，則點(diǎn)到直線的距離為定值，故點(diǎn)應(yīng)該是以為軸線的圓柱的側(cè)面上，由于截面與圓柱的軸線不平行，故點(diǎn)的軌跡橢圓.答案：.【例37】如圖（37），斜線段是平面所成的角為，為斜足，平面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）直線拋物線橢圓雙曲線的一支圖（37）[解]由平面截圓錐所得截口曲線性質(zhì)可得：，，當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓.答案：.【例38】如圖（38-1），在正方體中，點(diǎn)、分別是直線、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），記直線與所成角為，若的最小值為，則點(diǎn)的軌跡是（）圓的一部分橢圓的一部分拋物線的一部分雙曲線的一部分圖（38-1）圖（38-2）[解]由平面，則直線與所成角的最小值，即為直線與平面所成的角，如圖（38-2），則點(diǎn)在以為中軸線，軸線與母線所成角為的圓錐曲面上，又在平面內(nèi)，則點(diǎn)的軌跡為平面截圓錐的截口曲線，取的中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)：平面，即中軸線與平面的夾角，在中，，由，即，則截口曲線為橢圓的部分.答案：.【例39】如圖（39-1），已知異面直線、成角，其公垂線段為，，長為4的線段的兩端點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡為（）橢圓雙曲線圓以上都不是圖（39-1）圖（39-2）[解]如圖（39-1），設(shè)的中點(diǎn)為，過作的垂面，則的中點(diǎn)必在平面內(nèi)，設(shè)、在平面內(nèi)的射影點(diǎn)為、，由，，則，以的角平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（39-2），設(shè)，，，由余弦定理可知：，則，又，設(shè)，則，故，將上述結(jié)果帶入等式中，化簡可得，故軌跡為橢圓.答案：.【例40】歷史上，許多人研究過圓錐的截口曲線.如圖（40-1），在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為，現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為1，對于所得截口給出以下命題，其中正確的序號為（）①曲線形狀為橢圓；②點(diǎn)為該曲線上任意一兩點(diǎn)最長距離的三等分點(diǎn)；③該曲線上任意兩點(diǎn)間的最長距離為，最短距離為；④該曲線的離心率為.①②④①②③④①②③①④圖（40-1）圖（40-2）[解]由平面截圓錐所得截口的性質(zhì)，由題意，，則，故截口曲線為橢圓，①對；如圖（40-2），，，，則，，即，則，而曲線上任意兩點(diǎn)間最長距離為，故點(diǎn)為該曲線上任意兩點(diǎn)最長距離的三等分點(diǎn)，②對；由于曲線是連續(xù)不斷的，故任意兩點(diǎn)間沒有最短距離，③錯(cuò)；排除、.答案：.題型四：雙曲線或雙曲線部分軌跡類型【例41】如圖（41-1），已知點(diǎn)在正方體的側(cè)面中，且滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）圓橢圓雙曲線拋物線圖（41-1）圖（41-2）圖（42）[解]如圖（41-2），由，則點(diǎn)在以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為軸線的圓錐側(cè)面上，又點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，由于軸線∥平面，由平面截圓錐所得截口曲線的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線（部分），則點(diǎn)的軌跡為雙曲線（部分）.答案：.【例42】已知正方體的棱長為1，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到直線的距離，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在直線的曲線是（）拋物線雙曲線橢圓直線[解]如圖（42），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，故，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，故，，得，化簡得，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線.答案：總結(jié)：考查雙曲線軌跡類型相對比較少一些題型五：拋物線軌跡類型【例43】在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（）直線橢圓圓拋物線圖（43）[解]如圖（43），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)，，則,過點(diǎn)作∥分別交、于、，由平面，連接、，由平面，則在平面的射影為，即為直線與平面所成的角，又平面平面=，，，平面，平面，故為平面與平面所成銳二面角的平面角，由已知，即，即，化簡得：，則點(diǎn)的軌跡為拋物線.答案：.【例44】如圖（44），在正方體中，點(diǎn)在面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到和的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為（）圓的一部分橢圓的一部分雙曲線的一部分拋物線的一部分[解]如圖（44），由已知可得：平面，設(shè)，平面，故，即點(diǎn)到的距離為，且點(diǎn)為定點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離，故點(diǎn)的軌跡為拋物線（部分）.答案：圖（44）圖（45）【例45】在正方體中，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線是.[解]如圖（45），由平面，平面，故，即點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即點(diǎn)直線的距離為，故，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離（），則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.答案：拋物線.【例46】如圖（46），正方體的棱長為1，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）圓拋物線雙曲線直線[解]如圖（46），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連接，則平面，，，∥，由已知：，又，即，即，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.答案：圖（46）圖（47-1）圖（47-2）【例47】如圖（47-1），已知三棱柱，平面，是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)、在直線上運(yùn)動(dòng)，若直線和所成角的最小值與直線和平面所成角的最大值相等，則滿足條件的點(diǎn)的軌跡是（）直線的一部分圓的一部分拋物線的一部分橢圓的一部分[解]如圖（47-2），直線和所成角的最小值即為直線與平面所成線面角，直線和平面所成角的最大值即為二面角的平面角.作平面于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，故，，由，故，點(diǎn)是點(diǎn)在平行平面上的投影，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，則點(diǎn)的軌跡為在底面內(nèi)的拋物線，即點(diǎn)的軌跡為在底面內(nèi)的拋物線.答案：.題型六：球軌跡類型【例48】如圖（48-1），直線平面，垂足是，正四面體的棱長為4，點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.[解]如圖（48-1），點(diǎn)為定點(diǎn)，正四面體運(yùn)動(dòng)，但始終保持不變，不妨翻過來換位思考，將正四面體固定下來，讓點(diǎn)在以為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，如圖（48-2），接下來可得到點(diǎn)到直線的距離的取值范圍就是球心（的中點(diǎn)）到直線的距離減去球的半徑與球心到直線的距離加上半徑之間，取的中點(diǎn)為，則（正三棱錐三組對棱互相垂直），在，，，則，故.圖（48-1）圖（48-2）圖（49）【例49】如圖（49），在棱長為6的正方體中，長度為4的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡與其頂點(diǎn)的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積是.[解]由平面，則，在中，為斜邊的中點(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，半徑的球面，與其頂點(diǎn)的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何體是八分之一球體.因此.總結(jié)：圓軌跡類型考查動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，球軌跡類型考查動(dòng)點(diǎn)在空間內(nèi)，區(qū)別比較明顯.第四部分：軌跡長度或面積問題【例50】如圖（50-1），已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足、與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為()圖（50-1）圖（50-2）[解]如圖（50-1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由已知平面，平面，則直線、與平面所成的角分別為、，均為銳角，且，則，即，即，則點(diǎn)的軌跡為阿氏圓，由，，得，化簡得：，如圖（50-2），圓心在的延長線外，半徑，與、分別交于點(diǎn)、，則軌跡為弧長（劣?。?，又、，在中，，則，則點(diǎn)的軌跡長度為.【例51】如圖（51），在四面體中，已知，且、、兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成的曲線的總長度是.圖（51）[解]如圖（51），以點(diǎn)為球心，半徑的球與四面體的各面均有交線，交線是大圓上的一段弧，作出各面的弧，則，在中，弧長是以點(diǎn)為圓心的一段弧，由，，則，在中，，則，，故，，在中，弧長以點(diǎn)為圓心的一段弧，由，則，同理，在中，弧長是以點(diǎn)為圓心，，則，故總弧長.【例52】如圖（52-1），點(diǎn)為棱長為2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為.圖（52-1）