微技能半角模型第五章四邊形模型分析及典例1針對練習2類型一

三角形內(nèi)角含半角條件：AB=AC，∠

BAC=90°，∠

DAE=45°圖示：輔助線作法：將△ABD

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接D'E結(jié)論：△

AED'≌

①________，∠

ECD'=②

________°，DE2=③

_____________模型分析及典例1△AED90BD2＋CE2【例1】如圖，

在△

ABC

中，∠

ACB=90°，CA=CB，

點E，F(xiàn)

在AB

邊上，

∠

ECF=45°.若AE=2，EF=3，則BF

的長為____.

【點撥】如解圖，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，則∠ECG＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACE＝∠BCE＋∠BCG＝90°，∴∠ACE＝∠BCG.∵CE＝CG，AC＝BC，∴△ACE≌△BCG(SAS)．∴∠A＝∠CBG，AE＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠FBC＝∠A＝∠CBG＝45°.∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°.在Rt△FBG中，F(xiàn)G2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2.

△AEFBE＋DF【例2】如圖，

四邊形ABCD

是邊長為6的正方形，點E，F(xiàn)

分別在邊BC，CD

上，且∠

EAF=45°，連接EF.若F

是CD

的中點，則BE

的長為__________.2【點撥】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝∠C＝90°.∵F是CD的中點，∴CF＝DF＝3.如解圖，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，DF＝BG＝3，∠DAF＝∠BAG，∠ABG＝∠D＝90°.∵∠ABG＋∠ABC＝180°，∴G，B，C三點共線．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠BAE＋∠BAG＝∠EAG＝45°.∴∠EAG＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF＝EG.

△AEFBE－DF【例3】如圖，在四邊形ABCD

中，AB=AD，E，F(xiàn)

分別在線段BC

的延長線和線段CD

的延長線上，連接AE，AF，EF，

若∠

BAD=∠

ECF=2∠

EAF，BE=8，DF=2，則EF

的長是________.6【點撥】如解圖，在BC上取BF′＝DF，連接AF′.∵∠BCD＋∠ECF＝180°，∠BAD＝∠ECF，∴∠BCD＋∠BAD＝180°.∴∠B＋∠ADC＝180°.∵∠ADC＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF.又∵AB＝AD，∴△ABF′≌△ADF(SAS)．∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.∴∠BAD＝∠F′AF.∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠F′AF＝2∠EAF.∴∠F′AE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△F′AE≌△FAE(SAS)．∴EF

＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF＝8－2＝6.1.

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為()A.36 B.

21C.

30 D.22B針對練習2【點撥】如解圖，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°.將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF.∴AF＝AD，CF＝BD＝3，∠ACF＝∠B＝45°，∠CAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠CAE＋∠BAD＝90°－∠DAE＝45°.∴∠EAF＝∠EAD.∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED(SAS)．∴S△AEF＝S△ADE＝15.

A【點撥】∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCB＝∠D＝∠CBE＝90°.如解圖，把△CDF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF′，則BF′＝DF，CF′＝CF，∠CBF′＝∠D＝90°.∴∠CBE＋∠CBF′＝180°，∴點E，B，F(xiàn)′三點共線．∵∠FCF′＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECF′＝45°.∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEF′(SAS)，∴EF＝EF′.3.

在等邊三角形ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.(1)如圖1，當DM=DN時，∠MDB=_________

°；30【點撥】(2)如圖2，猜想

MN

與

BM，

CN

之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；解：猜想：MN＝BM＋CN.證明如下：如解圖，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°.∴∠MBD＝∠NCD＝90°.∴∠MBD＝∠ECD＝90°.又∵BM＝CE，∴△DBM≌△DCE(SAS)．∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC.∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠NDC＝60°.∴∠EDN＝∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°.∴∠EDN＝∠MDN.

又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN(SAS)．∴MN＝EN＝CE＋NC＝BM＋CN.(3)如圖2，求△

AMN

的周長與△

ABC

的周長的比.4.

四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且∠MAN=45°，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖1，將△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，連接MN.

(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；解：MN＝DM＋BN.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AM，BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，∠DAM＝∠BAE，∴∠ABE＋∠ABC＝180°.

∴點E，B，C共線．∵∠DAM＋∠BAN＝90°－∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠BAE＋∠BAN＝∠DAM＋∠BAN＝45°.∴∠EAN＝∠MAN.

又∵AN＝AN，∴△EAN≌△MAN(SAS)．∴EN＝MN.

∵EN＝BE＋BN＝DM＋BN，∴MN＝EN＝DM＋BN.(2)如圖2，點M，N分別在正方形ABC