遼寧省鳳城市一中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓上的一點(diǎn)M到其左焦點(diǎn)的距離為2，N是的中點(diǎn)，則等于（）A.1 B.2C.4 D.82．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.3．過點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.4．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.5．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.86．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.7．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.C.1 D.8．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.510．一部影片在4個單位輪流放映，每個單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種11．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.12．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長為（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.14．已知圓，若圓的過點(diǎn)的三條弦的長，，構(gòu)成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.15．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則______16．已知正方體的棱長為為的中點(diǎn)，為面內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)到面的距離與到直線的距離相等，則三棱錐體積的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小18．（12分）解答下列兩個小題：（1）雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；（2）雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)求證：（1）共面；（2）求證：20．（12分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由.21．（12分）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）兩動點(diǎn)在橢圓上，總滿足直線與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值.22．（10分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，線段為中位線，∴.故選：C.2、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應(yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：3、A【解析】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線垂直于直線，再由點(diǎn)斜式求解即可【詳解】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直垂直于直線，，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線的斜率為，∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線方程為：，即.故選：A4、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.5、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標(biāo)函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.故選：C6、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計算參數(shù)，屬于簡單題.7、A【解析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.8、B【解析】直接利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因為，，所以.故選：B9、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C10、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個單位輪流放映，相當(dāng)于四個單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個單位輪流放映，相當(dāng)于四個單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C11、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.12、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##3.6【解析】先計算平均數(shù)，再計算方差.【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：14、2【解析】根據(jù)題意，求得過點(diǎn)的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，因為，故點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線過點(diǎn)，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當(dāng)直線過點(diǎn)，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.15、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，則拋物線：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1516、##【解析】由題意可知，點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，如圖在底面建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，直線的方程，將直線向拋物線平移，恰好與拋物線相切時，切點(diǎn)為點(diǎn)，此時的面積最小，則三棱錐體積的最小【詳解】因為為面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到面的距離與到直線的距離相等，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，如圖在底面，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，，直線的方程為，即，設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，由，得，所以與拋物線相切的直線為，此時切點(diǎn)為，且的面積最小，因為點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積的最小值為，所以三棱錐體積的最小值為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因為面,所以.因為是的中點(diǎn)，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個法向量為，則，不妨令，則.因為面，所以面的一個法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.18、（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再將點(diǎn)代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案.（2）先求出橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由條件可得，且，從而得出答案.詳解】（1）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得所以，雙曲線的方程為（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的方程為19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點(diǎn),為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點(diǎn)睛】本題考查三個向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎(chǔ)題20、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因為橢圓E：（a，b>0）過M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且.因為，所以，，①當(dāng)時，，因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.②當(dāng)時，.③當(dāng)AB的斜率不存在時，兩個交點(diǎn)為或，所以此時，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由此求得，同理求得，從而化簡求得直線的斜率為定值.【小問1詳解】由題可知，解得，從而粚圓方程為.【小問2詳解】證明設(shè)直線的斜率為，則，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得，從而，于是，由題