4.1.1引例控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-1所示，R(s)

Ks(s+2)4.1

根軌跡的基本概念圖4-1控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)閉環(huán)特征方程為s2+2s+K=0

(4-2)求解閉環(huán)特征方程，得系統(tǒng)特征方程的根(系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn))為s?=-1+√

1-K,s?=-1-√

1-K這表明，特征根是隨K值的改變而變化的。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(4

-1)K=0

時(shí)

，s?=0,s?=-2,

這時(shí)

系

統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)相同。將這兩個(gè)根用符號(hào)“×”

在s平面上標(biāo)注出來，如圖4-2所示。本書中，用符號(hào)“×”表示

K=0時(shí)特征方程的根，即開環(huán)極

點(diǎn)；用符號(hào)“”表示系統(tǒng)的開環(huán)

零

點(diǎn)

。圖4-2圖4-1所示系統(tǒng)的根軌跡圖4.1.2根軌跡方程用以上解析法繪制根軌跡，簡(jiǎn)單，容易理解。但對(duì)于階次

較高的系統(tǒng)，求解系統(tǒng)特征方程根的過程非常繁瑣，用解析法

繪制根軌跡不再適用?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-3所示R(s)

G(s)

C(s)H(s)圖4-3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖式(4-3)與第2章的式(240)一致，它還可以進(jìn)一步改寫為式(242)和式(243)兩種形式。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有如下形式：而如果將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：(4-4)式中，K*為根軌跡增益，z,和p分別是開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。K

與K*

的關(guān)系為(4-5)1+G(s)H(s)=

0

(4-7)則特征方程可以寫成如下形式：圖4-3系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為(4-6)(4-8)(4-9)k=0,±1,±2,

…

(4-

10)式(4-9)稱作幅值條件，式(4-10)稱作相角條件。滿足幅值條件和相角條件的s值就是特征方程的根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。稱式(4-8)為根軌跡方程，它是一復(fù)數(shù)方程，利用復(fù)數(shù)方程兩邊的幅值和相角相等的規(guī)則，可以得到幅值條件和相角條件：4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則例4-1某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，試?yán)L

制其根軌跡。該系統(tǒng)中存在1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z?=-5,3個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p?=0,p?=-1,p?=-2,

如圖4-

4所示。圖4-4-例4-1系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布規(guī)則1根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。由根軌跡的幅值條件可知(4-11)式中，n

為開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，m為開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。當(dāng)K*=0

時(shí)，有s=pi,i=1,2,…,n滿足幅值條件，說明根軌跡的起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)K*=∞

時(shí)，有s=z;,j=1,2,…,m滿足幅值條件，說明根軌跡的終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。(1)當(dāng)n=m時(shí)，根軌跡起點(diǎn)的個(gè)數(shù)與根軌跡終點(diǎn)的個(gè)數(shù)相

等。(2)當(dāng)n>m

時(shí)，根軌跡終點(diǎn)數(shù)少于起點(diǎn)數(shù)。由式(4-11)知，

當(dāng)

K*=∞

時(shí)，有說明有n-m

個(gè)終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。(4-12)(3)若研究的參變量不是系統(tǒng)的根軌跡增益

K*,

可能會(huì)有n<m

的情況，即根軌跡的起點(diǎn)數(shù)少于根軌跡的終點(diǎn)數(shù)。由

式(4-11)知，當(dāng)K*=0

時(shí)，有(4-13)說明有m-n

個(gè)根軌跡的極點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，若將這些極點(diǎn)看作無限極點(diǎn)，仍可認(rèn)為根軌跡的起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)與m

和n

中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。(1)由式(4-8),系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根的數(shù)目等于m和n

中的較大者，而根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目一樣。可見，根軌跡的分支數(shù)

與m和n

中的較大者相等。(4-14)(2)由幅值條件,參變量K*的無限小增量與s平面上的長(zhǎng)度

|s-p;|和|s-z;|的無限小增量相對(duì)應(yīng)，此時(shí)，復(fù)平面s

在

n

條根軌跡上就各有一個(gè)無

窮小的位移，因此，當(dāng)K*

從零到無窮連續(xù)變化時(shí)，根軌跡在s

平面上一定是連續(xù)的。(3)由于閉環(huán)特征方程是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式方程，特征根或?yàn)閷?shí)數(shù)位于實(shí)軸上，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上。因此，根軌跡是對(duì)稱于實(shí)軸的，在繪制根軌跡時(shí)，只要做出s

平

面上半部的軌跡，就可根據(jù)對(duì)稱性得到下半平面的根軌跡，對(duì)于例4-1,n=3,m=1,則

有3條根軌跡。規(guī)則3實(shí)軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分。圖4-5中，設(shè)5個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到s?

點(diǎn)的向量的相角分別為φ;(i=1,2,3,4,5),4個(gè)開環(huán)零點(diǎn)到s?

點(diǎn)的向量的相角分別為θ;(j=1,2,3,4)

。

選取實(shí)軸上

一

點(diǎn)s?,

若s?為根軌跡上的點(diǎn)，必滿足相角條件，有(4-15)圖4-5實(shí)軸上根軌跡相角示意下面分別分析開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)相角條件的影響，進(jìn)而分析對(duì)實(shí)軸上根軌跡的影響。(1)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p?和p?到點(diǎn)s?

的向量的相角和為

44+45=2π,共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)到s?點(diǎn)的向量的相角和也為2π。(2)實(shí)軸上，s?點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)p?和開環(huán)零點(diǎn)z?

到點(diǎn)s?所

構(gòu)成的向量的夾角φ?和θ?均為零度。(3)實(shí)軸上，so點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)極點(diǎn)p?

、P?和開環(huán)零點(diǎn)z

到點(diǎn)so所構(gòu)成的向量的夾角φ1、φ2和θ?均為π。對(duì)于例4-1,其在實(shí)軸上的根軌跡一條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于開環(huán)零點(diǎn)(根軌跡位于-2到-5之間),另兩條始于開環(huán)極點(diǎn)，止于

無窮遠(yuǎn)處(在實(shí)軸上，根軌跡位于-1到0之間),如圖4-6所示。圖4-6例4-1系統(tǒng)的實(shí)軸根軌跡規(guī)則4-當(dāng)有限開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n

大于有限零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，有n-m條根軌跡沿n-m條漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，這n-m條漸近線在實(shí)

軸上都交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式為(4-16)漸近線與實(shí)軸的夾角為,k=0,1,2,…,n-m-1

(4-17)對(duì)于例4-1,漸近線與實(shí)軸的夾角為如圖4-7虛線所示。交點(diǎn)坐標(biāo)為即(1,j0)圖4-7例4-1系統(tǒng)的漸近線規(guī)則5兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上某點(diǎn)相遇又立即分開，則稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)(也稱匯合點(diǎn)),分離點(diǎn)的坐

標(biāo)可由以下方程求得：式(4-19)中，1為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡分支數(shù)。分離角的計(jì)算公式為(4-18)(4-

19)例4-1中，解方程

得s3+9s2+15s+5=0s?=-0.447,s?=-1.61,s?=-6.94求出結(jié)果后，需經(jīng)判斷，如果根在實(shí)軸根軌跡上則保留，否則，舍去。顯然，后兩個(gè)根不在根軌跡上，因此分離點(diǎn)坐

標(biāo)為(一0.447,j0)。求出分離角為：

系統(tǒng)的根軌跡如圖

4

-

8所示。圖4-8例4-1系統(tǒng)的根軌跡規(guī)則6若根軌跡與虛軸相交，其交點(diǎn)處的w值和相應(yīng)的K*值可以用兩種方法求得：

一種方法是采用勞斯判據(jù)求得；另一種方法是將s=jw代入特征方程，并令其實(shí)部和虛部分別等于0求得。(1)若根軌跡與虛軸相交，則說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。令勞斯表中含有K*

項(xiàng)的某奇數(shù)行為全零行，求出K*

值。

如果根軌跡與正虛軸有一個(gè)交點(diǎn)，說明特征方程有一對(duì)純虛根，可利用勞斯表中s?項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，解此方程便可求得交點(diǎn)處的w

值。若根軌跡與正虛軸有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則說明特征方程有兩對(duì)或兩對(duì)以上的純虛根，可由勞斯

表中冪大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，求得根軌跡與

虛軸的交點(diǎn)。(2)將

s=jw

帶入特征方程1+G(jw)H(jw)=0,令特征方程的實(shí)部和虛部分別為

零，有Re[1+G(jw)H(jw)]=0Im[1+G(jw)H(jw)]=0聯(lián)立解上面二方程，即可求出根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K*

值和w

值。對(duì)于例4

-

1,由

得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式s(s+1)(s+2)+K*(s+5)=0,即

s3+3s2+2s+K*(s+5)=0,則其勞斯表為s3

1

2+K*s2

3

5K*s1

0s?

5K*當(dāng)

6

-

2K*=0時(shí)，特征方程出現(xiàn)共軛虛根，求出與虛軸交點(diǎn)處的K*=3。虛軸交點(diǎn)處的w值可利用s2行的輔助方程3s2+5K'=0

求出。將s=jw,K*=3代入

輔助方程得3(jw)2+15=0解得與虛軸交點(diǎn)處的w

值

為：w=±

√5。規(guī)則7根軌跡起始角(出射角)和終止角(入射角)的計(jì)算。則7.1一般復(fù)數(shù)極零點(diǎn)系統(tǒng)根軌跡起始角(出射角)和終

止角(入射角)的計(jì)算。設(shè)系統(tǒng)的根軌跡方程為式中，z;(j=1,2…,m)為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，p;(i=1,2..,n)為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。(4-20)相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，幅值條件可確定根軌跡上各點(diǎn)K

的具體值。根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)

極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為起始角，以θ;表示；根軌跡

進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為終止角，以

Qzi

表示。這些角度可按如下關(guān)系式求出：k=0,±1,±2,

…

(4-21)k=0,±1,±2,

…

(4-22)式中，;p=∠(p:-z;),θ);p=∠(p;一p;),Q2;za=∠(z;-z;),θp;;=∠(z;

一p;)。規(guī)則7.1不能求取共軛復(fù)數(shù)重極點(diǎn)的起始角和重零點(diǎn)的終止角，原因分析如下：設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z?,≥2,

…

,zm),

其中開環(huán)

極點(diǎn)中的γ重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為p?=p?=

…

=pr=σ?+jw?,Pr+1=pr+2=…=pr+r=σ?—jw?設(shè)γ重開環(huán)極點(diǎn)p?,p?,…,p所對(duì)應(yīng)的起始角為θ?,θp?,

…,θp,根據(jù)公式(4

-

21),在計(jì)算θp(l=1,2,…,Y)

時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中認(rèn)為∠0這個(gè)角度為任意值。因而重極點(diǎn)無法用上述起始角公式(4-21),同樣道理，重零點(diǎn)也無法使用上述終止角公式(4-22)。下面先給出求取法則，然后給出證明。通用的根軌跡起始角求取法則如下：規(guī)則7.2

重復(fù)數(shù)極、零點(diǎn)系統(tǒng)起始角、終止角的求取法則。規(guī)則7.2.1

多重復(fù)數(shù)極點(diǎn)起始角的求取法則。設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z?,≈2,

…

,zm),其中開環(huán)極點(diǎn)中的γ對(duì)重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為p?=p?=…=pr=01+jw?,Pr+1=pr+2=…=pr+r=σ?

一jw1設(shè)γ重開環(huán)極點(diǎn)p?,p?,…,p

所對(duì)應(yīng)的起始角為θp?,θp?,

…,θpγ,則

θp?,θp?,…,θpy的計(jì)算公式為

,i=1,2,…,γ,k=i-1(4-23)

式中，φz;p;=∠(pi一z;),θp;p;=∠(p:

一

p;),γ

為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的重?cái)?shù)。該法則適用于任意階系統(tǒng)任意極點(diǎn)(實(shí)數(shù)單極點(diǎn)、多重極點(diǎn)或復(fù)數(shù)任意重極點(diǎn))的起始

角求取。規(guī)則7.2.2

多重復(fù)數(shù)零點(diǎn)終止角的求取法則。設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z?,≥2,

…

,zm),其中開環(huán)零點(diǎn)中的γ對(duì)重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)為z1=z?=…=zy=0+jw2,Zy+1=zy+2=…=zx+=0?-jw?多重極點(diǎn)起始角的求取規(guī)則證明如下：設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z?,≥2,

…

,zm),其中開環(huán)極點(diǎn)中的γ對(duì)重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為p?=p?=…=pr=σ1+jw?,Pr+1=pr+2=…=pr+r=01-jw?設(shè)γ重開環(huán)極點(diǎn)p?,p?,…,p所對(duì)應(yīng)的起始角為θp,θp?,

…,θpy,在γ重開環(huán)極點(diǎn)p?,p?,…,py

的鄰域內(nèi)討論起始角。設(shè)鄰域半徑為e,

圓心為γ重開環(huán)極點(diǎn)p;(i=1,2,…,Y),

設(shè)s?

為在p;鄰域內(nèi)的根軌跡上的一點(diǎn)，則s?

必然滿足相角條件。根據(jù)相角條件得式中，φ;z;=∠(z;-z;),θpj

z;=∠(z;

一p;),γ為系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)的重?cái)?shù)。規(guī)則7.2.2同樣適用于對(duì)實(shí)軸上多重零點(diǎn)終止角的求取。設(shè)γ重開環(huán)零點(diǎn)z?,≈2,

…

,z,所對(duì)應(yīng)的終止角為φa?,Q=2,

…,φzγ,則

q=1,Q?,…,Qzr的計(jì)算公式為(4-24)(4-25)其中γ為極點(diǎn)的重?cái)?shù)，法則7.2.

1得證。當(dāng)γ=1時(shí)，式(4-26)與求起始角公式(4-21)一致。0=(y-1)θp=(Y-1)?。式中，

θp?為重極點(diǎn)中p?的起始角，即

θp?1=θp。又

p?=p?=…=pγ

,

所以有i=1,2,…,γ;k=0,1,2,…,γ-1

(4-26)因?yàn)閟?

在極點(diǎn)p?

的鄰域內(nèi)(e→0),

而在極點(diǎn)p?

的鄰域外，所以有將上式代入式(4-25),整理得方程兩邊同除以γ,得用通式表示如下：和點(diǎn)為p?=p?=p?=0,pA=-4,p?,6=-3±j2;開環(huán)零點(diǎn)為z?=z?=-2+j,z?=z?=-2-j,z?=

一

3。設(shè)p?=p?=p?=0

所對(duì)應(yīng)的根軌跡的起始角為

θ?、θ2、θ

?

;設(shè)z?=z?=-2+j

所對(duì)應(yīng)的根軌跡的終

止角為φ1、2。系統(tǒng)的根軌跡仿真結(jié)果如圖4-9所示。讀者請(qǐng)自行計(jì)算起始角和終止角的數(shù)值。已

知

某

系

統(tǒng)

的

根

軌

跡

方

程

為,其中該系統(tǒng)的開環(huán)極圖4-9多重極零點(diǎn)系統(tǒng)的根軌跡規(guī)則8

當(dāng)n-m≥2成立時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)且等于開環(huán)極點(diǎn)之和，即4.3控制系統(tǒng)根軌跡繪制舉例上一節(jié)討論了繪制根軌跡的8條基本規(guī)則，按照這些規(guī)則，就可粗略地繪制出控制系統(tǒng)根軌跡的大致形狀。在此基礎(chǔ)上，

可在感興趣的區(qū)域內(nèi)，利用幅值條件和相角條件，對(duì)根軌跡進(jìn)

行修正，得到該區(qū)域內(nèi)根軌跡的精確圖形。試?yán)L制系統(tǒng)的完整根軌跡，并要求計(jì)算起始角(出射角)。解開環(huán)極點(diǎn)為p?=0,p?=-2+j2,p?=-2—j2,

無開環(huán)零點(diǎn)，

n=3,m=0。(1)由于n=3,m=0,

所以根軌跡有3條分支。(2)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)p?=0,p?=-2+j2,p?=-2—j2,終止于無窮遠(yuǎn)處。(3)實(shí)軸上的根軌跡為(一

∞,0),即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。(4)3條根軌跡的漸近線夾角和交點(diǎn)坐標(biāo)為(5)根軌跡無分離(匯合)點(diǎn)。(6)起始于p?=-2+j2,p?=-2—j2的根軌跡分支分別向著與實(shí)軸夾角為φa=π/3,

5π/3的兩條漸近線逼近。例

4

-

2

設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(8)根軌跡起始角(出射角):θp?=180°-∠(p?

一p?)-∠(p?

一p?)=180°-∠(-2+j2)-∠[

(

一

2

+j2)

一

(-

2

—j2)]=-45°θp?=45°(

9

)

繪

制

根

軌

跡

如

圖

4

-

1

0

所

示

。(7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為s3+4s2+8s+K*=0令

s=jw,并將其代入特征方程，得(jw)3+4(jw)2+8(jw)+K*=0或圖4-10例4-2的根軌跡按照以下步驟繪制根軌跡：(1)系統(tǒng)階次為5階，故根軌跡有5支，根軌跡的起點(diǎn)有5個(gè)，

p?=0,p?=-4,p?=

—5,p?=-1+j2,ps=-1-j2

。根

軌

跡

的

有

限

終

點(diǎn)

為

-

2

,

有

4

個(gè)

無

窮

遠(yuǎn)

終

點(diǎn)

。(2)有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，故有4條漸近線，漸近線與實(shí)軸的夾角為,k=0,1,2,3得

qa?=45°,Qa?=135°,qa?=225°,qa?=315°。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為(3)實(shí)軸上的根軌跡位于[0,

—

2]及[

-

4,

一

5]兩段。(4)根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角為θpA=180°+[∠(p?一z?)-∠(p?一p?)-∠(p?一p?)-∠(p?一p?)-∠(p?一

ps)]=180°+63.43°-116.57°-33.69°-26.57°-90°=-23.4°例4-3閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為s(s+4)(s+5)(s2+2s+5)+K*(s+2)=0,試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為上式是一高階代數(shù)方程，經(jīng)分析知根軌跡在實(shí)軸上只有一個(gè)分離點(diǎn)，用試探法或者牛頓余數(shù)定理法求得分離點(diǎn)為d=-4.47。(5)按照式(4-18)求根軌跡的分離點(diǎn)：s?

1

43

100+K*s?11

85

2K*s3

35.3

100+0.82K*

0s253.8—0.256K*2K*

0s1

538053.8-4.256K.21K

·0

0s?2K*

0(6)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可利用勞斯判據(jù)確定。由特征方程可列勞斯表如下：若系統(tǒng)穩(wěn)定，由勞斯表的第一列系數(shù)，有以下不等式成立：53.8-0.256K*>0,5380—52.084K*—0.21K*2>0,K*>0得

0<K*<78.47。由此可知，當(dāng)Kc*=78.47時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，此時(shí)根軌跡穿過虛軸。

K*=78.4@值由以下輔助方程確定：(53.8-0.256K*)s2+2K*=0將

K*=78.47

代入輔助方程，得33.7s2+156.94=0解得s=±j2.16。由以上步驟可繪出根軌跡，如圖4-11所示。jw-1+j2一2.250-5

-4-1-j2圖4-11系統(tǒng)的根軌跡(1)繪制K*

從0→+∞變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。(2)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的

K*的取值范圍。(3)為使閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間t?=10s(按誤差帶△=5%計(jì)算),

求

K的取值。例4-4-設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為①有3條分支，起始于開環(huán)極點(diǎn)p?=0,p?=-2,p?=-4,終

止

于

無窮遠(yuǎn)處。②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為：[-∞,-4],[-2,0]。③漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為

夾角為

,180°,300°。解(1)根軌跡方程為為

d?=-0.85,d?=-3.15

(舍去，因?yàn)樗辉诟壽E上),d?

對(duì)

應(yīng)

的K*值

為K:=|d?(d?+2)(d?+4)|=3.08。⑤求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)時(shí)，將1+G(jw)H(jw)=0的實(shí)部、虛部分開，有得，分離點(diǎn)滿足3d?+12d+8=0,解根軌跡圖如圖4-

12所示。④由解出j①A2.83J0-0.85-2.83圖4-12例4-4系統(tǒng)的根軌跡(2)0<K<48

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)按

,得主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部一

ξwn=-0.35,系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

s(s+2)(s+4)+K=s3+6s2+8s+K=(s-s?)(s—s?)(s—s?)式中s1,2.3為系統(tǒng)的3個(gè)閉環(huán)特征根，設(shè)s1.2=一

ξw±jwa為閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，顯然由規(guī)則8可得一s?-S?一s?=2ξwn

一s?=-(0-2-4)=6這樣得到s?=-5.3

。根據(jù)幅值條件，s?=-5.3時(shí)的根軌跡增益為K*=|s?(s?+2)(s?+4)|=5.3×3.3×1.3=22.74式中

K=2,T=1,τ>0且為變化參數(shù)。(1)試?yán)L制參數(shù)t

變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，給出系統(tǒng)

穩(wěn)定時(shí)t的取值范圍。(2)求使-3成為一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)t的取值。(3)T取(2)中給出的值時(shí)，求系統(tǒng)其余的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，并

據(jù)此計(jì)算系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間(按5%誤差計(jì)算)和超調(diào)量。例4-5

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解(1)系統(tǒng)的特征方程為s(ts+1)(Ts+1)+K=s(ts+1)(s+1)+2=τs3+ts2+s2+s+2=0等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制根軌跡如圖4-13所示。圖4-13例4-5系統(tǒng)的根軌跡圖中根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可從系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的條件t+1=2t得到=1。t=1時(shí)系統(tǒng)的特征方程為s3+2s2+s+2=(s+2)(s2+1)=0得與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為ja=±j。從根軌跡得到系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)t的取值范圍為0<t<1。得

44。(3)t=0.444時(shí)，系統(tǒng)的另外兩個(gè)閉環(huán)根從特征方程(2)-3成為一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，從根軌跡的幅值條件有求出為-0.125±j1.218,顯然它是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為4.4-廣義根軌跡前面我們討論的都是以根軌跡增益K*

為變量的負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡，在實(shí)際系統(tǒng)中，除了增益K*以外，還會(huì)有其他參

數(shù)對(duì)閉環(huán)特征根有影響。另外，還會(huì)遇到內(nèi)環(huán)是正反饋的系統(tǒng)。因此，我們把以非K*

為參變量或非負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌

跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。4.4.1參數(shù)根軌跡.除了根軌跡增益

K*以外，還常常分析系統(tǒng)其他參數(shù)(如

開環(huán)零極點(diǎn)、調(diào)節(jié)器

PID參數(shù)或者系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)等)變化

對(duì)系統(tǒng)性能的影響，在繪制這類參數(shù)變化時(shí)的根軌跡之前，要

先將開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行變形，求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，

再利用我們以前討論的繪制根軌跡的規(guī)則進(jìn)行繪制。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(4-27)則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為N(s)+K*M(s)=0(4-28)設(shè)N(s)或

M(s)中含有參數(shù)K',將含有和不含有參數(shù)K'的各項(xiàng)分別進(jìn)行合并，并用不含有參數(shù)K

的各項(xiàng)除方程兩端，得(4-29)試?yán)L制參數(shù)a

從0→

∞變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。例4-6已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解閉環(huán)特征方程為即將方程變形為作出參數(shù)a從0

→

∞變化時(shí)的根軌跡，如圖4-14所示。圖中，根據(jù)軌跡分離點(diǎn)d≈-0.17,分離點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的參數(shù)aa=0.074。于是等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為jw-0.5

0

JT-0.17圖4-14-例4-6系統(tǒng)的根軌跡4.4.2正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制對(duì)于具有開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的正反饋系統(tǒng)，其特征方程為1-G(s)H(s)=0

(4-30)G(s)H(s)=1

(4-31)所以，正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程為對(duì)照4.1節(jié)的負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程式(4-8),可以得到它們的幅值條件相同，而正反饋系統(tǒng)根軌跡方程的相角條件變

為∠G(s)H(s)=0+2kπ,k=0,±1,±2,

…

(4-32)

即(4-33)由以上分析可知，負(fù)反饋系統(tǒng)的相角滿足π+2kπ,而正反饋系統(tǒng)的相角滿足0+2kπ,所以，通常也稱負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌

跡為180°根軌跡，正反饋系統(tǒng)的根軌跡為0°根軌跡，在負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡的畫法規(guī)則中，凡是與相角條件有關(guān)的規(guī)則，都

要做相應(yīng)的修改，需要修改的規(guī)則如下：規(guī)則3修改為：實(shí)軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極

點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分。規(guī)則4修改為：當(dāng)有限開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n

大于有限零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，有n-m條根軌跡沿n-m條漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，這n-m

條漸近

線在實(shí)軸上都交于一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線與實(shí)軸的夾角為(與180°根軌跡同)(4-34)規(guī)則7.1修改為：一般復(fù)數(shù)極零點(diǎn)系統(tǒng)根軌跡起始角(出射角)和終止角(入射角)的計(jì)算公式為式中，φzpi=∠(p;-z;),θpjp;=∠(p;一p;),Qz;zi=∠(z;一z;),θpjzi=∠(z;一p;)。(4-35)(4-36)規(guī)則7.2.1(多重復(fù)數(shù)極點(diǎn)起始角的求取法則)的修改如下：設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z?,

之2,

…

,zm),

其中開環(huán)極點(diǎn)中的γ對(duì)重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為p?=p?=…=py=σ?+jw?,Py+1=Pr+2=…=pr+γ=01-jw?設(shè)γ重開環(huán)極點(diǎn)p?,p?,

…

,p,所對(duì)應(yīng)的起始角為θp,θp?,

…,θpy,則θp,θp?,…,θpy的計(jì)算公式為式中，Qz;pi=∠(pi

一z;),θpjp

i=∠(pi

一p;),γ為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的重?cái)?shù)。規(guī)則7.2.2(復(fù)數(shù)重零點(diǎn)終止角的求取法則)的修改如下：設(shè)系統(tǒng)有n

個(gè)開環(huán)極點(diǎn)(p?,p?,…,pn),m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)(z1,≈2,

…

,zm),其中開環(huán)零點(diǎn)中的γ對(duì)重開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)為z1=z?=…=zγ=σ2+jw2,Zy+1=zy+2=…=zy+γ=σz—jw?設(shè)γ重開環(huán)零點(diǎn)z1,

之2,

…

,z所對(duì)應(yīng)的終止角為φz?,Q=2,

…

,Qγ,則φx1,Q<2,…,Qzy的計(jì)算公式為

,i=1,2,…,γ,k=i-1

(4-38)

式中，Qz;z;=∠(z;-z;),θp;;=∠(z;

一p;),γ為系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)的重?cái)?shù)。規(guī)則7.2.2同樣適用于對(duì)實(shí)軸上多重零點(diǎn)終止角的求取。例4-7控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-15所示，試概略繪制其根軌

跡(K*>0)。解此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪制0°根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡：(一∞,-2),[-1,十∞)。分

離

點(diǎn)

：

解得d=-0.5,k?=6.75。起始角：根據(jù)相角條件，有得

θp?=60°,θp?=-60°,θp?=180°。根軌跡如圖4-16所示。K*(s+1)(s+2)3圖4-15例4-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)R(s)圖4-16例4-7系統(tǒng)的根軌跡4.4.3非最小相位系統(tǒng)根軌跡的繪制若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面有零點(diǎn)或極點(diǎn)，則該

系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。將非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

數(shù)寫成如下形式：如果K'<0,則按0°根軌跡的規(guī)則進(jìn)行繪制；如果K>0,

則按180°根軌跡的規(guī)則進(jìn)行繪制。(4-39)(1)設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,a>0,b>0,K′=-K<0(4-40)由于系統(tǒng)存在一個(gè)在s右半平面的開環(huán)零點(diǎn)，所以該系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程為(4-41)(4-42)則該系統(tǒng)的幅值條件和相角條件分別為

(4-43)∠(s-a)-∠s-∠(s+b)=0°+2kπ

(4-44)故該系統(tǒng)的根軌跡方程與正反饋系統(tǒng)的一樣，因此應(yīng)根據(jù)0°根軌跡的規(guī)則繪制該非最小相位系統(tǒng)的根軌跡。(2)設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

,a>0,b>0,K′=K>0

(4-45)由于系統(tǒng)存在一個(gè)在s右半平面的開環(huán)極點(diǎn)，所以該系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程為(4-46)(4-47)即有則該系統(tǒng)的幅值條件和相角條件分別為

(4-48)∠(s+a)-∠s-∠(s—b)=180°+2kπ

(4-49)故該系統(tǒng)的根軌跡方程與負(fù)反饋系統(tǒng)的一樣，因此應(yīng)根據(jù)180°根軌跡的規(guī)則繪制該非最小相位系統(tǒng)的根軌跡。4.5線性系統(tǒng)的根軌跡分析方法4.5.1線性系統(tǒng)的根軌跡分析舉例在工程實(shí)際中，為使系統(tǒng)分析簡(jiǎn)化，常常用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。例如，研究具有以下閉環(huán)傳遞函數(shù)的系

統(tǒng)

(4-50)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為h(t)=1-0.125e-2.34t-1.297e-0.33t

sin(0.58t+44.3°)(4-51)式中，指數(shù)項(xiàng)是由閉環(huán)極點(diǎn)s?=-2.43

產(chǎn)生的，衰減正弦項(xiàng)是由閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)S?

,3=-0.33±j0.58產(chǎn)生的，比較這兩項(xiàng)可以發(fā)

現(xiàn)，指數(shù)項(xiàng)隨時(shí)間的增加而迅速衰減且幅值很小，故可以忽略，

所以上述系統(tǒng)可近似為一個(gè)二階系統(tǒng)

(4-52)它的單位階躍響應(yīng)變?yōu)閔(t)=1-1.297e-?.33t

sin(0.58t+44.3°)

(4-53)試判斷閉環(huán)極點(diǎn)s??=-1.20±j2.08是否是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。若是，試估算閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解(1)首先繪制閉環(huán)根軌跡草圖，如圖4-17所示。例4-8設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-17例4-8系統(tǒng)的根軌跡(2)利用相角方程，判別閉環(huán)極點(diǎn)S12=-1.20±j2.08是否位于根軌跡上。0°-[∠(s?一p?)+∠(s?-p2)+∠(s?

一p3)]=-[∠(-1.20+j2.08一0)+∠(-1.20+j2.08+4)+∠(-1.20+j2.08+6)]=-[∠(-1.20+j2.08)+∠(2.8+j2.08)+∠(4.8+j2.08)]=-[180°-60°+36.6°+23.4°]=-180°可見，S1,2=-1.20±j2.08

是