10.1線性定常齊次系統(tǒng)狀態(tài)方程的解10.1.1標(biāo)量微分方程的解設(shè)標(biāo)量微分方程為(10-1)移

項(xiàng)

，

得則取拉氏反變換，得sX(s)一xo=aX(s)(s—a)X(s)=x。取拉氏變換，得(10-2)10.1.2齊次狀態(tài)方程的解標(biāo)量微分方程可以認(rèn)為是矩陣微分方程當(dāng)矩陣階次n=1

時(shí)的特例，因此矩陣微分方程的解與標(biāo)量微分方程應(yīng)具有形

式的不變性，由此得出如下結(jié)論：n

階線性定常齊次狀態(tài)方程的解為(10-3)式中若初始時(shí)刻t≠0,對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)為x(t?),

則

n階線性定常齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=eA(t-t?)x(t?)(10-4)由此可看出，線性定常連續(xù)系統(tǒng)在狀態(tài)空間中任一時(shí)刻t的

狀

態(tài)x(t)

是通過矩陣指數(shù)

函

數(shù)

eA(t-tO

由初始狀態(tài)

x(to)在

t時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)移，故eA(r-10)或

e又稱為定常連續(xù)系統(tǒng)的狀

態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為Φ(t—to)或

Φ(t),

即Φ(t—to)=eAt-t?)(10-5)或

Φ(t)=e

(10-6)所以，齊次狀態(tài)方程的解可表示為x(t)=Φ(t—t?)x(t?)=eA(t-to)x(t?)

(10-7)或x(t)=Φ(t)x(O)=eA(t)x(O)

(10-8)式(10-

7)和式(10-8)表明，齊次狀態(tài)方程的解在初始狀態(tài)確定情況下由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯

一

確定，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)

特性。10.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣10.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)由式(105)和式(106)可以得到線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾個(gè)重要性質(zhì)：(1)

Φ(0)=I;(2)Φ(t)=AΦ(t)=Φ(t)A;(3)Φ(t?+t?)

=Φ(t?)Φ(t?);(4)[Φ(t)]-1=Φ

(一t);(5)[Φ(t)]=Φ(kt)(式中，k

為整數(shù));(6)Φ(t?—t?)

Φ(t?-t?)=

Φ(t?—to);(7)對(duì)于n×n矩陣A

和B,

如果滿足AB=BA,則

e(A+B)t=eAt·eBt。10.2.2幾個(gè)特殊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣當(dāng)矩陣A為特殊矩陣時(shí)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有固定形式，可

以直接得到。(1)若矩陣A為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，即(10-9)則(2)若矩陣A為一個(gè)m×m

的約當(dāng)塊，即(10-10)則(3)若矩陣A為一個(gè)約當(dāng)矩陣，即其中A?,A?,…,A;

則為約當(dāng)塊。(10-11)P-1AP=AeA=PeAtp-1

(10-12)(4)若矩陣A通過非奇異變換矩陣P化為對(duì)角線矩陣，即則(5)若矩陣A為則(10-13)10.2.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的一般求法式(107)和式(108)中，齊次狀態(tài)方程的解x(t)=eA(-t?)x(t?)

或x(t)=eAtx(0),所以狀態(tài)方程的解實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)

移矩陣，即矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。1.直接計(jì)算法由式(103)可知，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt

可以表示為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩

陣的無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，即根據(jù)式(1014)可以計(jì)算出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。(10-

14)對(duì)其取拉氏變換，得sX(s)

一x(0)=AX(s)移項(xiàng)，得(sI-A)X(s)=x(0)則X(s)=(sI-A)-1x(O)取拉氏反變換，可得齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=4-1[(sI-A)?1]x(0)=eAx(0)(10-15)其中eA=4-1[(sI-A)?1]由此可以看出，為了求出eAt,關(guān)鍵是必須首先求出(sI

一

A)

-

12.拉氏變換法對(duì)于n階線性定常齊次狀態(tài)方程例10-1

考

慮如

下

矩陣A:試

用

拉氏

變

換

法

計(jì)

算

eA。解

由

于可

得因

此3.化矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)型根據(jù)前面介紹，當(dāng)矩陣A通過非奇異變換矩陣P

化為對(duì)

角線標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，即P-1AP=AP-1AP=JeA=Pep-1eAt=Pe1p-1或則可通過或來計(jì)算矩陣指數(shù)eAt。(10-16)(10-17)1)矩陣A

的特征值互異設(shè)A

的特征值為λ;(i=1,2,

…

,n),則可經(jīng)過非奇異變換把A化成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，即A=P-1AP狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為(10-18)試用化矩陣A為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型法求矩陣指數(shù)eAt。例102考慮如下矩陣A:解

由

于A的特征值為0和-2,故可求得所需的變換矩陣P為

因此，由式(1018)可得其中左上角的e?1與

eA2為重特征值λ1與λ2所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊A?與

A?

的矩陣指數(shù)；右下角的矩陣塊為λm?+m?+1,λm?+m2+2,…,λ

。對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣的矩陣指數(shù)；

P為

化

矩

陣A為

約

當(dāng)

標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣。」2

)

矩

陣A具有重特征值設(shè)λ;為矩陣A

的

m;重特征值，則重特征值所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊A;

的矩陣指數(shù)eAt

為如

果n×n矩陣A

有多個(gè)重特征值，例如，λ1為m?重特征值，λ2為m?重特征值，其余λm?+m2+1,λm1+m2+2,…,λ

均為單根。則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣應(yīng)為(10-19)(10-20)試求矩陣A的矩陣指數(shù)eAt。例103考慮如下矩陣A:解

該矩陣的特征方程為|λI-A|=λ3-3λ2+3λ-1=(λ-1)3=0因此，矩陣A

有三個(gè)相重特征值λ=1?？梢宰C明，矩陣A

也將具有三重特征向量(其中有

兩個(gè)廣義特征向量)。易知，將矩陣A

變

換

為Jordan

標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣為矩

陣P的

逆

為于是注意到彭旦4.化eAt為A的有限項(xiàng)法(Cayley

Hamilton定理法)1)凱萊-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)定理

對(duì)于一個(gè)n×n矩陣A,若

A

的特征方程為f(λ)=|λI-A|=λ”+a?λ”-1+…+an-1λ+an=0則矩陣A

滿足自己的特征多項(xiàng)式，即f(A)=A”+a?A”-1+…+an-1A+anI=0(10-21)這就是凱萊-哈密爾頓定理。將式(10-21)移項(xiàng)得A”=-a?A”-

1-a?A”-2-…-an-1A-aI

(10-22)式(10-

22)表明，A”是

A”-1,A”-2,…,A,I

的線性組合。同

理

，A”+1=A·A”也是A”-1,A”-2,…,A,I的線性組合。依此類推A”+2,A”+3,…

均是A”-1,A”-2,…,A,I

的線性組合。由此看出，矩陣指數(shù)e為無窮項(xiàng)之和，而又因?yàn)锳”+1,A”+2,

…均

是A”-1,A”-2,

…

,A,I

的線性組合，所以

(10-23)

式中，αo(t),α1(t),…,αn-1(t)均是時(shí)間的標(biāo)量函數(shù)。3)a;(t)的計(jì)算根據(jù)式(10-23),我們只需要計(jì)算出系數(shù)函數(shù)αo(t),a?(t),…,αn-1(t),就可確定轉(zhuǎn)移矩陣。計(jì)算系數(shù)α。(t),α?(t),…,αn-1(t)

的方法可以分為三種情況討論。2

)

化eA

為

A

的有限項(xiàng)根據(jù)矩陣指數(shù)的定義(1)特征值互異。A的特征值互異時(shí)，應(yīng)用凱萊-哈密頓定理，λ;和A

均是特征方程根，即f(λ;)=0,并且根據(jù)式(10-23),eA

可表示為A

的有限項(xiàng)，

ei

同樣也可以表示為λ;的有限項(xiàng)。因此λ;

滿足式(10-24),即eit=α(t)+a?(t)λ?+…+αn-1(t)λ”-1

(10-24)則對(duì)于λ;(i=1,2,…,n)

應(yīng)滿足則得(10-25)(2)A的特征值均相同時(shí)，設(shè)A的特征值為λ1,則λ1滿足下式：αo(t)+a?(t)λ1+a?(t)λ12+…+αn-1(t)λ1”-

1=e1將上式對(duì)λ1求導(dǎo)數(shù)，有a?(t)+2α?(t)λ?+…+(n-1)αn-1(t)λ?”-2=te21將上式再對(duì)λ1求導(dǎo)數(shù)，有2α?(t)+3!α?(t)λ?+…+(n-1)(n-2)αn-1(t)λ1”-3=t2e1重復(fù)以上步驟，最后求(n-1)

階導(dǎo)數(shù)，有(n-1)!αn-1(t)=t”-1e^1則可以得到系數(shù)α?(t),a?(t),…,αn-1(t)

的計(jì)算公式如下：(10-26)(3)當(dāng)A

的

n

個(gè)特征值中有重特征值又有互異特征值時(shí)，ao(t),α1(t),…,αn-1(t)由式(10-25)和式(10-26)確定。例如，若n×n矩陣A

的特征值中，λ1為m

重特征值，其余λm+1,λm+2,

…,λ,均為互異單特征值，則系數(shù)αo(t),a?(t),…,αn-1(t)

的計(jì)算公式為(10-27)例10-4

考慮如下矩陣A:試用化e為A

的有限項(xiàng)法計(jì)算