備戰(zhàn)2024年高考《解讀?突破?強(qiáng)化》一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及分布列第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【考試要求】1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.能解決簡單的實(shí)際問題.一、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事；（2）各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只是各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事；（2）各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏，但有時(shí)可以調(diào)換各步的順序.三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立,不重不漏步步相依,缺一不可分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在,應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的,只有各個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個(gè)條件:一是步驟互相獨(dú)立,互不干擾;二是步與步確保連續(xù),逐步完成.1.下列說法錯(cuò)誤的是（）A在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同B在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．C在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．D在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的【答案】A2、現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是()A.65 B.56 C.30 D.11【答案】B【解析】每一位同學(xué)有5種不同的選擇，則6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是56.3．將3張不同的奧運(yùn)會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120【答案】B【解析】分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法．共有10×9×8＝720種分法．故選B.4、已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．12 B．8C．6 D．4【答案】C【解析】第一象限內(nèi)不同的點(diǎn)有2×2＝4個(gè)，第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)有1×2＝2個(gè)，故共有4＋2＝6個(gè)．故選C.5．某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有________種．【答案】243【解析】每封郵件有3種不同的發(fā)送方式，故共有3×3×3×3×3＝243種不同的方法．考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理例1．（2020年新課標(biāo)Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出．【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：．∴；；；；．原位小三和弦滿足：．∴；；；；．故個(gè)數(shù)之和為10．使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．【對點(diǎn)演練1】(2023·太原模擬)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有()A．3種B．6種C．7種D．8種答案C解析由題意得，三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓．一共可以組成的幣值有3＋3＋1＝7(種)．【對點(diǎn)演練2】設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個(gè)“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個(gè)．答案9解析對子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{1,2}時(shí)，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,3}時(shí)，B可以為{1,2,4}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,4}時(shí)，B可以為{1,2,3}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A是四元集{1,2,3,4}時(shí)，B取{1,2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個(gè)．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法(六名同學(xué)不一定都能參加)?(1)每人只參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.【解析】(1)每人都可以從三個(gè)競賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有36＝729(種).(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種).(3)每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六名同學(xué)中選出一人參賽，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有63＝216(種).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．【對點(diǎn)演練1】（2023秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．故選：C【對點(diǎn)演練2】(多選)(2022·武漢模擬)現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種答案ABD解析對于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個(gè)學(xué)生有4種選法，則三個(gè)學(xué)生有4×4×4＝43(種)選法，故A正確；對于B，三人到4個(gè)工廠，有43＝64(種)情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33＝27(種)，則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64－27＝37(種)，故B正確；對于C，若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42＝16(種)安排方法，故C錯(cuò)誤；對于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有4×3×2＝24(種)安排方法，故D正確．考點(diǎn)三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用考向1與數(shù)字有關(guān)的問題例3如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920【答案】A【解析】若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個(gè)．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6(個(gè))．若a2＝4，滿足條件的凸數(shù)有3×4＝12(個(gè))，…，若a2＝9，滿足條件的凸數(shù)有8×9＝72(個(gè))．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．故選A.【對點(diǎn)演練1】用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279【答案】B【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.故選B.【對點(diǎn)演練2】從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52【答案】【解析】在8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字共可產(chǎn)生8×7＝56個(gè)對數(shù)值，在這56個(gè)對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52個(gè)．故選D.【對點(diǎn)演練3】如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)(用數(shù)字作答).【答案】12【解析】組成的數(shù)字有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4，4種情況.當(dāng)有三個(gè)1時(shí)：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9個(gè)；當(dāng)有三個(gè)2，三個(gè)3或三個(gè)4時(shí)：2221，3331，4441，有3個(gè)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12個(gè)結(jié)果.【對點(diǎn)演練4】滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為________.【答案】13【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.考向2與立體幾何有關(guān)的計(jì)數(shù)問題例4如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24【答案】B【解析】長方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48.故選B.【對點(diǎn)演練1】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36【答案】D【解析】分類討論：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24個(gè)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個(gè)對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36個(gè)．故選D.【對點(diǎn)演練2】（全國高考真題）從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種【答案】C【分析】正方體共有條棱，每條棱對應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，再考慮重復(fù)情況得到答案.【詳解】正方體共有條棱，每條棱對應(yīng)兩個(gè)相鄰面，與這兩個(gè)面不都相鄰的面有個(gè)共有組，每組中包含兩條棱，故有故選：考向3涂色（種植）問題例5（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【分析】根據(jù)四個(gè)區(qū)域所種植鮮花的種類進(jìn)行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后相加即可求解.【詳解】由題意可知：四個(gè)區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：當(dāng)種植的鮮花為兩種時(shí)：和相同，和相同，共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為三種時(shí)：和相同或和相同，此時(shí)共有種種植方法；當(dāng)種植鮮花為四種時(shí)：四個(gè)區(qū)域各種一種，此時(shí)共有種種植方法，綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為種.【對點(diǎn)演練1】如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840【答案】C【解析】依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最后涂b有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(種)，若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e，b也各有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(種)，所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(種)．【對點(diǎn)演練2】如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個(gè)區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360【答案】C【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有種選法，先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有種涂法；若利用4種不同的顏色涂色，首先選出4種顏色有種選法，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行涂色：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法；綜上可得一共有種涂法；【對點(diǎn)演練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，..，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）

A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【答案】C【分析】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，先涂區(qū)域1，再涂區(qū)域2，再分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同、區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同，最后根據(jù)分步乘法原理即可求解.【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色.先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇.當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有6種選擇.故不同的涂色方案有種.故選：C【對點(diǎn)演練4】用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()A．12 B．24C．30 D．36【答案】C【解析】按順序涂色，第一個(gè)圓有3種選擇，第二個(gè)圓有2種選擇，若前三個(gè)圓用了3種顏色，則第三個(gè)圓有1種選擇，后三個(gè)圓也用了3種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(種)；若前三個(gè)圓用了2種顏色，則后三個(gè)圓也用了2種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是24＋6＝30.故選C.【對點(diǎn)演練5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).【解析】法一按所用顏色種數(shù)分類.第一類：5種顏色全用，共有Aeq\o\al(5,5)種不同的方法；第二類：只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C，或B與D)，共有2×Aeq\o\al(4,5)種不同的方法；第三類：只用3種顏色，則A與C，B與D必定同色，共有Aeq\o\al(3,5)種不同的方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＋2×Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種).法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進(jìn)行分類：當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).考向4數(shù)表問題例6（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，要求“只有中間一列兩個(gè)數(shù)字之和為5”，則中間的數(shù)字只能為兩組數(shù)1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有種排法；第三步，排數(shù)字5和6，共有種排法；由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為.【對點(diǎn)演練1】（2023秋·四川成都·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【分析】按要求填空格，完成這件事共4個(gè)步驟，利用分步計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。谝徊?，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為.故選：C.考向5實(shí)際生活問題例7(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為________．【答案】80【解析】5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)用車方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)用車方案，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)用車方案，共計(jì)12＋8＝20(種)用車方案．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.【對點(diǎn)演練1】中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．360種 B．50種C．60種 D．90種答案B解析第一類：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)；第二類：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．【對點(diǎn)演練2】現(xiàn)有天平及重量為1，2，4的砝碼各一個(gè)，每一步，我們選取任意一個(gè)砝碼，將其放入天平的左邊或者右邊，直至所有砝碼全部放到天平兩邊，但在放的過程中發(fā)現(xiàn)天平的指針不會偏向分度盤的右邊，則這樣的放法共有（

）種.A．15 B．13 C．11 D．10【答案】A【分析】根據(jù)每次放的砝碼重量分類討論，結(jié)合兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】根據(jù)每次放的砝碼重量分類討論，結(jié)合兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理求解，有以下三種情況：①第一步先放4，則4只能在左邊，接下來重量為1，2的砝碼順序隨意有2種，左右邊隨意有種，則共有種放法；②第一步先放2，2只能在左邊，若第二步放4，則4只能在左邊，第三步砝碼1左右邊隨意放，有種放法，若第二步放1，則砝碼1左右兩邊隨意放，有種放法，第三步砝碼4只能在左邊，有1種放法，則共有4種放法；③第一步先放1，則1只能在左邊，若第二步放4，則4只能在左邊，第三步砝碼2左右邊隨意放，共有種；若第二步放2，2只能在左邊，第三步砝碼4只能在左邊，共有1種；則共有3種放法，綜上，有種放法．故選：A．一、單選題1.（2023春·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【分析】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，然后利用分步乘法原理求解即可【詳解】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有種，故選：C2、從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6【答案】【解析】分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，有3×2×2＝12(個(gè))奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個(gè)位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，有3×2×1＝6(個(gè))奇數(shù)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個(gè))奇數(shù)．故選B.3.（2023春·全國·高二專題練習(xí)）現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．9【答案】A【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學(xué)選擇講座，后由分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學(xué)完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學(xué)完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學(xué)完成選擇，有4種方法.則由分步計(jì)數(shù)原理可知，不同選法的種數(shù)位為：.故選：A4、(2023·濟(jì)寧模擬)某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有()A．4種B．6種C．8種D．12種【答案】B【解析】根據(jù)題意得，分兩步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有3×2＝6(種)．4、用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．180B．240C．420D.480【答案】C【解析】以末位數(shù)字進(jìn)行分類：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，共有6×5×4＝120(個(gè))；當(dāng)末位數(shù)字是2,4,6中的某個(gè)數(shù)時(shí)，共有3×5×5×4＝300(個(gè))，故共有120＋300＝420(個(gè))不同的數(shù)字．5.(2022·濟(jì)南模擬)如圖所示的幾何體由三棱錐P－ABC與三棱柱ABC－A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有()A.6種 B.9種 C.12種 D.36種【答案】C【解析】先涂三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有2種情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3×2×1×2＝12種不同的涂法.6.（2023·全國·模擬預(yù)測）某醫(yī)院安排王醫(yī)生、李醫(yī)生、趙醫(yī)生、張醫(yī)生、孫醫(yī)生5人到三個(gè)社區(qū)開展主題為“提高免疫力，預(yù)防傳染病”的知識宣傳活動(dòng)，要求每人只能參加一個(gè)社區(qū)的活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)必須有人宣傳，若李醫(yī)生、張醫(yī)生不安排在同一個(gè)社區(qū)，孫醫(yī)生不單獨(dú)安排在一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．54種 B．66種 C．90種 D．112種【答案】C【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理分為兩類，一個(gè)社區(qū)3人，剩下兩個(gè)社區(qū)各1人和一個(gè)社區(qū)1人，剩下兩個(gè)社區(qū)各2人，再按照分步乘法計(jì)數(shù)原理分別分析計(jì)算即可．【詳解】由題意知可分為兩類：第一類：一個(gè)社區(qū)3人，剩下兩個(gè)社區(qū)各1人，當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生2人都單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；第二類：一個(gè)社區(qū)1人，剩下兩個(gè)社區(qū)各2人，當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生都不單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；綜上可知，共有（種），故選：C．7．（2023廣東汕頭·統(tǒng)考一模）若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．120 B．80 C．20 D．40【答案】D【分析】討論十位數(shù)字分別3,4,5,6，結(jié)合排列數(shù)求“傘數(shù)”的個(gè)數(shù)即可.【詳解】十位數(shù)字為3時(shí)，有個(gè)“傘數(shù)”；十位數(shù)字為4時(shí)，有個(gè)“傘數(shù)”；十位數(shù)字為5時(shí)，有個(gè)“傘數(shù)”；十位數(shù)字為6時(shí)，有個(gè)“傘數(shù)”；故共有個(gè)“傘數(shù)”.故選：D8．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【分析】根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字，結(jié)合計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算：當(dāng)首位數(shù)字為7，則剩余三位數(shù)分別為0，0，0，共有1個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為6，則剩余三位數(shù)分別為1，0，0，共有3個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為5，則剩余三位數(shù)分別為1，1，0或2，0，0，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為4，則剩余三位數(shù)分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為3，則剩余三位數(shù)分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為2，則剩余三位數(shù)分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為1，則剩余三位數(shù)分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；所以共有個(gè)好運(yùn)數(shù)，故選：C多選題9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（

）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【答案】AD【分析】將個(gè)數(shù)字選個(gè)排列即可判斷A，確定個(gè)位，即可計(jì)算出奇數(shù)，從而判斷B、D，計(jì)算“凸數(shù)”時(shí)對十位分三種情況討論，即可判斷D.【詳解】依題意，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；個(gè)位為，或時(shí)，三位數(shù)是奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；則偶數(shù)有（個(gè)），故C錯(cuò)誤；將這些“凸數(shù)”分為三類：①十位為，則有（種），②十位為，則有（種），③十位為，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為，故D正確．10.現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種【答案】AD【解析】對于A,4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負(fù)責(zé)人的選法共有34種，A對；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯(cuò)；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人