第1頁/共1頁卓越聯(lián)盟2025-2026學年第一學期高二第三次月考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的方程求出直線的斜率，再求出直線的傾斜角.【詳解】因為的斜率為，所以的傾斜角為．故選：A.2.數(shù)列，，，，…的通項公式可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法可得結論.【詳解】數(shù)列的首項為負數(shù)，排除A，C．對于B，，排除B．故D正確．故選：D.3.若構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】利用共面向量定理及空間向量基底的意義，逐項判斷即可．【詳解】對于A，因為，所以，，共面，故A錯誤；對于B，假設，，共面，則存在實數(shù)，使得，，矛盾，即假設不成立，所以，，不共面，故B正確；對于C，因，所以，，共面，故C錯誤；對于D，因為，所以，，共面，故D錯誤．故選：B．4.圓心為，半徑為4的圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓的標準方程的定義求解.【詳解】圓心為，半徑為4的圓的標準方程為．故選：C.5.若數(shù)列的通項公式為，則的最小項和最大項分別為（）A， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】分，兩種情況，結合數(shù)列單調(diào)性求解即可.【詳解】當時，，是遞減數(shù)列，則的最小項為；當時，，是遞減數(shù)列，則的最大項為.故選：B.6.某體育場一角看臺的座位共有十一排，從第一排到第十一排的座位數(shù)成等差數(shù)列，且前兩排的座位數(shù)與后兩排的座位數(shù)之和為80，則第六排的座位數(shù)為（）A.16 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質即可求解.【詳解】假設從第一排到第十一排的座位數(shù)成等差數(shù)列，則，所以，得．故選：C.7.已知等差數(shù)列前項和為，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式及通項公式列方程可得到一個關于的等式，整體代入的表達式中即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，所以．故選：B.8.已知等比數(shù)列的前項積為，，，且，則的最小值為（）A.16 B.15 C.14 D.13【答案】C【解析】【分析】由題意可得是遞增數(shù)列且，由遞增數(shù)列性質結合等比數(shù)列性質可判斷最值.【詳解】設的公比為．由，，得，則．由，得，所以是遞增數(shù)列．當時，；當時，；當時，．故的最小值為14．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.長軸長為6，離心率為的橢圓的標準方程可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)焦點的位置分類討論.【詳解】設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為．由得,所以橢圓的標準方程可能為，．故選：AC.10.已知等差數(shù)列的各項均不為0，的前項和為，公差為，且，，則（）A. B. C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】B選項，由等差數(shù)列求和公式得到，又，故；A選項，，A正確；CD選項，得到，，故的最小值為，無最大值，C錯誤，D正確．【詳解】B選項，由得，即，因為，所以，B正確；A選項，，則，故，A正確；CD選項，由于，故，又，所以，，即，，故的最小值為，無最大值，C錯誤，D正確．故選：ABD11.已知數(shù)列的前項和為，，且，則（）A. B.是等比數(shù)列C.數(shù)列的前100項和為5050 D.【答案】ACD【解析】【分析】變形得到，是公比為3的等比數(shù)列，從而得到，A選項，求出；B選項，根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷；C選項，，從而利用等差數(shù)列求和公式得到答案；D選項，放縮得到，由等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】由，得，則，所以，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列．由，得，A選項，，，所以，A正確；B選項，因為，不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，B錯誤；C選項，因為，所以是等差數(shù)列，所以的前100項和為5050，C正確；D選項，由，得，得，所以（當且僅當時，等號成立）．故，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量在向量上的投影向量的坐標為________．【答案】【解析】【分析】利用公式計算即可.【詳解】因為向量，向量，所以，，所以在上的投影向量的坐標為．故答案為：.13.已知數(shù)列的前項和為，且，則的通項公式為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】當時，．當時，．．故答案為：．14.在數(shù)列和中，，，且不等式對任意恒成立，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】構造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，進而求出的取值范圍.【詳解】設，則．易得函數(shù)為增函數(shù)．由，，得，，所以，故的取值范圍為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）若為正項等比數(shù)列，且，，求．【答案】（1）（2）81【解析】【分析】（1）由題目列方程組求出所以.（2）結合（1）結果列方程組求出，，所以.【小問1詳解】設的公差為．由得所以【小問2詳解】設的公比為．由得（舍去），．所以．16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，，，分別為棱，的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質可得底面，建立空間直角坐標系，由異面直線向量法計算即可；（2）由面面角向量法計算即可.【小問1詳解】∵側面底面，側面底面，，底面，∵底面，，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴異面直線與所成角的余弦值為．【小問2詳解】由（1）得，．設平面的法向量為，則令，則，，得平面的法向量為．易得平面的一個法向量為，∴平面與平面夾角的余弦值為．17.在數(shù)列中，．（1）求的通項公式．（2）若數(shù)列的前項和為，證明：．（3）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)遞推公式進行整理得到數(shù)列通項公式即可；(2)通過對所需要的數(shù)列的通項公式進行裂項，運用裂項相消的方法求和進行證明即可；(3)運用錯位相減的方法求解即可.【小問1詳解】當時，，得．當時，，，兩式相減得，則．當時，符合上式，所以．【小問2詳解】證明：由（1）得，所以，故．【小問3詳解】由（1）得，則，，所以，所以．18.已知是雙曲線的右焦點，且經(jīng)過點．（1）求的標準方程．（2）已知斜率為的直線與的右支相交于A，B兩點，直線，的一個方向向量分別為，，，且．（?。┣螅áⅲ┡袛嗍欠襁^定點．若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）（?。唬áⅲ┻^定點．【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解；（2）（?。└鶕?jù)數(shù)量積的定義化簡即可求出；（ⅱ）設直線，與雙曲線方程聯(lián)立，結合（?。┛傻贸觯俑鶕?jù)以及判斷，進而得出定點.【小問1詳解】由題意得，得，所以的標準方程為．【小問2詳解】（?。┮驗?，所以是直線的一個方向向量，因為直線的一個方向向量分別為，且，所以，則，整理得．因，所以．（ⅱ）過定點．理由如下：設，，，由，得，則，，，由（ⅰ）知，得，即，整理得，所以或．又，故當時，，不符合題意．當時，，符合題意．綜上，，所以過定點．19.對于給定的閉區(qū)間，現(xiàn)將按如下規(guī)則構造的區(qū)間列稱為的“就近隔離區(qū)間列”：（i）確定，??；（ii）確定，若與的交集為空集，則，否則判斷與的交集是否為空集，若為空集，則，否則判斷與的交集是否為空集，若為空集，則，以此類推，直到找到，設；（iii）確定，若與的交集為空集，則，否則判斷與的交集是否為空集，若為空集，則，以此類推，直到找到，設；（iv）依照（ii）（iii）的方法依次確定.已知數(shù)列滿足，區(qū)間是的“就近隔離區(qū)間列”.（1）求的通項公式及.（2）證明：.（3）設是給定的正整數(shù)，求集合中的元素之和.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結合等差中項的意義求出通項公式，再求出即可得.（2）令，利用“就近隔離區(qū)間列”的定義探求得，求出數(shù)列的通項，再比較大小即可得證.（3）按的奇偶