彈性力學(xué)第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)2026/1/1531.什么樣的問(wèn)題是平面問(wèn)題？（1）基本未知函數(shù)均是平面（xy面）內(nèi)的物理量。（2）這些未知函數(shù)僅為x，y兩變量的函數(shù)。

2.平面問(wèn)題主要有那些類(lèi)型？（1）平面應(yīng)力問(wèn)題（2）平面應(yīng)變問(wèn)題6.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題6.1.1平面應(yīng)力問(wèn)題

1.定義

設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力和體力；以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任意一直線為z軸；只有平行于xy面的三個(gè)應(yīng)力分量，其他應(yīng)力分量為零，且這三個(gè)應(yīng)力分量和形變分量與位移分量不沿厚度變化，只是x，y的函數(shù)，這樣的問(wèn)題稱為平面應(yīng)力問(wèn)題。2026/1/1546.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題2026/1/1552.力學(xué)模型

設(shè)薄板的厚度為t，以薄板的中面為坐標(biāo)面，把厚度方向取作z軸建立坐標(biāo)系oxy。圖6-16.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題3.Z軸方向有關(guān)參量關(guān)系

1.由于時(shí)的板面上無(wú)外力作用，則邊界條件成為:2.由于板很薄，外力又不沿厚度變化，則板內(nèi)各點(diǎn)的以上三個(gè)應(yīng)力分量都極小，可以認(rèn)為小到零的程度，即：2026/1/1566.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題

6.1.2平面應(yīng)變問(wèn)題

1.定義

設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力；以任意橫截面為xy面，任意縱線為z軸，則所有形變分量和位移分量都不沿z軸變化，只是x，y的函數(shù)；在此條件下，橫截面內(nèi)所有各點(diǎn)只會(huì)沿x和y方向移動(dòng)，而不會(huì)有z方向的位移，這種問(wèn)題稱為平面位移問(wèn)題，習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問(wèn)題。例如厚壁圓筒、高壓管道、水壩等就屬于此類(lèi)。

2026/1/1576.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題2026/1/1582.力學(xué)模型

以柱體任一橫截面為xOy平面，縱向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系oxy。圖6-26.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題3.Z軸方向的有關(guān)參量關(guān)系由于z軸方向很長(zhǎng)，一般認(rèn)為從而可推導(dǎo)出根據(jù)胡克定律2026/1/1596.1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

1.平衡微分方程的推導(dǎo)

（1）建立坐標(biāo)系

在薄板或柱形體中任取一正平行六面體微元（點(diǎn)P），它在x和y方向的尺寸分別為dx和dy，z方向?yàn)橐粋€(gè)單位長(zhǎng)度，即為1.圖6-32026/1/15116.2平衡微分方程（2）注意1）在正負(fù)x，y面上，應(yīng)考慮到由于坐標(biāo)增量而引起的應(yīng)力的增量；2）在推導(dǎo)任何基本方程時(shí)，通常都以正的物理量來(lái)表示，這樣可以避免帶負(fù)號(hào)物理量的運(yùn)算。因此，圖6-3中的體力、應(yīng)力都以正方向、正號(hào)表示；3）在列平衡方程時(shí)應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其面積和體積，才能得出其合力；4）在導(dǎo)出平衡微分方程時(shí)，應(yīng)用了兩個(gè)基本假定：一是連續(xù)性假定；二是小變形假定。2026/1/15126.2平衡微分方程（3）列方程

當(dāng)彈性體平衡時(shí)，P點(diǎn)的平衡就以微元體平衡表示。于是有三個(gè)平衡方程：1）證明剪力互等根據(jù)力矩方程則有：化簡(jiǎn)，略去高階項(xiàng)，可得剪力互等6-1

2026/1/15136.2平衡微分方程2.平衡微分方程（納維葉方程）以x軸為投影軸，列出投影平衡方程，則有：同理可列出。兩個(gè)投影方程化簡(jiǎn)后成為：

6-2

2026/1/15146.2平衡微分方程對(duì)于上述平衡微分方程，說(shuō)明幾點(diǎn)（1）平衡微分方程表示任一點(diǎn)（x，y）的平衡條件，（x，y）屬于平面域A，所以也代表A中所有點(diǎn)的平衡條件。（2）平衡微分方程適用的條件是，只要求符合連續(xù)性和小變形假定。（3）對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題，平衡微分方程相同。（4）由于，以后只作為一個(gè)獨(dú)立未知函數(shù)處理。因此，2個(gè)獨(dú)立的平衡微分方程（6-2）中含有3個(gè)應(yīng)力未知函數(shù)。2026/1/15156.2平衡微分方程第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)1.建模

設(shè)x，y坐標(biāo)面上一點(diǎn)P的應(yīng)力分量為如圖6-4a所示。在校核強(qiáng)度條件時(shí)，還需要求出通過(guò)此點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面AB，它平行于該斜面，并與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)而垂直于x軸和y軸的兩個(gè)平面劃出一個(gè)微小的三棱柱PAB，圖6-4b。當(dāng)面積AB無(wú)限減小而趨于P點(diǎn)時(shí)，平面AB上的應(yīng)力就是P點(diǎn)在上述斜面上的應(yīng)力?，F(xiàn)設(shè)斜面上的全應(yīng)力p可以分解為沿坐標(biāo)向的分量，或沿法向和切向的分量，如圖6-4b所示。2026/1/15176.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖6-4用n代表斜面AB的外法線方向，其方向余弦為：

2026/1/15186.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2.求斜面應(yīng)力分量

設(shè)斜面AB的長(zhǎng)度為，則PB面及PA面的面積分別為，而PAB的體積為，通過(guò)三角形微分體的平衡條件，可得：

化簡(jiǎn)可得：

6-3

2026/1/15196.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)3.斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力

計(jì)算在法向和切向的投影，便得斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：

將6-3式代入得：

由式（6-4）及（6-5）就可以求得經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的任意斜面上的正應(yīng)力。6-46-5。

2026/1/15206.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)4.斜面上的主應(yīng)力和應(yīng)力主向

（1）定義

經(jīng)過(guò)P點(diǎn)某一斜面上的切應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為在P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，而該斜面稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主平面，該斜面的法線方向稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主方向。

（2）求主應(yīng)力

在一個(gè)應(yīng)力主面上，由于切應(yīng)力為零，全應(yīng)力就等于該面上的正應(yīng)力，也就等于主應(yīng)力σ，因此，該面上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影成為：2026/1/15216.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)聯(lián)合式（6-3）解出比值，即得：于是可得σ的二次方程：

解本方程，可求得兩個(gè)主應(yīng)力為：6-6

根據(jù)式（6-6）可以得到：

6-7

（a）

2026/1/15226.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（3）求主應(yīng)力方向設(shè)與x軸的夾角為則：利用式（a）中的第一式，即得：同理，設(shè)與x軸的夾角為，可得：（b）

2026/1/15236.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)再利用式（6-7），可得：

（c）

由式（b）及式（c）可有：

也就是說(shuō)，的方向與的方向互相垂直，如圖6-4a所示。

2026/1/15246.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)5.求最大和最小的正應(yīng)力與切應(yīng)力

（1）最大和最小正應(yīng)力

如果已求得任意點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力和，以及應(yīng)力主向，就極易求得這一點(diǎn)的最大與最小的應(yīng)力。為了簡(jiǎn)便，將x軸和y軸分別放在和的方向，于是有：（d）

由式（6-4）及式（d）可得：2026/1/15256.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)再利用關(guān)系可得：從上式可以看出的最大值為而最小值為，這就是說(shuō)，兩個(gè)主應(yīng)力也就是最大值與最小值的正應(yīng)力。2026/1/15266.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（2）最大和最小剪應(yīng)力按照式（6-5）及式（d），任意斜面上的切應(yīng)力為：

2026/1/15由上式可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)為最大值或最小值，于是得，而最大值與最小值的切應(yīng)力為x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成450的斜面上。

，發(fā)生在與276.3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

1.幾何方程推導(dǎo)

（1）建立坐標(biāo)系在彈性體內(nèi)取任一點(diǎn)P（x，y）作兩個(gè)沿正標(biāo)向的微分線段

PA，PB，并標(biāo)出它們?cè)谧冃魏蟮奈恢?，如圖6-5所示。

圖6-52026/1/15296.4幾何方程（2）正應(yīng)變

根據(jù)圖6-5，可推得PA和PB的正應(yīng)變：2026/1/15306.4幾何方程（3）剪應(yīng)變

求線段PA與PB之間的直角改變，即剪應(yīng)變。由圖可知，這個(gè)剪應(yīng)變是由兩方面組成的：一部分是y方向的位移引起的，即x方向的線段PA的轉(zhuǎn)角；另一部分是由x方向的位移引起的，即y方向的線段PB的轉(zhuǎn)角。

線段PA的轉(zhuǎn)角是：2026/1/15316.4幾何方程同樣，可得線段PB的轉(zhuǎn)角是：于是，PA與PB之間的直角改變（以減小為正），即剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

這樣就得到了平面問(wèn)題中的簡(jiǎn)化的幾何方程（柯西方程）：6-8

2026/1/15326.4幾何方程2.幾點(diǎn)說(shuō)明幾何方程表示任一點(diǎn)的微分線段上形變分量與位移分量之間的關(guān)系式。幾何方程也是從微分角度導(dǎo)出的，并且應(yīng)用了連續(xù)性和小變形兩個(gè)基本假定。因此，其適用的條件是，只要求符合連續(xù)性和小變形假定。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題，幾何方程相同。如果物體的位移確定，則形變完全確定。當(dāng)物體的形變分量確定時(shí)，位移分量不完全確定。

2026/1/15336.4幾何方程第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)341.胡克定律

在完全彈性的各向同性體內(nèi)，材料力學(xué)中的廣義胡克(Hooke)定律表達(dá)式為：

6-10

2026/1/15356.5物理方程、胡克定律式中：E——楊氏(Young)彈性模量，又稱拉壓彈性模量，簡(jiǎn)稱彈性模量；G——剪切彈性模量，又稱剛度模量；——橫向收縮系數(shù)，又稱泊松(Poisson)比。

這三個(gè)彈性常數(shù)之間有如下關(guān)系：

6-11

注意：這三個(gè)彈性常數(shù)只有在物體是完全彈性體、均勻的、各向同性的假設(shè)條件下才是不變量。2026/1/15366.5物理方程、胡克定律2.平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程

在平面應(yīng)力問(wèn)題中，已知：所以式6-10可寫(xiě)成：2026/1/15376.5物理方程、胡克定律因此平面應(yīng)力問(wèn)題中的物理方程可表示成：6-12

可用來(lái)求薄板厚度的改變。

2026/1/15386.5物理方程、胡克定律3.平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程

在平面應(yīng)變問(wèn)題中，已知：

于是由式6-10的第三式得：

將上式代入式6-10第1式及第2式，并注意式6-12第三式仍然適用，得平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程：

6-132026/1/15396.5物理方程、胡克定律4.通過(guò)兩種平面問(wèn)題的對(duì)比，可得如下結(jié)論：所有應(yīng)力（3個(gè)應(yīng)力分量）、應(yīng)變（3個(gè)形變分量）和位移（2個(gè)位移分量）分量均為坐標(biāo)x，y的函數(shù)，與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)；獨(dú)立的應(yīng)力分量均為，故兩者具有相同的平衡微分方程（2個(gè)平衡微分方程）；獨(dú)立的應(yīng)變分量均為，故兩者具有相同的幾何方程（3個(gè)幾何方程）；若令，則兩者的物理方程（3個(gè)物理方程）的形式相同。2026/1/15406.5物理方程、胡克定律第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)1.邊界條件的分類(lèi)

（1）位移邊界條件（2）應(yīng)力邊界條件（3）混合邊界條件

2.位移邊界條件

設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量和，則有：位移邊界條件實(shí)質(zhì)上是變形連續(xù)條件在約束邊界上的表達(dá)式。6-14

2026/1/15426.6邊界條件3.應(yīng)力邊界條件

設(shè)在部分邊界上給定了面力分量，我們可以將圖6-4b的三角形微分體移到邊界上，使AB為邊界面，并在邊界面上用面力代替應(yīng)力和，再考慮其平衡條件，從而得出邊界點(diǎn)的微分體上坐標(biāo)面的應(yīng)力與邊界面上的面力之間的關(guān)系式：6-15

2026/1/15436.6邊界條件4.注意的幾點(diǎn)

（1）應(yīng)力邊界條件表示邊界上任一點(diǎn)的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系式。這也是函數(shù)方程，在上每一點(diǎn)都應(yīng)滿足。（2）式（6-3）表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的斜面上應(yīng)力與坐標(biāo)面上應(yīng)力之間的關(guān)系式，適用于區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)。而邊界條件（6-15）只能應(yīng)用于邊界上，因此，必須將邊界線s的方程代入式（6-15）的應(yīng)力表達(dá)式中。2026/1/15446.6邊界條件

（3）注意式（6-15）中的面力、應(yīng)力都有不同的正負(fù)符號(hào)規(guī)定，且分別作用于通過(guò)邊界點(diǎn)的不同的面上。方向余弦則按三角公式確定正負(fù)號(hào)。（4）在導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件時(shí)，只考慮到一階微量。體力項(xiàng)是二階微量，因此沒(méi)有出現(xiàn)。（5）在平面問(wèn)題中，位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件都是兩個(gè)，分別表示x向和y向的條件。應(yīng)力邊界條件是邊界點(diǎn)上微分體的平衡條件，也屬于靜力學(xué)條件。2026/1/15456.6邊界條件5.混合邊界條件

在平面問(wèn)題的混合邊界條件中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，可用6-14式表示；另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件，可用6-15式表示。此外，在同一部分邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件。2026/1/15466.6邊界條件第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

1.圣維南原理

如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量和主矩相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)，即局部效應(yīng)原理。2.原理中的注意點(diǎn)

（1）變換后的面力必須與原面力靜力等效;（2）

“近處”一般地講大約是變換面力的邊界的1～2倍范圍內(nèi)；而此范圍之外，可以認(rèn)為是“遠(yuǎn)處”。2026/1/15486.7圣維南原理

3.圣維南原理的應(yīng)用

在圖6-8中，由于，左右兩端是小邊界。按照式（6-15），在右端邊界面上，嚴(yán)格的邊界條件要求：

圖6-8（a）

這是很難滿足的，因?yàn)橐笤诘倪吔缟厦恳稽c(diǎn)上，應(yīng)力都與對(duì)應(yīng)的分布面力相等。2026/1/15496.7圣維南原理

在此小邊界上應(yīng)用圣維南原理，具體表達(dá)式為：

（b）

（1）在小邊界上應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值應(yīng)當(dāng)?shù)扔谙鄳?yīng)面力的主矢量和主矩的數(shù)值；（2）面力的主矢量和主矩的方向就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。式（b）表示：

2026/1/15506.7圣維南原理4.式（a）與式（b）相比

（1）式（a）是精確的，而式（b）是近似的；（2）式（a）有兩個(gè)條件，一般為兩個(gè)函數(shù)方程；而式（b）有三個(gè)積分條件，均為代數(shù)方程。（3）在求解時(shí)，式（a）難以滿足，而式（b）易于滿足。2026/1/15516.7圣維南原理第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)2026/1/15531.求解平面問(wèn)題的一般過(guò)程

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，已對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題建立了如下三套基本方程：（1）平衡微分方程

6-2

6.8按位移求解平面問(wèn)題（2）幾何方程6-8

2026/1/15546.8按位移求解平面問(wèn)題（3）物理方程

平面應(yīng)力中的物理方程：

6-12

平面應(yīng)變中的物理方程：

6-13

2026/1/15556.8按位移求解平面問(wèn)題2026/1/1556（4）邊界條件

位移邊界條件：

6-14應(yīng)力邊界條件：6-15各方程組中有3個(gè)應(yīng)力分量、3個(gè)形變分量及2個(gè)位移分量的未知函數(shù)，這些函數(shù)通過(guò)基本方程、邊界條件采用消元法進(jìn)行求解。

6.8按位移求解平面問(wèn)題2.按位移求解平面問(wèn)題

其實(shí)質(zhì)是：以位移分量作為基本未知數(shù)，通過(guò)微分方程和邊界條件求出位移分量，用幾何方程求出應(yīng)變分量，再用物理方程求出應(yīng)力分量的過(guò)程。（1）首先平衡微分方程用位移分量表示1）將物理方程式改成由應(yīng)變表示應(yīng)力分量6-16

2026/1/15576.8按位移求解平面問(wèn)題2026/1/15582）將幾何方程代入，用位移分量來(lái)表示應(yīng)力分量6-173）再代入平衡微分方程化簡(jiǎn)，即得微平衡方程

6-18

6.8按位移求解平面問(wèn)題（2）邊界條件用位移分量表示1）將式6-17代入應(yīng)力邊界條件6-15，化簡(jiǎn)得：2）位移邊界條件仍然如式（6-14）所示。

6-192026/1/15596.8按位移求解平面問(wèn)題3.按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)的解題過(guò)程

（1）位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足微分方程；（2）在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件；（3）求出位移分量以后，用幾何方程求得形變分量；（4）再用式（6-17）求得應(yīng)力分量。（5）平面應(yīng)變問(wèn)題和平面應(yīng)力問(wèn)題相比，除了物理方程不同外，其他方程都相同。只要將上述各方程和邊界條件中的，就可得出平面應(yīng)變問(wèn)題按位移求解的方程和邊界條件。2026/1/15606.8按位移求解平面問(wèn)題4.應(yīng)用位移法求解平面問(wèn)題的優(yōu)缺點(diǎn)

（1）優(yōu)點(diǎn)

位移法是彈性力學(xué)的一種基本解法，能適應(yīng)各種邊界條件的彈性力學(xué)問(wèn)題求解，在近似數(shù)值解法中有著廣泛的應(yīng)用。

（2）缺點(diǎn)

求解過(guò)程比較復(fù)雜，在求解位移函數(shù)時(shí)，往往遇到很大的困難，目前已得出的函數(shù)解答很少。2026/1/15616.8按位移求解平面問(wèn)題第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)1.按應(yīng)力求解的一般過(guò)程（1）取作為基本未知函數(shù)；（2）將三套方程中的未知量用應(yīng)力函數(shù)表示；三套方程中只有幾何方程不是用應(yīng)力表示的。因此，將幾何方程中位移分量消除，并用應(yīng)力分量表示即可。2026/1/15636.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程1）相容方程的推導(dǎo)

考察幾何方程：

將對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)和對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)相加，得：

即：（6-20）上式稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。它表示在連續(xù)假定條件下，

形變分量

不是互相獨(dú)立的，而是相關(guān)的，否則

不存在。

2026/1/15646.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程2）相容方程用應(yīng)力分量表示

a.對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，將物理方程6-12代入6-20，得：

（a）

b.利用平衡微分方程，可以消去式(a)中的剪應(yīng)變。為此，將平面問(wèn)題的平衡方程6-2寫(xiě)為：

（b）

2026/1/15656.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程

c.將（b）式的第1式對(duì)x求導(dǎo)，第二式對(duì)y求導(dǎo)，然后相加，并利用，得：

將式（c）代入a，化簡(jiǎn)以后，得：2026/1/1566

（c）

（6-21）

6.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程或（

6-21）其中符號(hào)代表稱為拉普拉斯（Laplace）算子。

上式為以應(yīng)力表示的相容方程，或變形連續(xù)方程。對(duì)于上述推導(dǎo)為應(yīng)力問(wèn)題的求解，而對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題的求解只需要將

式（6-21）中

用代換后即可得出平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程，即：

（6-22）2026/1/15676.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程（3）邊界條件

在按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，由形變分量去求位移分量須要通過(guò)積分。使得位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。所以在按應(yīng)力求解時(shí)，我們通常只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題。即：

綜上，按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，只需要滿足微平衡方程（6-2）、相容方程（6-21）和邊界條件（6-15），便可求得區(qū)域內(nèi)的解。

2026/1/1568

（6-15）6.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程2.單連體和多連體的概念

由于按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)涉及到積分問(wèn)題，因此，對(duì)于工程物體還有單連體和多連體之分。在求解問(wèn)題時(shí)，對(duì)于多連體還要運(yùn)用“位移單值條件”才能完全確定應(yīng)力分量。

單連體：即對(duì)于在物體內(nèi)所作的任何一根閉合曲線，都可以使它在物體內(nèi)不斷收縮而趨于一點(diǎn)，此種物體成為單連體，反之為多連體。2026/1/15696.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程3.形變協(xié)調(diào)條件的物理意義

（1）是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果。

（2）是形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。

當(dāng)形變分量滿足了形變協(xié)調(diào)條件后，我們就能求出對(duì)應(yīng)的位移分量，也就是說(shuō)，對(duì)應(yīng)的位移存在而且必然連續(xù)。反之，不滿足形變協(xié)調(diào)條件的形變分量，不是物體中實(shí)際存在的，也求不出對(duì)應(yīng)的位移。2026/1/15706.9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程第六章平面問(wèn)題的基本理論§6-1平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題§6-2平衡微分方程§6-3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§6-4幾何方程§6-5物理方程、胡克定律§6-6邊界條件§6-7圣維南原理§6-8按位移求解平面問(wèn)題§6-9按應(yīng)力求解平面問(wèn)題、相容方程§6-10

常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)1.常體力情況下的簡(jiǎn)化

在很多的工程問(wèn)題中，體力是常量，即體力分量不隨坐標(biāo)而變。因此，相容方程為：

（6-23

）應(yīng)當(dāng)滿足拉普拉斯微分方程，即是調(diào)和函數(shù)。

因此，在平衡微分方程（6-2）及相容方程（6-23）中，只包括

三個(gè)未知數(shù)，利用這三個(gè)方程及應(yīng)力邊界條件（6-15）就可以進(jìn)行解題。

2026/1/15726.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)2.簡(jiǎn)化適用的條件（1）體力為常量，則相容方程可以簡(jiǎn)化；（2）全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件，沒(méi)有位移邊界條件；（3）彈性體為單連體，位移單值條件自然滿足，不必再校核。2026/1/15736.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)3.滿足上述條件解的特點(diǎn)

解出的應(yīng)力分量均與材料彈性常數(shù)無(wú)關(guān)，因此有下列結(jié)論：1.對(duì)于不同的材料，這三個(gè)應(yīng)力分量的理論解答相同；在用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不同的模型材料來(lái)代替。2.對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題，這三個(gè)應(yīng)力的解答相同，即理論解可以互相通用；在模型試驗(yàn)時(shí)，可以用平面應(yīng)力問(wèn)題的模型代替平面應(yīng)變問(wèn)題的模型，使模型的制作和加載大為簡(jiǎn)化。

2026/1/15746.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)4.平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)方法

在常體力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡微分方程和相容方程：

彈性力學(xué)平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)方法，就是引入一個(gè)自然滿足平衡微分方程的應(yīng)力函數(shù)，使得三個(gè)變量都可由一個(gè)應(yīng)力函數(shù)決定。

。

(a)

(b)

2026/1/15756.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)（1）應(yīng)力函數(shù)

平衡微分方程，是一個(gè)非齊次微分方程組，它的全解應(yīng)包括兩個(gè)部分，即非齊次方程的特解和齊次方程的通解。其特解可用試湊法求得，可以取為：

齊次方程為：

下面來(lái)研究齊次方程（d）的通解。根據(jù)微分方程理論，偏導(dǎo)數(shù)具有相容性。若設(shè)函數(shù)，則有：(c)

(d)

2026/1/15766.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)假如函數(shù)C和D滿足下列關(guān)系式：那么對(duì)照上式，一定存在某一個(gè)函數(shù)f，使得：

2026/1/15776.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

為了求得齊次微分方程(d)的通解，將其中第一式改寫(xiě)為：根據(jù)上述微分方程理論，這就一定存在某一個(gè)函數(shù)A（x，y）使得：(e)

2026/1/15786.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

(f)同樣將式（d）的第二式改寫(xiě)為可見(jiàn)也一定存在某一函數(shù)B（x，y），使得：(g)(h)2026/1/15796.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

由式（f）及（h）可得：此式把函數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。因而艾瑞引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)，它的全微分，于是有：(i)

(j)

2026/1/15806.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)將式（i）代入式（e），式（j）代入式（g），并將式（i）代入式（f），即得通解為：（k）

代入平衡方程（d），可知恒滿足。

將齊次方程的通解（k）與任一組特解，例如與特解（c）疊加，便得到非齊次方程的全解：

（

6-24）2026/1/15816.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

不論函數(shù)取成什么形式，應(yīng)力分量（6-24）總能滿足平衡微分方程（a）。稱為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)，或稱為艾里應(yīng)力函數(shù)。（2）相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示通過(guò)微分方程求得的應(yīng)力分量式（6-24）還需要滿足相容方程（6-23）。將式6-24代入6-23，得：2026/1/15826.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)在體力為零或?yàn)槌Ａ繒r(shí)，上式簡(jiǎn)化為：若用拉普拉斯算子表示，則為：

式中表示：（6-25）2026/1/15836.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)

稱為雙調(diào)和算子。方程（6-25）稱為雙調(diào)和方程。在常體力的情況下，平面問(wèn)題的應(yīng)力分量可用應(yīng)力函數(shù)來(lái)表示，而函數(shù)必須滿足雙調(diào)和方程，即為雙調(diào)和函數(shù)。

總結(jié)：在常體力的情況下，彈性力學(xué)平面問(wèn)題中存在著一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。按應(yīng)力求解平面問(wèn)題，可歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。2026/1/15846.10常體力情況下的簡(jiǎn)化、應(yīng)力函數(shù)彈性力學(xué)機(jī)電工程學(xué)院陳濤§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項(xiàng)式應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線形應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無(wú)面力、無(wú)應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項(xiàng)式1.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。7.1多項(xiàng)式解答872026/1/15結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖7-1（a）。2.對(duì)應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問(wèn)題。如圖7-1（b）。圖7-1（a）（b）（c）882026/1/153.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布?jí)毫ΓㄔO(shè)）的問(wèn)題。如圖7-1（c）。三、應(yīng)力函數(shù)取三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問(wèn)題。如圖7-2所示的矩形梁。（a）圖圖7-2892026/1/15具體解法如下:如圖7-2,取單位寬度的梁來(lái)考察,并令每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長(zhǎng)度]/[長(zhǎng)度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應(yīng)當(dāng)合成為力偶，而力偶的矩，這就要求：前一式總能滿足，而后一式要求：代入式（a），得：將式（a）中的代入，上列二式成為：902026/1/15因?yàn)榱航孛娴膽T矩是，所以上式可改寫(xiě)為：結(jié)果與材料力學(xué)中完全相同。注意：對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于深度的梁，上面答案是有實(shí)用價(jià)值的；對(duì)于長(zhǎng)度與深度同等大小的所謂深梁，這個(gè)解答是沒(méi)有什么實(shí)用意義的。912026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法以矩形梁的純彎曲問(wèn)題為例，說(shuō)明如何由應(yīng)力分量求出位移分量。一、平面應(yīng)力的情況將應(yīng)力分量代入物理方程7.2位移分量的求出932026/1/15得形變分量：（a）再將式（a）代入幾何方程：得：前二式積分得：（b）（c）其中的和是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式942026/1/15得：等式左邊只是的函數(shù)，而等式右邊只是的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有：積分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常數(shù)、、須由約束條件求得。（d）952026/1/15（一）簡(jiǎn)支梁如圖7-3（a），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），就得到簡(jiǎn)支梁的位移分量：梁軸的撓度方程：圖7-3（a）（b）962026/1/15（二）懸臂梁如圖7-3（b），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：梁軸的撓度方程：二、平面應(yīng)變的情況只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的換為，換為即可。972026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.3簡(jiǎn)支梁受均布載荷設(shè)有矩形截面的簡(jiǎn)支梁，深度為，長(zhǎng)度為，受均布載荷，體力不計(jì)，由兩端的反力維持平衡。如圖7-4所示。取單位寬度的梁來(lái)考慮，可視為平面應(yīng)力問(wèn)題。圖7-4用半逆解法。假設(shè)只是的函數(shù)：則：對(duì)積分，得：解之，得：其中，、是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。（a）（b）992026/1/15現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對(duì)求四階導(dǎo)數(shù)：將以上結(jié)果代入相容方程，得：相容條件要求此二次方程有無(wú)數(shù)的根(全梁內(nèi)的值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。即：1002026/1/15前面兩個(gè)方程要求：第三個(gè)方程要求：（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：（f）（g）（h）1012026/1/15這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù)、…等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。因?yàn)槊媸橇汉秃奢d的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于yz面。這樣，和應(yīng)當(dāng)是的偶函數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見(jiàn)：將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，三個(gè)應(yīng)力分量變?yōu)椋荷鲜街泄灿辛鶄€(gè)待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（i）1022026/1/15整理，得：由于這四個(gè)方程是獨(dú)立的，互不矛盾的，而且只包含四個(gè)未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（i），得：（k）（l）（j）1032026/1/15（二）考察左右兩邊的邊界條件由于對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：（m）（n）將式（j）代入式（m），得： 積分，得：將式（j）代入式（n），得： 積分，得：1042026/1/15將式（l）代入，上式成為：另一方面，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：將和代入式（j），得：（p）將式（p）、（k）、（l）整理，得應(yīng)力分量：（q）1052026/1/15式（q）可以改寫(xiě)為：各應(yīng)力分量沿鉛直方向的變化大致如圖7-5所示。在的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項(xiàng)是彈性力學(xué)提出的修正項(xiàng)。對(duì)于通常的淺梁，修正項(xiàng)很小，可以不計(jì)。對(duì)于較深的梁，則需注意修正項(xiàng)。的最大絕對(duì)值是，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，一般不考慮這個(gè)應(yīng)力分量。和材料力學(xué)里完全一樣。圖7-51062026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.4楔形體受重力和液體壓力設(shè)有楔形體,如圖7-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直角成角，下端無(wú)限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。問(wèn)題：圖圖圖圖7-6（a）（b）1082026/1/15取坐標(biāo)軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（二）邊界條件左面（）應(yīng)力邊界條件：這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量在該問(wèn)題中，體力分量，所以應(yīng)力分量的表達(dá)式為：（a）1092026/1/15右面（），，應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：1102026/1/15代入式（c），得：將這些系數(shù)代入式（b），得：各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖7-6b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無(wú)限長(zhǎng)的。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這里不是一個(gè)平面問(wèn)題。2.對(duì)于壩身底部來(lái)說(shuō)，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。1112026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.5級(jí)數(shù)式解答用逆解法。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（a）其中是任意常數(shù)，它的因次是[長(zhǎng)度]-1，而是的任意函數(shù)。將式（a）代入相容方程，得：（b）解之，得：其中、、、都是任意常數(shù)。得到應(yīng)力函數(shù)的一個(gè)解答：假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：同樣可以得出應(yīng)力函數(shù)的另一個(gè)解答：（c）1132026/1/15仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級(jí)數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)：相應(yīng)的應(yīng)力分量：將式（c）與（d）疊加，得：其中、、、也都是任意常數(shù)。（d）1142026/1/151152026/1/15這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù)、、、、、、、、、或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應(yīng)力分量表達(dá)式，使其滿足某個(gè)問(wèn)題的邊界條件，就得出該問(wèn)題的解答。1162026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法7.6簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷問(wèn)題：

設(shè)簡(jiǎn)支梁的跨度為，高度為，坐標(biāo)軸如圖7-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為及，左右兩端的反力分別為及。圖7-71182026/1/15為了滿足邊界條件（c），?。?,…3,2,1(==mlmmpa上下兩邊正應(yīng)力的邊界條件：上下兩邊剪應(yīng)力的邊界條件：左右兩端正應(yīng)力的邊界條件：左右兩端剪應(yīng)力的邊界條件：（a）（b）（c）（d）1192026/1/15應(yīng)力分量簡(jiǎn)化為：（1）1202026/1/15代入邊界條件（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù)、、、的方程。（e）（f）（g）（h）1212026/1/15由式（e）、（f），得：（i）（j）按照傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法則，有：與式（g）對(duì)比，得：從而，得：（k）1222026/1/15同樣由式（h），得：（）求出式（k）及式（）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系數(shù)、、、，從而由公式（1）求得應(yīng)力分量。求出應(yīng)力分量后，可由式（d）求得反力及，并利用兩個(gè)反力與荷載的平衡作為校核之用。結(jié)論：1.用級(jí)數(shù)求解平面問(wèn)題時(shí)，計(jì)算工作量很大。2.由于梁的兩端的應(yīng)力邊界條件不能精確滿足，因而應(yīng)力的解答只適用于距兩端較遠(yuǎn)之處；對(duì)于跨度與高度同等大小的梁，這種解答是沒(méi)有用處的。1232026/1/15§7-1

多項(xiàng)式解答§7-2

位移分量的求出§7-3

簡(jiǎn)支梁受均布載荷§7-4

楔形體受重力和液體壓力§7-5

級(jí)數(shù)式解答§7-6

簡(jiǎn)支梁受任意橫向載荷第七章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解法例題[例題1]設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，如圖1，試求應(yīng)力分量。解：1.采用半逆解法，設(shè)。導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程：圖11252026/1/15取任意值時(shí)，上式都應(yīng)成立，因而有：式中，中略去了常數(shù)項(xiàng)，中略去了的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)力無(wú)影響。（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：（2）1262026/1/153.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：（3）不能精確滿足，只能近似滿足：由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：（4）1272026/1/15（1）中的不能略去，因?yàn)閷?duì)剪應(yīng)力有影響。（2）在上端部，首先應(yīng)使應(yīng)力分量精確滿足邊界條件，如不能，則可運(yùn)用圣維南原理放松滿足。本題能精確滿足，因此，在此處是精確解，而在上端部是近似解。（3）若設(shè)，則導(dǎo)出的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量為：4.分析：（5）（6）（7）常數(shù)確定后代入式（7），所得結(jié)果與式（5）相同。1282026/1/15[例題2]如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：不難驗(yàn)證其滿足。所以應(yīng)力分量為：1292026/1/152.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：上邊界：斜面：解得：3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來(lái)求解上邊界受線形載荷作用的問(wèn)題，見(jiàn)圖2（b）。1302026/1/15[例題3]如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足 ，問(wèn) 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將 代入相容條件，得： 滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。將 代入相容條件得1312026/1/15 也能作為應(yīng)力函數(shù)。把 代入相容條件，得：所以，也可作為應(yīng)力函數(shù)。1322026/1/15Oylxlh解：1、由滿足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系：（1）圖3[例題4]圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。1332026/1/152、含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為3、由邊界條件確定待定系數(shù)：1342026/1/15由以上式子可求得：1352026/1/15由此可解得：4、應(yīng)力分量為1362026/1/15PyOhlx只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個(gè)大小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù) 上再添加一個(gè)與純剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ：

圖4[例題5]如圖所示，右端固定懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。1、用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項(xiàng)式函數(shù)的半逆解法來(lái)求解。顯然，應(yīng)力函數(shù)所對(duì)應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，解：1372026/1/15左端部：解得：2、由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式為：3、利用邊界條件確定 ，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界：1382026/1/15彈性力學(xué)機(jī)電工程學(xué)院陳濤第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.1極坐標(biāo)中的平衡微分方程在處理彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，選擇什么形式的坐標(biāo)系統(tǒng)，雖不會(huì)影響對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的描繪，但卻直接關(guān)系到解決問(wèn)題的難易程度。如坐標(biāo)選得合適，可使問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。例如對(duì)于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便的多。圖8－1

考慮平面上的一個(gè)微分體，沿方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用表示，沿方向的正應(yīng)力稱為切向正應(yīng)力，用表示，剪應(yīng)力用表示，各應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)的規(guī)定和直角坐標(biāo)中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用及表示。如圖8-1。2026/1/15141考慮圖示單元體的平衡，有三個(gè)平衡方程：由，可以得出剪應(yīng)力互等關(guān)系：由，有：由，有：2026/1/15142因?yàn)楹芪⑿?，所以取，，并用代替，整理以上兩式，得：這就是極坐標(biāo)的平衡微分方程。兩個(gè)平衡微分方程中包含三個(gè)未知函數(shù)、和，所以問(wèn)題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關(guān)系。上述方程和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量?jī)H以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。2026/1/15143第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α毫λ矶础?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力一、幾何方程—位移與形變間的微分關(guān)系8.2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程在極坐標(biāo)中規(guī)定:

---徑向正應(yīng)變---環(huán)向正應(yīng)變---剪應(yīng)變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)---徑向位移---環(huán)向位移用疊加法討論極坐標(biāo)中的形變與位移間的微分關(guān)系。圖8-2（1）假定只有徑向位移，而無(wú)環(huán)向位移。如圖8-2所示。2026/1/15145徑向線段的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段的正應(yīng)變?yōu)椋簭较蚓€段的轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角為：可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋?026/1/15146（2）假定只有環(huán)向位移，而無(wú)徑向位移。如圖8-3所示。圖8-3徑向線段的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段的正應(yīng)變?yōu)椋簭较蚓€段的轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角為：可見(jiàn)剪應(yīng)變?yōu)椋?026/1/15147如果同時(shí)存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：這就是極坐標(biāo)中的幾何方程。二、物理方程（1）平面應(yīng)力情況：2026/1/15148（2）平面應(yīng)變情況：將上式中的換為，換為。2026/1/15149第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α毫λ矶础?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程

為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：得到：2026/1/15151

在θ=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）：（a）（b）（c）2026/1/15152得到：可以證明，當(dāng)體力為零時(shí)，這些應(yīng)力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），得：于是由直角坐標(biāo)的相容方程：得到極坐標(biāo)中的相容方程：2026/1/15153用極坐標(biāo)求解平面問(wèn)題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。2026/1/15154第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。圖8-4如圖8-4，在彈性體中取微小三角板，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。令邊的長(zhǎng)度為，則邊及邊的長(zhǎng)度分別為及。2026/1/15156根據(jù)三角板的平衡條件，可得平衡方程：用代替，得：同理，由平衡條件，可得：另取微小三角板，如圖8-4，根據(jù)平衡條件，得到：綜合以上結(jié)果，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：2026/1/15157利用簡(jiǎn)單的三角公式，上式可改寫(xiě)為：2026/1/15158第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α毫λ矶础?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移

如果應(yīng)力分量?jī)H是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱為軸對(duì)稱問(wèn)題。

采用逆解法，假定應(yīng)力函數(shù)僅是徑向坐標(biāo)的函數(shù):相容方程簡(jiǎn)化為:這是一個(gè)四階常微分方程，它的通解為:

這時(shí)，應(yīng)力的表達(dá)式為:2026/1/15160

正應(yīng)力分量?jī)H是

的函數(shù)，與無(wú)關(guān)，并且剪應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對(duì)稱于通過(guò)z軸的任一平面，稱為軸對(duì)稱應(yīng)力。

將上述應(yīng)力的表達(dá)式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達(dá)式,再代入位移與應(yīng)變積分后的幾何方程,得到軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量:2026/1/15161對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，須將上面公式換為，換為。2026/1/15162第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α毫λ矶础?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?、壓力隧?/p>

如圖8-5，圓環(huán)的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力qa，外壓力qb。為軸對(duì)稱問(wèn)題。根據(jù)上節(jié)有解為:圖8-5邊界條件為:一、圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?026/1/15164

在這里只有兩個(gè)方程，而有三個(gè)待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補(bǔ)充一個(gè)方程。在環(huán)向位移表達(dá)式：中，第一項(xiàng)是多值的，在同一r處，θ=θ1和θ=θ1+2π時(shí)，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。

這樣從上面兩個(gè)方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到拉密解答：于是:由邊界條件得到:2026/1/15165下面分別討論內(nèi)壓力和外壓力單獨(dú)作用的情況。（1）只作用均勻內(nèi)壓時(shí)（），例如液壓缸，上面解答化為：圖8-62026/1/15166應(yīng)力分布大致如圖8-6所示。當(dāng)時(shí)，得到具有圓孔的無(wú)限大薄板，或具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體，這時(shí)上面的解答成為：（2）只有外壓時(shí)（），例如液壓柱塞，上面解答化為：應(yīng)力分布大致如圖8-7所示。圖8-72026/1/15167二、壓力隧洞圖8-8如圖8-8所示，受均勻內(nèi)壓力作用的圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，圓筒和無(wú)限大彈性體的材料不同。試分別討論兩者的應(yīng)力和位移情況。兩者都屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法。設(shè)圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為：2026/1/15168設(shè)無(wú)限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式為：由應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù)、、、。（1）在圓筒的內(nèi)表面：由此得：（2）在無(wú)限大彈性體內(nèi)距離圓筒很遠(yuǎn)處幾乎沒(méi)有應(yīng)力。由此得：（3）在圓筒和無(wú)限大彈性體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有：（1）（2）2026/1/15169由此得：三個(gè)方程不足以確定四個(gè)常數(shù)，下面來(lái)考慮位移。由于圓筒和無(wú)限大彈性體都是多連體，并屬于平面應(yīng)變問(wèn)題，可以寫(xiě)出兩者的徑向位移的表達(dá)式。圓筒：無(wú)限大彈性體：將以上兩式簡(jiǎn)化后得：（3）2026/1/15170在接觸面上，兩者應(yīng)具有相同的位移，即：因此有：因?yàn)檫@一方程在接觸面上的任意一點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)成立，也就是在取任何數(shù)值時(shí)都應(yīng)當(dāng)成立，所以方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是有：簡(jiǎn)化后，得：其中：（4）2026/1/15171聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出、、、，代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得：當(dāng)時(shí)，應(yīng)力分布大致如圖8-8所示。2026/1/15172第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.7曲梁的純彎曲

內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等、方向相反的彎矩，為軸對(duì)稱問(wèn)題。有：邊界剪應(yīng)力都為零：圖8-92026/1/15174在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:從而可得：在梁端的邊界條件要求:則：2026/1/15175將的表達(dá)式：代入，并由邊界條件得：

在這里有三個(gè)方程和三個(gè)待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到郭洛文解答:其中：2026/1/15176第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.8圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移一、等厚度圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移設(shè)有等厚度圓盤(pán)，繞其回轉(zhuǎn)軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)。圓盤(pán)可以認(rèn)為是在下面的體力作用下處于平衡狀態(tài)：由于這里是軸對(duì)稱的物體受軸對(duì)稱的體力，所以應(yīng)力分布也是軸對(duì)稱的。即：應(yīng)力分量及都只是的函數(shù)，而。所以有平衡微分方程：令：(1)2026/1/15178在這里，由于圓盤(pán)只受回轉(zhuǎn)軸的約束，而這種約束是軸對(duì)稱的，所以它的彈性位移也是軸對(duì)稱的。即：徑向位移，而環(huán)向位移。于是幾何方程簡(jiǎn)化為：消去，得到相容方程：解方程得到：將物理方程代入，再聯(lián)立式(1)，得到由應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：聯(lián)立式（1），得：(2)2026/1/15179其中和是任意常數(shù)。盤(pán)邊的邊界條件：其中是圓盤(pán)的半徑。代入式（2），得：取，代入式（2）得應(yīng)力分量的表達(dá)式為：最大應(yīng)力在圓盤(pán)的中心：徑向位移：2026/1/15180在圓盤(pán)的中心（），。最大彈性位移發(fā)生在圓盤(pán)的邊緣（）：二、變厚度圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移假定圓盤(pán)的厚度為，而應(yīng)力不沿厚度變化，則等厚度圓盤(pán)的微分方程可以近似地應(yīng)用于每單位厚度的圓盤(pán)。于是可得全厚度內(nèi)的平衡微分方程為：令：可得：取厚度的變化規(guī)律為：其中是常數(shù)，為任意正數(shù)。則上式成為：2026/1/15181解方程，得：其中和是任意常數(shù)，而：由此可得出應(yīng)力分量：由邊界條件，求得：2026/1/15182為了應(yīng)力在圓盤(pán)的中心（）處不成為無(wú)限大，取。從而得應(yīng)力分量為：且，有：2026/1/15183第八章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解法§8-1

極坐標(biāo)中的平衡微分方程§8-9

圓孔的孔邊應(yīng)力集中§8-4

應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§8-3

極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§8-2

極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程§8-5

軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移§8-6

圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?。壓力隧洞?-7

曲梁的純彎曲§8-8

圓盤(pán)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移§8-10

楔形體在楔頂或楔面受力§8-11

半平面體在邊界上受法向集中力8.9圓孔的孔邊應(yīng)力集中

板中開(kāi)有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱為孔邊應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)。一般說(shuō)來(lái)，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡(jiǎn)略討論圓孔孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題，較為復(fù)雜的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題一般用復(fù)變函數(shù)方法，在后續(xù)章中進(jìn)行討論。圖8-10一、矩形板左右兩邊受集度為q的均布拉力2026/1/15185設(shè)有矩形薄板，在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有半徑為的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為，如圖8-10。

以遠(yuǎn)大于

的某一長(zhǎng)度為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，得到大圓的邊界條件：上述面力可以分解成兩部分，其中第一部分是：第二部分是：求面力（a）所引起的應(yīng)力。令：。得：(a)(b)2026/1/15186由于，所以可近似地取，從而得到解答：求面力（b）所引起的應(yīng)力。采用半逆解法：假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。即：又應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：因此可以假設(shè)：代入相容方程，得：2026/1/15187刪去，求解常微分方程，得：從而得應(yīng)力函數(shù)：從