第七章

微分方程在經(jīng)濟學等很多領(lǐng)域中，常常需要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系。很多時候必須建立包含這些函數(shù)本身以及這些函數(shù)的導數(shù)或微分的方程，才能確定這些函數(shù)關(guān)系，這樣的方程就是微分方程。微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導數(shù)有關(guān)的問題。本章主要介紹微分方程的基本概念，學習一階微分方程的解法，以及微分方程在經(jīng)濟方面的應(yīng)用。7.1微分方程的基本概念7.2一階微分方程7.3微分方程的經(jīng)濟應(yīng)用微分方程的基本概念例7-1某曲線過點(1,2)，且該曲線上任意一點M(x,y)處的切線的斜率為3x2，求該曲線的方程。解設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，該未知函數(shù)滿足關(guān)系式：且滿足條件：

下面我們通過兩個例子來說明微分方程的一些基本概念。方程兩端積分，得將條件代入上式解得C

=1，從而所求曲線方程為：定義含自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。如果在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)是一元函數(shù)（即只含一個自變量），則稱這個方程為常微分方程，也可以簡單地叫做微分方程；如果在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱之為偏微分方程。

上述例子都是常微分方程。本章也只討論常微分方程。微分方程的實質(zhì)：聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）之間的關(guān)系式。如：定義

出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導數(shù)（或微分）的階數(shù)，稱為微分方程的階。二階微分方程一階微分方程三階微分方程一階微分方程的表達通式為n階微分方程的表達通式為或或定義若微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及其導數(shù)的次數(shù)均為一次，則稱之為線性微分方程；否則，稱之為非線性微分方程。定義代入微分方程后，能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解。二階線性微分方程一階線性微分方程三階線性微分方程二階非線性微分方程一階非線性微分方程例7-2驗證：函數(shù)是微分方程的解。將上面兩個表達式代入微分方程，得解求函數(shù)的導數(shù)，得方程成為恒等式，因此函數(shù)是微分方程的解。定義

要得到微分方程的特解，需要給定一些條件，用來確定通解中的任意常數(shù)，這些條件統(tǒng)稱為微分方程的定解條件。微分方程與定解條件一起稱為微分方程的定解問題。定義一類重要的定解條件是給定微分方程中的未知函數(shù)及其各階導數(shù)在某一點處的取值，這種定解條件稱為微分方程的初始條件。帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題。定義

微分方程的特解的圖像是一條曲線，稱為微分方程的積分曲線。一階微分方程初值問題的幾何意義，就是求微分方程的通過點的那條積分曲線。一階微分方程的初值問題為一階微分方程一階微分方程也可以寫成如下的形式：或（其中）本節(jié)討論兩種特殊的一階微分方程的解法。定義

形式為的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程，其中f(x)、g(x)都是連續(xù)函數(shù)?？煞蛛x變量的微分方程的求解過程如下：首先，分離變量，得這種形式稱之為已分離變量的微分方程。然后，兩端積分，得的通解為設(shè)是的一個原函數(shù)，是的一個原函數(shù)，則微分方程這就是微分方程的隱式通解。例7-3求微分方程

的通解。兩端積分則微分方程的通解為解此方程是可分離變量的，分離變量得

得從而例7-4求微分方程滿足的特解。兩端積分得解方程分離變量得

令C=2C1，則原方程的通解為將初始條件x=3時y=4代入上式得C=25，所以原方程的特解為例7-5在商品的銷售預測中，銷售量x是時間t的函數(shù)，即x

=x(t)。如果商品銷售的增長速度與銷售量x和銷售接近飽和程度α–x之積成正比，求銷售函數(shù)即x

=x(t)。解

商品銷售的增長速度即銷售量對時間的變化率，由題意分離變量得兩端積分（其中k

是比例常數(shù)）令，則銷售函數(shù)為得整理得，即例7-6已知某種商品的價格

p

對時間

t的變化率與需求和供給之差成正比，設(shè)需求函數(shù)為

，供給函數(shù)為

，當

t

=0時p

=2

。試求價格關(guān)于時間的函數(shù)

p(t)。解由題意列出方程分離變量得兩端積分得整理得因此，價格關(guān)于時間的函數(shù)為又由，所以C=1

定義

形式為如的微分方程稱為一階線性微分方程。當Q(x)=0時上式稱為齊次的；當Q(x)≠0時上式稱為非齊次的。對應(yīng)的齊次微分方程非齊次微分方程對應(yīng)齊次方程通解一階線性非齊次微分方程的通解為非齊次方程特解一階非齊次線性微分方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。例7-7求微分方程的通解。解這是一個一階非齊次線性微分方程，將方程兩邊同除以x

得此時

，

，代入上面公式得原方程的通解為即解此時

，

，代入求解公式得原方程的通解為例7-8求微分方程的通解。即例7-9若凈利潤

L

是廣告費用

x

的函數(shù)，并且它們之間的關(guān)系滿足方程其中α、k

為常數(shù)；設(shè)初始條件

L(0)=L0，求

L(x)。解由題意可知，這是一個微分方程的初值問題，即上述方程是一個一階線性微分方程，由通解公式得把

L(0)=L0，代入上式，得故凈利潤L

與廣告費用

x

的函數(shù)關(guān)系為，即微分方程的經(jīng)濟應(yīng)用實際問題的應(yīng)用中，首先要構(gòu)建微分方程，其次才能求解。構(gòu)建微分方程不僅僅是數(shù)學方面的事情，還涉及其它學科的相關(guān)知識。這里舉幾個比較簡單的例子，便于認識求解微分方程在實際中的重要性，并熟悉一下運用微分方程解決實際問題的基本方法與步驟。英國人口學家馬爾薩斯在《人口原理》一書提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型。例7-10（馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）模型）模型的基本假設(shè)是：在人口自然增長過程中，凈相對增長率（出生率與死亡率之差）是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)為

γ

。在此假設(shè)下，求人口隨著時間變化的規(guī)律。解設(shè)時刻

t

時人口為

N(t)，把

N(t)視為連續(xù)、可導函數(shù)（人口總數(shù)很大，可近似這樣處理），據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在

t

到

t+?t時間內(nèi)，人口的增長量為又因為初始條件

N(t0)=N0，也就是在時間

t0時的人口為N0，解得于是可得N(t+?t)

–N(t)=γN(t)?t這表明在人口自然增長率為常數(shù)的假設(shè)下，人口總是按指數(shù)規(guī)律增長的。根據(jù)這種模型，人口增長的速度非?？?，與人口普查的結(jié)果不吻合，即假設(shè)不合理，需要對假設(shè)進行修正。盡管馬爾薩斯人口模型假設(shè)不合理，但是在此基礎(chǔ)上，通過實驗與調(diào)查，又提出了新假設(shè)。例7-11（人口阻滯增長模型）1837年，荷蘭生物學家富爾哈斯特（Verhulst）提出了此模型。人口自然增長率

γ

滿足

γ=a–bN，其中正常數(shù)

a

與b稱為生命系數(shù)。一些生態(tài)學家測得

a=0.029，而

b的值依賴于不同國家、不同時期的社會經(jīng)濟條件。在這種假設(shè)下，求人口隨著時間變化的規(guī)律。解

對

γ

的新假設(shè)得微分方程分離變量，得方程兩邊積分，得把初始條件

代入，得人口問題非常復雜，上述假設(shè)和模型不一定符合各國國情。迄今為止，人口學家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計，根據(jù)各種社會因素和自然因素，提出了許多更為復雜和全面的人口問題模型，用以人口問題分析、研究、預測，作為制定有關(guān)政策的依據(jù)。邏輯斯蒂方程是一種在許多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學模型，下面借助商品銷售預測過程來說明該模型的建立過程。解根據(jù)題意，建立微分方程，在時刻t

的銷售量為

h=h(t)，則有

例7-12在商品銷售預測中，時刻