北京市北師大二附中2026屆數學高二上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數k使得曲線C為雙曲線，其離心率為2．已知等比數列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－33．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．某單位有840名職工,現采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調查,將840人按1,2,…,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入區(qū)間[481,720]的人數為A.11 B.12C.13 D.145．在遞增等比數列中，為其前n項和．已知，，且，則數列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.66．記不超過x的最大整數為，如，.已知數列的通項公式，則使的正整數n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.167．已知拋物線的焦點為F，過點F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點，則POQ(O為坐標原點)的面積S等于（）A. B.C. D.8．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.9．將正整數1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數組，則第19行從左往右數第5個數是（）A.381 B.361C.329 D.40010．已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.12．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則___________.14．已知數列滿足（），設數列滿足：，數列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________15．將一枚質地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現向上的點數之和為的概率是________.16．不大于100的正整數中，被3除余1的所有數的和是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，設，求數列的前n項和.18．（12分）已知等差數列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前n項和.19．（12分）已知直線經過點且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程20．（12分）在△中，已知、、分別是三內角、、所對應的邊長,且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.21．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為（1）求拋物線C的標準方程；（2）若AB是過拋物線C的焦點F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關系是什么？先給出你的判斷結論，再給出你的證明，并作出必要的圖形22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質計算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.2、C【解析】根據已知條件，利用等比數列的基本量列出方程，即可求得結果.【詳解】因為，故可得；解得.故選：C.3、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A4、B【解析】使用系統(tǒng)抽樣方法，從840人中抽取42人，即從20人抽取1人∴從編號1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接著從編號481～720共240人中抽取240/20=12人考點：系統(tǒng)抽樣5、B【解析】由已知結合等比數列的性質可求出、，然后結合等比數列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數列又，，故故選：B6、C【解析】根據取整函數的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當時，，使的正整數n的最大值為，故選：C7、A【解析】由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意設直線的方程，與拋物線的方程，聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出，的縱坐標之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點為，，由題意可得直線的方程為，設，，，，聯立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A8、B【解析】把直線的方程化簡，再利用平行線間距離公式直接計算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B9、C【解析】觀察規(guī)律可知，從第一行起，每一行最后一個數是連續(xù)的完全平方數，據此容易得出答案.【詳解】由圖中數字排列規(guī)律可知：第1行從左往右最后1個數是，第2行從左往右最后1個數是，第3行從左往右最后1個數是，……第18行從左往右最后1個數為，第19行從左往右第5個數是故選：C.10、D【解析】根據題意參變分離得到，求出的最小值，進而求出實數a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D11、B【解析】根據導數的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B12、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由向量的運算法則，求得，根據，結合向量的數量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：14、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據不等式恒成立求出參數的范圍即可.【詳解】當時，有當時，由①有②由①－②得：所以，當時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數列不等式問題，屬于中檔題.15、【解析】將向上的點數記作，先計算出所有的基本事件數，并列舉出事件“出現向上的點數之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現向上的點數記作，則基本事件數為，向上的點數之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個基本事件，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算概率，解題時一般要列舉出相應的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎題.16、1717【解析】利用等差數列的前項和公式可求所有數的和.【詳解】100以內的正整數中，被3除余1由小到大構成等差數列，其首項為1，公差為3，共有項，它們的和為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】(1)由數列的前n項和與通項公式之間的關系即可完成.(2)由錯位相減法即可解決此類“差比”數列的求和.【小問1詳解】由，得當時，，上下兩式相減得，，又當時，滿足上式，所以數列的通項公式；【小問2詳解】由（1）可知，所以，則，上下兩式相減得，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）先設等差數列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項和公差，即可得出通項公式；（2）根據（1）的結果，得到，再由等比數列的求和公式，即可得出結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，即數列為等比數列，所以數列的前n項和.19、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫點斜式方程，再化一般式，（2）根據平行設一般式，再代點坐標得結果，（3）根據垂直設一般式，再代點坐標得結果.【詳解】(1)(2)設所求方程為因為過點，所以(3)設所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關于角A的關系式，求解A（II）再結合正弦面積公式得到三角形的邊長的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得21、（1）；（2）相切，證明過程、圖形見解析.【解析】（1）根據拋物線的準線方程，結合拋物線標準方程進行求解即可；（2）設出直線AB的方程與拋物線方程聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合圓的性質進行求解即可.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為，所以設拋物線C的標準方程為：，因為該拋物線的準線方程為，所以有，所以拋物線C的標準方程；小問2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因為AB是過拋物線C的焦點F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設橢圓的焦點坐標為，設直線AB的方程為：，則有，設，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程的根與系數關系是解題的關鍵.22、（1）（2）【解析】（1）根據離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關系，可以求出橢圓方程；（2）根據題意，可以利用鉛錘