學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.探究二次根式的性質(zhì)，并理解其意義.2.學(xué)會(huì)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算.還記得我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次根式的定義及其有意義的條件嗎？回顧我們知道二次根式中a≥0，那么二次根式還有哪些性質(zhì)呢？定義：

一般地，我們把形如形如(a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).即在二次根式

中，當(dāng)a≥0時(shí)，

有意義；當(dāng)a＜0時(shí)，

無意義.思考1二次根式

的值有什么特征？我們知道，當(dāng)a＞0時(shí)，

表示a的算術(shù)平方根，因此

＞0；當(dāng)a＝0時(shí)，表示0的算術(shù)平方根，因此

.這就是說，≥0(a≥0).歸納總結(jié)二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式

的雙重非負(fù)性

二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(或式)的算術(shù)平方根.因此，對于任意一個(gè)二次根式

，可知：(1)a為被開方數(shù)，為保證其有意義，a≥0；(2)表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，

≥0.分析：例1若

，求a－b＋c的值.

解：由題意可知a－7＝0，b－9＝0，c－17＝0，

解得a＝7，b＝9，c＝17.所以a－b＋c＝7－9＋17＝15.初中階段非負(fù)數(shù)形式：平方、絕對值、二次根式多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0a－7＝0,

b－9＝0,

c－17＝0.如圖，為墻上鑲嵌的一塊正方形石雕，面積為a，求此塊石雕的邊長，并利用所求得的邊長表示出該石雕的面積，你從中發(fā)現(xiàn)了什么？解：由題意得，正方形石雕的邊長為.利用邊長表示此正方形石雕的面積為.又∵正方形石雕的面積為a，∴

這個(gè)式子對所有的二次根式都成立嗎？

探究1根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空.算術(shù)平方根平方運(yùn)算a(a≥0)30.5

0觀察這兩者之間有什么關(guān)系？

02＝0

你發(fā)現(xiàn)了什么？當(dāng)a≥0時(shí)，＝a.

二次根式的性質(zhì)1：一般地，

＝a(a≥0).即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.歸納總結(jié)例2計(jì)算：解：(1)；(2).(2)中

表示2×

，用到了乘積的乘方：(ab)2＝a2b2.(1)

；(2).

探究2根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空.

算術(shù)平方根平方運(yùn)算20.1

0a(a≥0)

a2觀察這兩者之間有什么關(guān)系？

當(dāng)a≥0時(shí)，＝a.

2

4

0.01

0.1

0

0

觀察這兩者之間又有什么關(guān)系？

算術(shù)平方根平方運(yùn)算a(a＜0)﹣2﹣0.1

0

a2

0.12

4

0

0

當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，

都有意義.如果上式中的a為負(fù)實(shí)數(shù)，那么上式還成立嗎？為什么？不成立，當(dāng)a＜0時(shí)，

＝－a.

證明：∵a＜0，∴－a＞0，則.即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.歸納總結(jié)a(a≥0)－a(a＜0)一般地，二次根式的性質(zhì)2：(2) .(1)；解：(1)；(2).例3化簡：變式

化簡下列式子.解：思考3如何區(qū)別

與

？從運(yùn)算順序看從取值范圍看從運(yùn)算結(jié)果看意義先開方，后平方先平方，后開方a≥0a取任意實(shí)數(shù)a表示一個(gè)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根1.(2024安徽)下列計(jì)算正確的是()

A.a3＋a3＝a6B.a6÷a3＝a2

C.(－a)2＝a2D.＝a

C

2.如果

，那么a的取值范圍是()

A.a＜2B.a≤2

C.a＞2D.a≥2

B

3.如果一個(gè)三角形的三邊長分別為3，a，7，那么

化簡后的結(jié)果為________.2a－13

4.化簡

解：

，而3.14＜π，

要注意a的正負(fù)性.5.實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡:解：由數(shù)軸可知a＜0，b＞0，a－b＜0，∴原式＝|a|－|b|＋|a－b|

＝－a－b－(a－b)

＝－2a.ab分析：利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)

進(jìn)行化簡，關(guān)鍵是要根據(jù)a、b的大小討論絕對值內(nèi)式子的符號.∴6.已知2＜x＜3，化簡.解：∵2＜x＜3，∴x－3＜0，x－2＞0，化簡形如

的式子時(shí)，一般分為兩步：(1)將其化為

的形式；(2)根據(jù)a的取值范圍確定去掉絕對值符號后的符號.7.閱讀下面的文字后，回答問題：對題目“化簡并求值：

，其中a＝5”甲、乙兩人的解答不同.甲的解答是：原式＝甲的解答是：原式＝(1)你認(rèn)為_____的解答是錯(cuò)誤的；(2)錯(cuò)誤的解答在于未能正確運(yùn)用二次根式的性質(zhì)：____________________；(3)模仿上題作答：