13.1狀態(tài)反饋與輸出反饋13.1.1狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋就是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋

系數(shù)反饋到輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統(tǒng)的輸入。多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖13-1所示。AK圖13-1狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖x(t)

Bx(t)C“(②r(1)D圖13-1中系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(13-1)式中，A為n×n矩陣；B

為n×r矩陣；C為m×n矩陣；D

為m×r矩

陣

。狀態(tài)反饋控制律為u=r-Kx

(13-2)式中，r

為r×1參考輸入向量；K為

r×n狀態(tài)反饋矩陣。x=Ax+B(r-Kx)=(A-Bk)x+Bry=Cx+D(r-Kx)=(C-DK)x+Dr把式(13-2)代入式(13-1)中，則狀態(tài)反饋系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為若D=0,則(13-4)(13-3)即閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為(A

-BK

)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為λI-(A

-BK

)|可見，引入狀態(tài)反饋后，只改變了系統(tǒng)矩陣及其特征值，B、

C陣均無變化。也就是狀態(tài)反饋陣K的引入，并沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過K

陣的選擇自由

地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。如果系統(tǒng)為單輸入、單輸出系統(tǒng)，k為1×n

矩陣，即k=[k?

k?…kn-1],則稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。例13-1

已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為試畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖。y=[400]x解u=r—kx=r-

[k

。

k?

k?]x其中，k=[ko

k?k?

],稱為狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣或狀態(tài)反饋增益矩陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖13-2所示。k?kk?圖13-2例13-1狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖 x?-1x14r

u-2x?y13.1.2輸出反饋輸出反饋就是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的系數(shù)反饋到輸

入端與參考輸入相加，其和作為受控系統(tǒng)的控制輸入。多輸

入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋系統(tǒng)如圖13-3所示。AH圖13-3輸出反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖Dx(t)

x(t)

y(t)BCr(t)“(7)輸出反饋控制律為u=r-Hy式中，H為r×m輸出反饋矩陣。(13-5)(13-6)圖13-3中系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為把式(13-5)代入式(13-6)中，得u=(I+HD

)?1(

r—HCx

)(13-7)把式(13-7)代入式(13-5)中，則輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(13-8)閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為(A-BHC

)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為aI-(A

-BHC

)|可見，引入輸出反饋后，只改變了系統(tǒng)矩陣及其特征值，B、C陣均無變化。若D=0,則(13-9)13.1.3對(duì)兩種反饋形式的討論以上對(duì)兩種反饋形式的方框圖與狀態(tài)空間表達(dá)式作了介紹，下面就其特點(diǎn)和應(yīng)用方面略加討論。(1)狀態(tài)反饋與輸出反饋的共同特點(diǎn)是：反饋的引入并不改變系統(tǒng)的狀態(tài)變量數(shù)目，即閉環(huán)系統(tǒng)與開環(huán)系統(tǒng)具有相同

的階數(shù)

。(2)兩種反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)能控性與原系統(tǒng)一致，但對(duì)

于能觀測(cè)性，狀態(tài)反饋可能改變?cè)到y(tǒng)的能觀測(cè)性，而輸出反

饋仍保持原系統(tǒng)的能觀測(cè)性。(3)輸出反饋相對(duì)于狀態(tài)反饋，其突出優(yōu)點(diǎn)是工程上構(gòu)造方便，但事實(shí)證明輸出反饋的基本形式往往不能滿足給定的

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)要求，而狀態(tài)反饋可以使控制系統(tǒng)具有更

好的特性，因而在控制工程實(shí)踐中，經(jīng)常采取狀態(tài)反饋形式。13.2閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置13.2.1極點(diǎn)配置定理1.極點(diǎn)配置在經(jīng)典控制理論中我們已經(jīng)知道，系統(tǒng)的性能(各種動(dòng)態(tài)

性能)主要是由閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的位置所決定的。在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)的極點(diǎn)實(shí)際上就是狀態(tài)方程中系數(shù)矩陣A所對(duì)應(yīng)的特征值，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定后，A

即確定，因

而A所對(duì)應(yīng)的特征值就隨之確定，但當(dāng)系統(tǒng)中引入狀態(tài)反饋

后，矩陣A就變成了A-BK,雖然A

、B

不能改變，但K可以人為

改變，所以A-BK

所對(duì)應(yīng)的特征值也能任意改變，通過對(duì)反饋增益矩陣K的設(shè)計(jì)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于s

平面上所期

望的位置。這種利用反饋矩陣K

來改變系統(tǒng)閉環(huán)控制極點(diǎn)的

方法，亦稱為“極點(diǎn)配置”。u=r—kx能使其閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是系統(tǒng)

∑。完全能控。2.極點(diǎn)配置定理設(shè)SISO系統(tǒng)

∑。的狀態(tài)空間表達(dá)式為通過狀態(tài)反饋(13-10)13.2.2狀態(tài)反饋增益矩陣k

的計(jì)算1.方法一(1)對(duì)給定能控系統(tǒng)進(jìn)

行P變換，即x=Px,化成能控標(biāo)準(zhǔn)型：

(13-11)

其中c=cP=[

c1

C?…

cn](2)在變換后引入狀態(tài)反饋增益矩陣k:k=[k?

k?

…k]引入狀態(tài)反饋：u=r—kx(3)變換后的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為閉環(huán)特征多項(xiàng)式為f(s)=|sI-(?-bk)|=s”+(a?+kn)s”-1+…+(an-1+k?)s+(a?+k?)(13-13)其中(13-12)(4)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為λ1,λ2,

…

,λn,

則

系

統(tǒng)

的

期

望

特

征

多

項(xiàng)

式

為f*(s)=(s一λ1)(s一

λ2)

…(s一

λn)=s“+a1s”-1+…+an-1s+a(13-14)(5)欲使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)取期望值，只需令f(s)=f*(s)即于

是

得k=[k?

k?…k]=[a*-ana-

1-an-

1

…

a1-a?](13-15)(6)根據(jù)狀態(tài)反饋控制規(guī)律在等價(jià)變換前后的表達(dá)式，即等價(jià)前：u=r—kx=r—kPx等價(jià)后：u=r—kx可以得到k=kP-1其

中,p?=[00…1][bAb…A”-1b]-

1=p?[aA”-1+…+an-1A+aI]一p?[a?A”-1+…+an-1A+anI]=p?[A”+a1A”-1+…+an-1A+a,I]=[00

…

1]U-1f*(A)故即k=[00

…1]U-1f*(A)(13-16)式中，f*(A)=A”+a1A”?1+…+an-1A+a"I,U.

為能控性矩陣。(13-17)所以，計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣k

的步驟為：(1)計(jì)算能控性矩陣U.,Uc1,

判斷系統(tǒng)是否能控；(2根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)f*(s)=(s-λ1)(s—λ2)…(s—λn)=s“+ais”-1+…+an-1s+a(3)根據(jù)式(13-17)求出f(A);(4)根據(jù)式(13-16)求出狀態(tài)反饋增益矩陣k。式：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣k,使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2上。例13-2已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為故可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置因?yàn)閞ankU=2,所以系統(tǒng)是能控的。解(1)系統(tǒng)的能控矩陣(2)期望閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2,由f*(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2(3)求狀態(tài)反饋增益矩陣k,則k=[00

…得(4)狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖13-4所示。r

u

2

x?

j

X?

x?

y2-14圖13-4狀態(tài)反饋系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖2.方法二求解實(shí)際問題的狀態(tài)反饋增益矩陣k

的步驟為：(1)計(jì)算能控性矩陣U.,判斷系統(tǒng)是否能控；(2根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)f*(s)=(s—λ1)(s—λ2)…(s—λn)=s“+ais”?1+…+an-1s+a(3)根據(jù)f(s)=

sI-(A-bk),求出f(s);(4)由f(s)=f

(s),求出狀態(tài)反饋增益矩陣k=[k?k?…kn]。式：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣k,使閉環(huán)極點(diǎn)配置在-1,-2上。例13-3

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為解(1)系統(tǒng)的能控矩陣U.-[b

rankU.=2系統(tǒng)是能控的。故可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置

。(2)令狀態(tài)反饋陣，k=[k?k?

],則=s2+(-3+k?+2k?)s+(k?-5k?+3)(3)期望閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在-1,-2,由f*(s)=(s—λ1)(s—λ2)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2對(duì)

比f(s)和f(s),令系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，可得k=[4

1]需要說明的是：(1)狀態(tài)反饋不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只能改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。(2當(dāng)系統(tǒng)不完全能控時(shí)，狀態(tài)反饋只能配置系統(tǒng)能控部

分的極點(diǎn)，而不能影響不能控部分的極點(diǎn)。(3)若線性定常系統(tǒng)

的閉環(huán)系統(tǒng)

,c)也一定是能控制。(4)狀態(tài)反饋可能影響系統(tǒng)的能觀測(cè)性。當(dāng)任意配置的

極點(diǎn)與零點(diǎn)存在對(duì)消時(shí)，狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能觀測(cè)性將會(huì)改變，

從而不能保持原受控系統(tǒng)的能觀測(cè)性。如果原受控系統(tǒng)不

含閉環(huán)零點(diǎn)，則狀態(tài)反饋系統(tǒng)能保持原有的能觀測(cè)性。(5)引入狀態(tài)反饋前后，系統(tǒng)零點(diǎn)不發(fā)生改變。13.2.3采用輸出反饋配置系統(tǒng)的極點(diǎn)對(duì)完全能控的單變量系統(tǒng)

∑?(A,b,c),不能采用輸出線性反

饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置，這正是輸出線性反饋的

基本弱點(diǎn)。為了克服這個(gè)弱點(diǎn)，在經(jīng)典控制理論中，采取引入附加校

正網(wǎng)絡(luò)，通過增加開環(huán)零極點(diǎn)的方法，改變根軌跡走向，使其落

在指定的期望位置上。在現(xiàn)代控制理論中，對(duì)完全能控的單變量系統(tǒng)

∑0(A,b,c),通過對(duì)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條

件

是

：(1)系統(tǒng)

∑?

(A,b,c)

完

全

能

觀

測(cè)

；(2)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)是任意配置極點(diǎn)的條件之一，針對(duì)具

體問題時(shí)，如果并不要求任意配置極點(diǎn)，那么,補(bǔ)償器的階數(shù)可

以進(jìn)一步降低。13.3狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋可以有效地改善系統(tǒng)的性能，在對(duì)控制系統(tǒng)利用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)，曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有

效地用于反饋，然而實(shí)際情況中，并不是所有的狀態(tài)變量都能

方便地測(cè)量到，比如狀態(tài)變量本身無物理意義或有些狀態(tài)變

量信號(hào)很微弱，在測(cè)量點(diǎn)易混進(jìn)噪聲等，都會(huì)使得狀態(tài)變量無

法測(cè)量或難以應(yīng)用。在不易直接獲得系統(tǒng)狀態(tài)變量的情況下，可以構(gòu)造一個(gè)

裝置對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)和觀測(cè)，使得其輸出變量無限逼近

原系統(tǒng)的狀態(tài)變量，這個(gè)裝置就叫狀態(tài)觀測(cè)器。13.3.1狀態(tài)觀測(cè)器模型如圖13-5所示，觀測(cè)器與原系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相同。當(dāng)觀測(cè)器輸入與原系統(tǒng)輸入相同時(shí)，觀測(cè)器重新構(gòu)造的狀態(tài)變量x^

是對(duì)原系統(tǒng)狀態(tài)變量x

的估計(jì)值。由于觀測(cè)器重構(gòu)的狀態(tài)變

量與原系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)相同，所以這種觀測(cè)器被稱為全維

觀測(cè)器。圖13-5所示觀測(cè)器為開環(huán)形式，由于其初始狀態(tài)可能與

原系統(tǒng)不完全相同，且兩者的數(shù)學(xué)模型也會(huì)有些差異，另外兩

者受到的外界或內(nèi)部的噪聲干擾也可能不同，因而該開環(huán)觀

測(cè)器重構(gòu)的狀態(tài)向量會(huì)與原系統(tǒng)狀態(tài)向量產(chǎn)生較大的誤差。uxx

狀態(tài)估計(jì){

3=圖13-5開環(huán)觀測(cè)器假設(shè)原系統(tǒng)是可觀測(cè)的，其狀態(tài)空間方程和初始狀態(tài)分別為(13-19)x(t?)=x(0)x

(t?)

=x

(0)觀測(cè)器的狀態(tài)空間方程和初始狀態(tài)為(13-18)若x(O)=x(0),而

A

、B

、C矩陣又相同，根據(jù)解的唯一性，則式(13-18)和式(13-19)必有相同的解，即x=x,但實(shí)際上很難做到，因而輸出變量的估計(jì)值會(huì)有誤差。輸出變量估計(jì)值誤差為y-y=C(x-x)

(13-20)利用誤差式(13-20),構(gòu)造n×m維反饋矩陣對(duì)觀測(cè)器進(jìn)行修正，如圖13-6所示。加上反

饋后，觀測(cè)器的方程為x=Ax+Bu-LCx+Ly=(A-LC)x+

Bu+Ly圖13-6多變量系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器在不能保證初始狀態(tài)相同的情況下，估計(jì)值誤差的動(dòng)態(tài)特性由矩陣A-LC

的特征值決定。如果A-LC是穩(wěn)定矩陣，不管x(to)和x(to)

值如何，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，x(t)都將收

斂到x(t),

即構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器的原則為：(1)觀測(cè)器

∑

以

∑

。的輸入u

和輸出y作為輸入量；(2)為滿足

,

∑

。必須完全能觀測(cè)，或者不能觀測(cè)子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；(3)∑g的輸出

x

應(yīng)以足夠快的速度漸近于x,

即觀測(cè)器存在的充分條件為線性定常系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的；觀測(cè)器存在的充要條件為線

性定常系統(tǒng)的不能觀測(cè)部分是漸近穩(wěn)定的。13.3.2觀測(cè)器的定義及存在條件設(shè)線性定常系統(tǒng)

∑。(A,B,C)

的狀態(tài)x不能直接測(cè)量，如果有一系統(tǒng)

∑?

以

∑

。的輸入u

和輸出y

作為輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量x,使得則稱。的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。13.3.3狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為x=(A-LC)x+Bu+Ly其特征多項(xiàng)式為f(s)=|sI-(A-LC)|(13-21)(13-22)其特征多項(xiàng)式為(1)計(jì)算能觀測(cè)性矩陣V

。,V

。1,判斷系統(tǒng)是否能觀測(cè)。(2)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)u?,u?,…,un

計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式：

f*(s)=(s-u?)(s—u?)…(s-un)=s”+a1s”-1+…+an-1s+a進(jìn)而求出f*(A)=A”+aA”-1+…+an-1A+aI(3)根據(jù)公式求出反饋陣(13-23)2.直接代入法(1)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)u?,u?,…,un

計(jì)算系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式：

f*(s)=(s—u?)(s—u?)…(s—un)=s“+as”-1+…+an-1s+a(2)根據(jù)f(s)=|sI-(A—LC)|,

求

出f(s)。(3)由f(s)=f*(s),

求出反饋陣試設(shè)計(jì)觀測(cè)器，使得觀測(cè)器特征值為s1,?=-10。解(1)先判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性，因?yàn)槔?3-4已知線性定常系統(tǒng)滿秩，所以系統(tǒng)能觀測(cè)。(2)設(shè),則狀態(tài)觀測(cè)器方程為x=(A-LC)x+Bu+Ly其特征多項(xiàng)式為=s2+(3+3l?)s+(2+3l?+9l?)其期望的特征多項(xiàng)式為f*(s)=(s+10)2=s2+20s+100解得,所以觀測(cè)器反饋矩陣為(3)由f(s)和

f*(s)兩式右端對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，得系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器方程為13.4帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)13.4.1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和狀態(tài)空間表達(dá)式帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，即原系統(tǒng)、觀

測(cè)器和控制器，如圖13-7所示。圖13-7帶狀態(tài)觀測(cè)器的反饋系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制為u=r-Kx狀態(tài)觀測(cè)方程為設(shè)能控能觀測(cè)的受控系統(tǒng)為(13-25)(13-26)(13-24)由式(13-24)~式(13-26)得(13-27)將式(13-27)寫成分塊矩陣的形狀，即(13-28)(13-29)或13.4.2閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性1.閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性由觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于

狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)式sI-(A-BK)和觀測(cè)器部分的特征

測(cè)，用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和

觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行，即狀態(tài)反饋增益矩陣K和觀測(cè)

器反饋矩陣L

的設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行，互不干擾。這種性質(zhì)

被稱為分離特性。2.傳遞函數(shù)陣的不變性帶觀測(cè)器狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣