2026屆北京豐臺(tái)區(qū)十二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，有下列四個(gè)等式，甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€(gè)等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁3．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其外形上下對(duì)稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.454．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.325．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.17．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.8．的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.6 B.5C.4和6 D.5和79．閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出A.數(shù)列的第4項(xiàng) B.數(shù)列的第5項(xiàng)C.數(shù)列的前4項(xiàng)的和 D.數(shù)列的前5項(xiàng)的和10．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上.給出下列命題：①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號(hào)（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④11．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長(zhǎng)是（）A. B.C.8 D.1612．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.43 B.44C.45 D.46二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______15．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為＝(2，－2,1)，已知點(diǎn)P(－1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于__________________16．若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問：y軸上是否存在點(diǎn)Q（不與O重合），使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由21．（12分）2020年3月20日，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》（以下簡(jiǎn)稱《意見》），《意見》中確定了勞動(dòng)教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗(yàn)，開展服務(wù)性勞動(dòng)、參加生產(chǎn)勞動(dòng)，使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，具有勞動(dòng)自立意識(shí)和主動(dòng)服務(wù)他人、服務(wù)社會(huì)的情懷．我市某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生暑假期間多參加社會(huì)公益勞動(dòng)，在實(shí)踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)技能，服務(wù)他人和社會(huì)，強(qiáng)化社會(huì)責(zé)任感，為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到他們參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間均在15~65小時(shí)內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的每一個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）學(xué)校要在參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進(jìn)行感受交流，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行感受分享，求這2人來自不同組的概率22．（10分）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為22.故選：C.2、D【解析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗(yàn)證得到答案【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時(shí)與②矛盾；A錯(cuò)，若乙不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；與②矛盾；B錯(cuò)，若丙不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；與②矛盾；C錯(cuò)，若丁不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；，D對(duì)，故選：D.3、C【解析】設(shè)雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長(zhǎng)【詳解】設(shè)點(diǎn)是雙曲線與截面的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為故選：4、C【解析】依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性即可求得【詳解】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線由，可得則，故故選：C5、B【解析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D7、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對(duì)于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.8、A【解析】由二項(xiàng)展開的中間項(xiàng)或中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大可得解.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式一共11項(xiàng)，其中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，易知當(dāng)r＝5時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第6項(xiàng).故選：A9、B【解析】分析：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)，直到滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值即可詳解：模擬程序的運(yùn)行,可得:

A=0,i=1執(zhí)行循環(huán)體,,

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值為31.觀察規(guī)律可得該算法的功能是輸出數(shù)列{}的第5項(xiàng).所以B選項(xiàng)是正確的.點(diǎn)睛：模擬程序的運(yùn)行,依次寫出每次循環(huán)得到的A,i的值,當(dāng)i=6時(shí)滿足條件,退出循環(huán),輸出A的值,觀察規(guī)律即可得解.10、D【解析】當(dāng)點(diǎn)P是線段EF中點(diǎn)時(shí)判斷①；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，推理導(dǎo)出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計(jì)算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，，而，則，當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號(hào)是①③④.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影都在這兩個(gè)平面的交線上.11、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長(zhǎng)是，故選：D.12、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，，所以或，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：14、77【解析】依題意利用等差中項(xiàng)求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.15、2【解析】O是平面OAB上一個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到平面OAB的距離為d,則d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即點(diǎn)P到平面OAB的距離為2考點(diǎn)：空間向量在立體幾何中的運(yùn)用16、【解析】設(shè)圓錐的高為，可得出圓錐的母線長(zhǎng)為，以及圓錐的底面半徑為，利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為，由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為，故該圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，可得，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)，可得可得結(jié)果.（2）根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并比較的極值與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數(shù)的解析式為（2）由（1）有可知：故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關(guān)于x的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即等價(jià)于函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)實(shí)數(shù)m的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極值求函數(shù)的解析式，還考查了方程的根與函數(shù)圖像交點(diǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，屬基礎(chǔ)題.18、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由點(diǎn)斜式得切線方程；（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得在上恒成立，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.實(shí)數(shù)的取值范圍為做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，得實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.19、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為.20、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進(jìn)而得到橢圓方程及用m，n表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，根據(jù)得到，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到，結(jié)合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設(shè)，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或21、（1），；平均數(shù)為40.2；（2）【解析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號(hào)，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因?yàn)椋?，所求平均?shù)為（小時(shí)）所以估計(jì)這100名學(xué)生參加公益勞動(dòng)的總時(shí)間的平均數(shù)為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動(dòng)總時(shí)間在和的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則在中抽取3人，分別記為，，，在中抽取2人，分別記為，，則從5人中隨機(jī)抽取2人基本事件有，，，，，，，，，這2人來自不同組的基本事件有：，，，，，，共6個(gè)，所以所求的概