福建省福州六校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．53．若直線(xiàn)平行于直線(xiàn)，且垂直于直線(xiàn)，則（

）A． B． C． D．4．已知滿(mǎn)足.若為增函數(shù)，，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：①定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有；②對(duì)于定義域內(nèi)任意，，當(dāng)時(shí)，恒有；若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，，，D為棱AB的中點(diǎn)，直三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則四面體體積為（

）A．3 B．6 C．9 D．187．若實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy上，有一系列點(diǎn)，，…，，每一個(gè)點(diǎn)均位于拋物線(xiàn)的圖象上.點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的都與x軸相切，且與外切.若，且，，的前n項(xiàng)之和為，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．是等差數(shù)列 C． D．二、多選題9．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則；B．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)；C．對(duì)任意，恒成立；D．是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸.10．已知點(diǎn)和，直線(xiàn)AM，BM相交于點(diǎn)M，則（

）A．若直線(xiàn)AM，BM的斜率之積是2，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)）B．若直線(xiàn)AM，BM的斜率之商是2，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓（除A，B兩點(diǎn)）C．若直線(xiàn)AM，BM的斜率之和是2，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)）D．若直線(xiàn)AM，BM的斜率之差是2，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)）11．設(shè)函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；B．當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；C．至少有一個(gè)零點(diǎn)；D．存在實(shí)數(shù)a使得是函數(shù)圖象的切線(xiàn).三、填空題12．已知向量，向量滿(mǎn)足，則的最大值是.13．如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，A、B在該橢圓上，四邊形是等腰梯形，且，，則C的離心率為.14．函數(shù)，若，則有個(gè)零點(diǎn)，若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.四、解答題15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足：，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，.(1)求a；(2)若命題“，，使得”為真命題，求角A的最小值，并求此時(shí)三角形ABC的面積.17．如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，，過(guò)的中點(diǎn)作截面交底面圓于弦，.(1)求證：無(wú)論如何移動(dòng)，都不可能與垂直.(2)當(dāng)截面與圓錐底面垂直時(shí).（i）求平面與平面夾角的余弦值；（ii）由課本圓錐曲線(xiàn)閱讀材料內(nèi)容知，截面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一部分，請(qǐng)直接寫(xiě)出該雙曲線(xiàn)的離心率的值（不用寫(xiě)推理計(jì)算過(guò)程）.18．已知且，，用表示非空集合Q中元素個(gè)數(shù)，若.(1)求的值；(2)記以上（1）中的最小值為，最大值為.（i）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中m、k、p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的m、k、p；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）已知橢圓C：，又，，過(guò)右焦點(diǎn)F分別作橢圓的動(dòng)弦AB，CD，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)AB，CD的斜率為，，若，求證：直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T，并求出定點(diǎn)T的坐標(biāo).19．已知函數(shù)（，且）.(1)當(dāng)時(shí)（i）證明：曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，并指出對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo).（ii）設(shè)函數(shù)，求證：.(2)當(dāng)時(shí)，記；，設(shè)，是否存在正整數(shù)n對(duì)，以、、的值為邊長(zhǎng)能構(gòu)成三角形，若存在求正整數(shù)n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．B【詳解】由或，則，又因?yàn)?，所以，故選：B.2．C【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，則，即，所以.故選：C.3．D【詳解】依題意可設(shè)，又垂直于直線(xiàn)，則，解得，故選：D.4．D【詳解】因?yàn)?，可得，?lián)立方程，消去可得，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以a的取值范圍是.故選：D.5．A【詳解】由定義域內(nèi)任意，，當(dāng)時(shí)，，知：函數(shù)是上的增函數(shù).由題設(shè)：，可得，根據(jù)，則，則，故，∵函數(shù)是上的增函數(shù)，有，化簡(jiǎn)得，整理得，即，∵，∴，則的取值范圍是．故選：A6．B【詳解】因?yàn)?，，，則，可得，將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示：可知三棱柱的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則球的半徑，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，則，解得，所以四面體體積.故選：B.7．B【詳解】令，可得，分別作出的圖象，如圖所示：可知分別為直線(xiàn)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)，由圖可知：；當(dāng)時(shí)，由圖可知：；當(dāng)，由圖可知：，，，，，均有可能；結(jié)合選項(xiàng)可知不可能.故選：B.8．D【詳解】由題意可知：焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的半徑為，則，解得，故A正確；因?yàn)榕c外切，則，整理可得，且，可得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，故B正確；則，即，則，可得，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：D.9．ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則，，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；又因?yàn)?，則，可得，所以對(duì)任意，恒成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)闉樽畲笾?，所以是函?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故D正確；故選：ACD.10．ACD【詳解】設(shè)，則，.對(duì)于選項(xiàng)A：若直線(xiàn)AM，BM的斜率之積是2，則，整理可得，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)），故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若直線(xiàn)AM，BM的斜率之商是2，則，整理可得，可得點(diǎn)M的軌跡是直線(xiàn)（與x軸交點(diǎn)除外），故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若直線(xiàn)AM，BM的斜率之和是2，則，整理可得，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)），其漸近線(xiàn)為軸和直線(xiàn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若直線(xiàn)AM，BM的斜率之差是2，則，整理可得，所以點(diǎn)M的軌跡是拋物線(xiàn)（除A，B兩點(diǎn)），故D正確；故選：ACD.11．BCD【詳解】令，等價(jià)于，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造，令，解得，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即，可知函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，即是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，又因?yàn)椋瑒t，可得，且，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于2時(shí)，趨近于；又因?yàn)楹瘮?shù)是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，如圖所示：由圖象可知：與一定有交點(diǎn)，所以至少有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取，則，，可得，，可知函數(shù)在的切線(xiàn)方程為，所以存在實(shí)數(shù)a使得是函數(shù)圖象的切線(xiàn)，故D正確；故選：BCD.12．6【詳解】因?yàn)橄蛄?，則，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是6.故答案為：6.13．【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，即，且四邊形是等腰梯形，，則，可得，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，即，所以橢圓C的離心率.故答案為：.14．3.【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得或；當(dāng)時(shí)，，解得，故此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3；第二空：顯然，至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；①若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)；②若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，符合要求；③當(dāng)時(shí)，，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，而至少有4個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)至少有5個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：3；.15．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，，兩式相減得，即，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，且符合上式，所以.16．(1)3(2)；【詳解】（1）因?yàn)?，則角為銳角，且，由正弦定理可得，即，所以.（2）由題意可知：，解得，若，可得，可得，若命題“，，使得”為真命題，則，解得，所以角A的最小值為，此時(shí)，，所以三角形ABC的面積.17．(1)證明見(jiàn)詳解(2)（i）；（ii）【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，在底面內(nèi)過(guò)垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，，可得，所以無(wú)論如何移動(dòng)，都不可能與垂直.（2）（i）當(dāng)截面與圓錐底面垂直時(shí)，過(guò)作底面的垂線(xiàn)，垂足為，則，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，可得，則，設(shè)平面ASP的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面BSP的法向量為，則，令，則，可得，則，所以平面ASP與平面BSP夾角的余弦值為；（ii）因?yàn)?，在平面直角坐?biāo)系中，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，解得，則，所以雙曲線(xiàn)的離心率.18．(1)或3(2)（i）不存在，理由見(jiàn)詳解；（ii）證明見(jiàn)詳解；【詳解】（1）因?yàn)榍?，可知方程?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為或，若，則方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，顯然0不為方程的根，若為方程的根，則，解得，此時(shí)方程的實(shí)根為，符合題意；若方程只有一個(gè)實(shí)根，則，解得，此時(shí)方程的實(shí)根為，符合題意；綜上所述：的值為或3.（2）由（1）可知：，，（i）因?yàn)?，在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，可得，假設(shè)存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列成等比數(shù)列，可得，即，由，可得，則，則，為方程的兩根，可得，這與、、互異矛盾，所以不存在不同的三項(xiàng)、、成等比數(shù)列；（ii）因?yàn)?，，即，則，可得橢圓C：，，先證橢圓的弦的斜率（存在的情況下）為，為弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)弦的端點(diǎn)為，，則，由，兩式相減得，則，所以弦的斜率（存在的情況下）為.設(shè)，，則，，根據(jù)，有，則，兩式相減得，對(duì)比直線(xiàn)方程，即，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．19．(1)（i）證明見(jiàn)詳解；對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為；（ii）證明見(jiàn)詳解(2)存在，正整數(shù)的值為4，5，6【詳解】（1）若，則，（i）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，即，整理可得，則，解得，即恒成立，所以曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為；（ⅱ）因?yàn)?，則，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；且；可知在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，又因?yàn)?，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但這是不成立的，所以.（2）當(dāng)時(shí)，則，，存在正整數(shù)的值為4，5，6時(shí)，滿(mǎn)足、、的值