高三下學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：29，31，，39，42，58．若第60百分位數(shù)與平均數(shù)相等，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為A．35 B．36 C．37 D．39【分析】根據(jù)題意，由第60百分位數(shù)與平均數(shù)相等，求出的值，再由中位數(shù)的定義求解．【解答】解：根據(jù)題意，因為有6個數(shù)據(jù)，，所以第60百分位數(shù)為39．所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為39，，求得，所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．故選：．【點評】本題考查數(shù)據(jù)百分位數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的計算，注意求出的值，屬于基礎(chǔ)題．2．若拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為23，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】求得拋物線的準線方程，利用拋物線的定義，可得點P到拋物線的焦點F的距離．【解答】解：拋物線y2＝4x的準線方程為x＝﹣1∵拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為23，則P（3，±2∴P到拋物線的準線的距離為：4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4．故選：A．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．已知等差數(shù)列的前項和為．若，，則A．21 B．48 C．75 D．83【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：因為等差數(shù)列中，，，所以，所以，則．故選：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．長時間玩手機可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約20%的人近視，而該校大約有10%的學(xué)生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為60%，現(xiàn)從每天玩手機不超過1小時的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答．【解答】解：令A(yù)1＝“玩手機時間超過1h的學(xué)生”，A2＝“玩手機時間不超過1h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，此人近視”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P（A1）＝0.1，P（A2）＝0.9，P（B|A1）＝0.6，P（B）＝0.2，依題意，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.1×0.6+0.9×P（B|A2）＝0.3，解得，所以所求近視的概率為．故選：C．【點評】本題考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【分析】令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，故．故選：．【點評】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題．6．已知函數(shù)，則A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞增 C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞增【分析】根據(jù)題意整理可得，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性逐項分析判斷．【解答】解：因為，對于選項：因為，則，且在內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)不單調(diào)，故錯誤；對于選項：因為，則，且在內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)不單調(diào)，故錯誤；對于選項：因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故正確；對于選項：因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了三角恒等變換、余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．7．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點E為正方形ABB1A1的中心，點F為棱CC1的中點，則異面直線BF與CE所成角的正切值為（）A． B． C． D．2【分析】根據(jù)給定條件，取A1B1的中點G，結(jié)合平行公理，利用異面直線所成角的定義，借助等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取A1B1中點G，連接FG，EG，BG，由點E為正方形ABB1A1的中心，得EG∥BB1，，而BB1∥CC1，BB1＝CC1，于是EG∥CC1，，由F為棱CC1的中點，得EG∥CF，EG＝CF，則四邊形CFGE是平行四邊形，有FG∥CE，即∠BFG或其補角就是異面直線BF與CE所成的角，顯然正三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱長都相等，令棱長為2，則，，，等腰△BFG底邊FG上的高，，所以異面直線BF與CE所成角的正切值為2．故選：D．【點評】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．8．已知，分別為橢圓的左、右焦點，點為線段的中點為坐標原點），點在橢圓上且滿足軸，點到直線的距離為，則橢圓的離心率為A．或 B． C．或 D．【分析】根據(jù)已知條件得到△△，再結(jié)合橢圓的定義即可求解結(jié)論．【解答】解：，分別為橢圓的左、右焦點，點為線段的中點為坐標原點），點在橢圓上且滿足軸，可得，點到直線的距離為，△△，，可得：，可得，結(jié)合，整理可得：，或，或，或．故選：．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)以及三角形相似的性質(zhì)，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列結(jié)論正確的有（）A．z12=z1C．|z1z2|＝|z1|?|z2| D．|z1+z2|＝|z1|+|z2|【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，特殊值法，即可求解．【解答】解：對于A，取z1＝1+i，則z12=2i，z12=（1﹣i）2＝﹣2對于B，設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），則z1?z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，z1?z2=（ac﹣bd）﹣（adz1?z2=（a﹣bi）（c﹣di）＝（ac﹣bd）﹣（bc+ad）i對于C，結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故C正確；對于D，取z1＝1+iz2＝1﹣i，則|z1+z2|＝2，|z1|+|故選：BC．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．10.關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論錯誤的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）在區(qū)間(π2C．f（x）在[﹣π，π]有4個零點 D．f（x）的最大值為2【分析】利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性最值、零點的概念一一求解．【解答】解：因為f（x）＝sin|x|+|sinx|的定義域為R，又f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故A正確．當π2＜x＜π時，f（x）＝2sinx當0≤x≤π時，f（x）＝2sinx，它有兩個零點：0，π；當﹣π≤x＜0時，f（x）＝sin（﹣x）﹣sinx＝﹣2sinx，它有一個零點：﹣π，故f（x）在[﹣π，π]有3個零點：﹣π，0，π，故C錯誤．當x∈[2kπ，2kπ+π]（k∈N*）時，f（x）＝2sinx；當x∈[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈N*）時，f（x）＝sinx﹣sinx＝0，又f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）的最大值為2，故D正確．故選：BC．【點評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．11.已知函數(shù)，的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有A．（2） B．（4） C． D．【分析】根據(jù)題意，分析可得為奇函數(shù)，由此分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；由此分析選項是否正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若為偶函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，又由，變形可得，則有，又由，必有，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；依次分析選項：對于，，變形可得，又由，兩式相加可得，即的圖象關(guān)于點對稱，必有（2），正確；對于，在，令可得：，又由函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則（4），在，令可得：（4），兩式相加可得：（4），正確；對于，由的結(jié)論，的圖象關(guān)于點對稱且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則的圖象關(guān)于點對稱，必有，正確；對于，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則也是周期為4的周期函數(shù)，故（1），不一定有，錯誤；故選：．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于難題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，，中的最大元素為2，則實數(shù)1．【分析】依題意可得，解得，再檢驗即可．【解答】解：因為，所以，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗符合題意．故答案為：1．【點評】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．13．在正三棱錐P﹣ABC中，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°．若AB＝1，則三棱錐E﹣ABC的外接球的表面積為32π【分析】根據(jù)題意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積【解答】解：∵三棱錐P﹣ABC正棱錐，∴PB⊥AC（對棱互相垂直），∴EF⊥AC，又∵EF⊥CE，而CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，設(shè)這個正方體的棱長為x，外接球半徑為R，∵AB＝1，∴2x＝1，解得x=2∴2R=3x=62∴該三棱錐的外接球表面積：S＝4πR2＝4π?（64）2=3故答案為：32π【點評】本題考查三棱錐的外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意割補法的合理運用．14．已知A為圓C：x2+(y-1)2=14上的動點，B為圓E：(x-3)2+y2=14上的動點，P【分析】根據(jù)題意求出圓E關(guān)于直線y=12x對稱的圓E′，由平面幾何知識，可知直線CE′與直線y=12x的交點為點P時，該直線在兩圓上截得的弦長最大．由此作出示意圖形，得到（|PB|﹣|PA|）min【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+(y-1)2=14的圓心為C圓E：(x-3)2+y2=14設(shè)E關(guān)于直線y=12x的對稱點為E'（m，n），則nm-3?圓E關(guān)于直線y=12x對稱的圓E若B'為B關(guān)于直線y=12x的對稱點，則P、A、B'三點共線，且該直線過C、E'時，|PB|﹣|因此，|PB|﹣|PA|的最大值為|AB'【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在三棱錐中，平面，，，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出平面的法向量，計算即可．【解答】解：（1）證明：因為平面，且平面，所以，因為，，，所以，則，又因為，平面，平面，所以平面．（2）以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，2，，，，2，，，1，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明和直線與平面所成角，屬于中檔題．16．一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設(shè)它向右移動的概率為，向左移動的概率為．（1）已知螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；（2）記螞蟻4秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為，求的分布列與期望．【分析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則由題意可知事件包括2秒內(nèi)一直向可移動和一次向右移動與一次向左移動，事件為2秒內(nèi)一次向右移動與一次向左移動，然后利用獨立事件的概率公式求出（A），，再利用條件概率公式可求得結(jié)果；（2）由題意知可能的取值為，，0，2，4，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望．【解答】解：（1）記螞蟻2秒后所在位置對應(yīng)的實數(shù)為非負數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則，，故所求的概率為．（2）由題意知可能的取值為，，0，2，4，則，，，則的分布列為：024．【點評】本題考查條件概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是中檔題．17．已知雙曲線過點，離心率為，斜率為的直線交雙曲線于，兩點，且直線，的斜率之和為0．（1）求雙曲線的方程；（2）是否存在直線，使得是以為頂點的等腰三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及，，之間的關(guān)系，列出等式求出和的值，進而即可求解；（2）設(shè)出直線和，兩點的坐標，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及斜率之和為0求出的值，假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)出的中點坐標，再列出等式進行求解即可．【解答】解：（1）因為雙曲線過點，離心率為，所以，解得，，則雙曲線的方程為；（2）不妨設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，由韋達定理得，，因為直線，的斜率之和為0，所以，即，整理得，因為，，所以，整理得，因為直線不過點，所以，則，所以直線的方程為，，假設(shè)存在直線，使得是以為頂點的等腰三角形，不妨設(shè)的中點，，此時，，即，因為，所以，解得，當時，不滿足△．故不存在直線，使得是以為頂點的等腰三角形．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．已知函數(shù)，．（1）設(shè)是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，在上恒成立，【分析】（1）對求導(dǎo)，由題意可知（1），求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間；（2）把不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值處理，設(shè)，對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，即可得證．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，，由題設(shè)可知（1），即，可得，經(jīng)檢驗滿足已知條件，從而函數(shù)，，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：設(shè)，，則，當時