試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖北省武漢市四校2025-2026學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．2．記為等差數(shù)列的前項和，若，則A．30 B．40 C．50 D．603．若方程表示的曲線為一個圓，則（

）A． B．或C． D．或4．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點P，點P到直線的距離為d，則d的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列6．已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝17．已知數(shù)列滿足，若，，且對于任意正整數(shù)均成立，則數(shù)列的前2017項和的值為（

）A．672 B．673 C．1344 D．13458．已知直線：與橢圓：至多有一個公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分,。每小題有多個選項符合題意，全選對得滿分，漏選得部分分，錯選不選不得分9．已知圓和圓相交于A，B兩點，則下列結論正確的是（

）A．兩圓的公共弦AB的長為B．四邊形OACB的面積為C．兩圓的公切線相交于點D．兩圓的公切線相交所成角的大小為10．在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足，記點的軌跡為曲線，則下列命題中，可能成立的是（

）A．曲線上所有的點到點的距離大于2B．曲線上有兩點到點與的距離之和為6C．曲線上有兩點到點與的距離之差為2D．曲線上有兩點到點的距離與到直線的距離相等11．對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（與互質），則（）A．若n為質數(shù)，則 B．數(shù)列單調遞增C．數(shù)列的最大值為1 D．數(shù)列為等比數(shù)列三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知等差數(shù)列{}的前n項和為，滿足=，且>0，則最大時n的值是．13．已知拋物線的弦過其焦點，若，則的值為.14．已知圓的直徑為是圓內一個定點，且是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，若點在圓上運動時，則點的軌跡的離心率等于.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．已知數(shù)列的前n項和為，若．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．16．已知圓C的圓心在直線上，點C在y軸右側且到y(tǒng)軸的距離為1，圓C被直線截得的弦長為4.(1)求圓C的方程；(2)設點D在圓C上運動，且點T滿足，（O為坐標原點）記點T的軌跡為E.①求曲線E的方程；②過點的直線與曲線E交于A，B兩點，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.17．如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動點，將沿著BM折起，使點A到達點的位置，滿足點平面且點在平面內的射影E落在線段BC上.

(1)當點M與端點D重合時，證明：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值；(3)設直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值.18．已知點為坐標原點，，，為線段AB上一點，點滿足平分，.(1)求點的軌跡的方程；(2)設直線與曲線的一個交點為（異于點），求面積的最大值.19．設拋物線的焦點為上點滿足.(1)求拋物線的方程；(2)已知正方形有三個頂點在拋物線上，求該正方形面積的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖北省武漢市四校2025-2026學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案DDBAADDDACDBD題號11答案ACD12．913．114．/15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以時，，由①②相減可得，，，當時，也滿足題意，故的通項公式為：．所以時，，所以時，總成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）因為，所以，當時，；當時，，由(1)中結論可知，當時，；當時，，從而．16．(1)(2)①②存在，【詳解】（1）由題意可設圓C的圓心C的坐標為，∵圓C的圓心C在直線上，∴，解得：，即圓心為，∴圓心到直線l的距離為，設圓C的半徑為r，則弦長為，由已知得所以，所以圓C的標準方程為；（2）①設，，則，，由得：，所以D在圓C上運動，整理可得點T的軌跡方程E為：

②當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB，當直線AB斜率存在且不為零時，設直線AB的方程為，聯(lián)立化簡可得，方程的判別式，設，，，則，若x軸平分∠ANB，則，所以，又，，所以，所以，所以所以解得，∴存在時，能使x軸平分∠ANB.17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）當點M與端點D重合時，由可知，由題意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，可知，平面，平面，所以平面（2）矩形中作，垂足為點O，折起后得，

由平面，平面，可得，所平面，，所以平面，平面，可得，所以A，O，E三點共線，因此與相似，滿足，設，所以，，，，，要使點射影落在線段上，則，所以，所以，當時，.（3）過點做交于，所以直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，由（2）可知平面，平面，所以平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，可得平面，連接，是直線與平面所成的角，即，由題意可得，，因為，，所以是二面角平面角，即，，，當且僅當時“＝”成立，故的最大值為.18．(1)(2)【詳解】（1）解：因為平分，所以由角平分線定理得，又，所以，于是，所以點的軌跡是以A，B為焦點，4為長軸長的橢圓，且點不在軸上，故點C的軌跡的方程為.（2）解：設，，直線，則，點在橢圓上，則，所以因為，，所以，故.又，所以，可得，故；則，整理可得：，所以于是，所以又，當且僅當時等號成立.設，，又，當且僅當時等號成立，故故當時，的面積最大，且最大值為.19．(1)(2)32【詳解】（1）因為點在上，所以①，因為，所以由焦半徑公式得②，由①②解得，故拋物線的方程為.（2）如圖所示：

依題意，不妨令正方形的頂點在拋物線上，且，設拋物線上的三點為，顯然直