上海市上海師范大學第二附屬中學2026屆高二上數(shù)學期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．如圖，D是正方體的一個“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點，P是BC中點，Q是AD上的一個動點，連PQ，則當AC與PQ所成角為最小時，（）A. B.C. D.24．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.5．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體中最大的側(cè)面積是（）A.B.C.D.6．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.7．直線的斜率是（）A. B.C. D.8．已知的三個頂點是，，，則邊上的高所在的直線方程為（）A. B.C. D.9．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.10．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.11．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則12．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過點和的直線與直線平行，則_______14．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.15．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.16．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）①當時，的周長為定值②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點P，使得④當時，有且僅有一個點P，使得平面三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項和18．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和19．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1）求及的值；（2）求在點處的切線方程20．（12分）已知數(shù)列是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.數(shù)列的前項的和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)的圖像在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.2、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設(shè)點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C3、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點坐標的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時點的坐標，即可代值計算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：設(shè)，則，不妨設(shè)點的坐標為，則，，則，又，設(shè)直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時.故當時，取得最大值，此時最小，點，則，故，則故選：C.4、A【解析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解5、B【解析】由三視圖還原原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)，計算各面面積可得【詳解】由三視圖，原幾何體是三棱錐，平面，，尺寸見三視圖，，，故選：B6、B【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B7、D【解析】把直線方程化為斜截式即得【詳解】直線方程的斜截式為，斜率為故選：D8、B【解析】求出邊上的高所在的直線的斜率，再利用點斜式方程可得答案.【詳解】因為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.故選：B.9、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B10、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論11、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項正確.故選：D.12、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解.【詳解】因為過點和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：314、【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.15、【解析】計算點漸近線的距離，從而得，由勾股定理計算，由雙曲線定義列式，從而計算得，即可計算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，因為的中點在雙曲線的漸近線上，由可知，，因為為中點，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)16、②④【解析】①結(jié)合得到P在線段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內(nèi)一點，①，當時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉(zhuǎn)化等思路進行解決.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）可根據(jù)已知的與的遞推關(guān)系，利用求解出數(shù)列的首項，然后當時，遞推做差，利用消掉，即可得到與之間的關(guān)系，從而完成證明；（2）利用第（1）問求解出的數(shù)列的通項公式，帶入到中，再使用錯位相減法進行求和，根據(jù)最后計算的結(jié)果與比較即可完成證明.【小問1詳解】由題意得，當時，，∴，當時，，∴，∵，∴，于是有，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.得證.【小問2詳解】由（1）可知，∴，，①，②，②?①得：，∴，∵，故，∴得證.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.19、（1）；；（2）.【解析】（1）由題可得，進而可得，然后可得，即得；（2）由題可求，，再利用點斜式即得.【小問1詳解】∵，∴，，∴，，∴.【小問2詳解】∵，，∴，，∴在點處的切線方程為，即.20、（1），（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列求得，可得.利用求得；（2）利用錯位相減求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列有：，解得：，所以，數(shù)列，當即，，解得：，當時，有，所以，得：.又，所以數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】，，，得，，化簡得：.21、（1）（2）【解析】（1）由求得的值.（2）由分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，因為函