7.1隨機信號時域特征的估計7.1.1均值的估計1.均值的最大似然估計若對高斯信號X(t)的采樣是獨立的,則{Xn}就是獨立的高斯隨機序列,實驗測得的一組樣本x0,x1,x2,…,xN-1也可看作是相互獨立的高斯隨機變量。那么{Xn}以mX為條件的似然函數(shù)為則下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

其中,K是一個與mX無關的量?？捎山獬鼍档淖畲笏迫还烙嬃繛樯弦豁撓乱豁摲祷?.1隨機信號時域特征的估計

2.估計量的評價(1)是無偏估計量。因為上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

所以這個估計量是無偏估計量。(2)是一致估計量(假設樣本數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xN-1之間不存在相關性)。由上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

可得估計量的方差為上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

估計量的均方誤差為則其極限所以該估計量也是一致估計量,這種情況適用于當樣本數(shù)據(jù)內部不相關時,這時這種方法是一種好的估計方法。但如果內部數(shù)據(jù)存在關聯(lián)性,會使一致性的效果下降,估計量的方差比數(shù)據(jù)內部不存在相關的情況下的方差要大。上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

7.1.2方差的估計1.方差的最大似然估計若對高斯信號X(t)的采樣是獨立的,則{X(n)}就是獨立的高斯隨機序列,實驗測得的一組樣本x0,x1,x2,…,xN-1也可看作是相互獨立的高斯隨機變量。則由解出方差的最大似然估計量。上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

(1)若均值mX已知,則最大似然估計量為(2)若均值mX未知,則最大似然估計量為上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

2.估計值的評價(假設樣本數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xN-1之間不存在相關性)(1)是有偏估計量。上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

則為有偏估計量,但當N→∞時,由于則為漸近無偏的。(2)是一致估計量?？赏茖ёC明估計量的均方誤差為因為其極限所以是一致估計量。上一頁下一頁返回7.1隨機信號時域特征的估計

以上由關于{Xn}為高斯分布的假設,導出了均值、方差的最大似然估計量,當未知{Xn}的密度函數(shù)形式,或不是高斯分布時,也常用上面的估計方法,此時均值估計量仍為無偏一致估計量,而方差估計量仍為漸近無偏一致估計量。但對有限樣本來講,它們不再是最大似然估計,從而不能保證是最佳的了。上一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計7.2.1直接估計法它也是根據(jù)定義但用有限樣本來估計,根據(jù)定義對零均值平穩(wěn)過程X(t)采樣得到隨機序列{X(n)},其自相關函數(shù)為由實驗手段測得{X(n)}的一組樣本數(shù)據(jù)x0,x1,x2,…,xN-1估計的方差也就是零滯后自相關函數(shù)RX(0)的估計量下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

注意:(1)當原過程X(t)為獨立高斯過程時,該估計量為最大似然估計量。(2)當{X(n)}中各Xi獨立但非高斯分布時,為漸近無偏一致估計量。(3)當{X(n)}中各Xi之間不獨立時,往往也采用這樣的估計量,嚴格來說這時的估計量已不再是最佳的,甚至可能不再是漸近無偏一致估計量了。上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

若對的估計方法推廣至非零滯后自相關函數(shù)RX(m)的估計估計量求和的項數(shù)一般小于N,特別是當m很大時,參加求和的乘積項將非常少。當m≥N時,。因而,令m≥N時的自相關函數(shù)為零,即上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

因此,自相關函數(shù)的估計量為估計量的評價:(1)是漸近無偏估計。上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

由上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

所以是漸近無偏估計。偏移是m的函數(shù)。為了使估計無偏,可采用下面的公式估計(2)是一致估計量?？梢宰C明,當N→∞時,的方差趨于0。上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

一般情況下這一結論的證明是比較復雜的。當原過程的X(t)是高斯過程時,可以導出下列方差的近似公式:可以證明此式對一般的非高斯過程也是近似成立的。因為盡管N→∞,但是當i→±∞時,RX(i)→0。即Σ號內僅有有限項存在,則上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

7.2.2其他相關函數(shù)的估計自協(xié)方差函數(shù)估計為互相關估計為上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

這里m=0,1,…,N-1?；f(xié)方差估計為這些估計的質量和自相關估計的質量類似。上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

7.2.3相關技術的應用相關技術是一項基本的處理方法。下面簡要介紹它的一些應用。1.從噪聲中檢測信號當觀測到的序列{xn}中包含被噪聲{nn}淹沒的信號{sn}時,如果信號和噪聲不相關,而且對信號的波形已有先驗知識,則只要對{sn}和{xn}作互相關就能檢測出信號{sn}是否存在。設則上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

可見所得結果是信號的自相關函數(shù),因此根據(jù)處理結果可以判斷信號是否存在。如果沒有信號的先驗知識,只知道它是周期性的,就可以對觀測序列{xn}作自相關估計由于噪聲的自相關函數(shù)在m加大時一般會趨于零,周期信號的自相關也是周期的。因此,只要把延遲取得足夠大,Rn

(m)≈0,則Rx

(m)=Rs

(m)。根據(jù)處理的結果,可判斷信號是否存在,又可估計出信號的周期。上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

2.估計兩個相似信號的時間延遲設yn是xn的延遲,yn=xn-n0,則Rxy(m)在m=n0時達到最大。因此,找到互相關函數(shù)的最大值時的延遲n0就是兩個波形間的延遲時間。3.用于系統(tǒng)的辨識系統(tǒng)辨識是在對某系統(tǒng)不知其結構的情況下,如果要確定該系統(tǒng)的沖激響應h(t),可以利用互相關函數(shù)和互譜之間的關系來測試系統(tǒng)的單位沖激響應函數(shù)。將白噪聲作為系統(tǒng)的輸入n(t),測量系統(tǒng)的輸出x(t),于是求得n(t)和x(t)的互相關函數(shù)上一頁下一頁返回7.2自相關函數(shù)的非參數(shù)估計

由于白噪聲的自相關函數(shù)而所以將a(t)通過一個低通濾波器,可獲得線性系統(tǒng)單位沖激響應h(t)。上一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計7.3.1周期圖譜估計周期圖法也稱直接法,這是定義在功率譜定義的基礎上的。先求N點數(shù)據(jù)的離散時間傅里葉變換X(ejω),再取其幅頻特性平方乘以作為功率譜估計,稱為周期圖。即用計算機作處理時,X(ejω)可以通過DFT來求。下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

7.3.2間接法譜估計間接法譜估計也稱為自相關法,其是建立在維納-辛欽定理的基礎上。先對N點數(shù)據(jù)作自相關估計,共得2N-1點估計值,然后對它作傅里葉變換,便得功率譜估計如下:上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

可以證明周期圖法和間接法途徑所得結果是一致的。證明:定義式中,上標N表示為N點序列。由于上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

而是的自相關函數(shù),因此有因此,由傅里葉變換的卷積定理有上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

用計算機進行處理時數(shù)組的序號必須按上述要求正確定義,兩種方法才能取得一致結果。另外,實際工作中應用自相關時往往取最大延遲值[因為m越大)的估計偏差也越大],此時兩種方法得出的結果當然也不會一致。還要注意,所得結果是按歸一頻率給出的。它和實際頻率間的關系是,歸一頻率序號k相當于實際頻率(fs是數(shù)據(jù)的采樣頻率)。上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

7.3.3估計質量的評價1.均值從均值上看,估計是有偏的,但是漸近無偏的。分析如下。由于數(shù)據(jù)長度有限,所以譜估計的均值不是RX(m)的傅里葉變換,而是RX(m)和一個三角形窗口相乘后的傅里葉變換。此點可如下說明:上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

因此可得式中上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

如圖7.3所示,是一個三角形窗口。因此,根據(jù)頻域的卷積定理,又可以表示為式中,VN(ω)是vN(m)的離散時間傅里葉變換,其解析式是上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

由此可見,用經(jīng)典法所得譜估計的均值有以下特點:(1)(ω)是GX(ω)的有偏估計。從時域上看,這是由于真實自相關函數(shù)被乘以窗口vN(m)所造成的。從頻域上看是由于真實功率譜被譜窗口VN(ω)所卷積。(2)當N→∞時,VN(ω)趨于δ函數(shù)[ω=0時,VNω→∞,其余各ω處VNω=0,且VN(ω)的積分等于1]。因此估計是漸近無偏的,因為δ函數(shù)與任意函數(shù)的卷積仍得該函數(shù)。上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

2.方差方差的一般分析比較困難,因此以下只對白色高斯過程做分析,不過所得結論對一般情況也有一定的普遍意義。這些結論是:(1)無論如何加大N,功率譜估計也不是一致估計。其方差的數(shù)量級在σ4X(σ2X是數(shù)據(jù)xn的方差)。(2)功率譜上頻率相距為2πN整數(shù)倍的各點估計值是互不相關的。因此估計結果沿頻率軸起伏比較劇烈,而且N越大,2πN越小,因此表現(xiàn)出的起伏程度越嚴重。為了說明上述特點,我們從推導兩個不同頻率ω1、ω2處估計值的協(xié)方差入手分析,因為這既能說明不同頻率處的起伏關系,又能說明每一點的方差特性(只要令ω1=ω2即可)。上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

可證明協(xié)方差的特性是上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

7.3.4經(jīng)典譜估計的改進經(jīng)典的兩種功率譜估計法是由傅里葉變換作為理論基礎的,一種是19世紀末由舒斯特(Schuster)直接利用傅里葉級數(shù)去擬合某類信號時所提出的周期圖法,又稱直接法。另一種是由布萊克曼-圖基(Blackman-Tukey)運用平穩(wěn)過程的維納-定理,由采樣數(shù)據(jù)序列間接得到的功率譜估計法,又稱間接法。由于不管觀測數(shù)據(jù)中N多大,直接、間接方法得出的估計均非理想的估計,它們的主要缺陷為:上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

(1)弱信號被強信號的旁瓣所淹沒;(2)分辨率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù),導致分辨率不高;(3)頻譜存在旁瓣,導致出現(xiàn)“泄漏”現(xiàn)象而使主瓣失真。(1)平均。此法的基本思路是將整個長數(shù)據(jù)N分成K段,每段對每一段分別估計其功率譜,然后求其平均值作為最后的譜估計。理論上,如果各段數(shù)據(jù)是互相獨立的,則求平均值后估計值的均值不變,仍等于每段估計的均值,但可以使估計值的方差減小到每段估計值方差的上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

(2)平滑。由上可見,平均周期圖法功率譜估計方差的減小是以增大偏移和降低分辨率為代價得來的。實際中降低譜估計方差還有一種方法,它是用一適當?shù)墓β首V窗函數(shù)W(ejω)與周期圖進行卷積而使周期圖平滑,故稱為周期圖平滑法,又稱為窗函數(shù)法。上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

方法是作出自相關估計后先用適當?shù)拇昂瘮?shù)和它相乘,然后再作傅里葉變換,得出最后的功率譜估計上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

式中,上標SM代表平滑后的譜估計,上標N、M代表原始數(shù)據(jù)的點數(shù)。從頻域上看,這一步驟的含義是用wM(m)的離散時間傅里葉變換WM(ω)與的離散時間傅里葉變換(也就是周期圖)相卷積作為平滑后的功率譜估計式中上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

卷積的效果是使周期圖得到平滑。只要窗函數(shù)選擇合適,就可以減少泄漏效應,使旁瓣降低及譜平滑,從而使偏移與方差減小,但這種方法也是以窗函數(shù)主瓣變寬為代價的,因此,功率譜估計分辨率降低。(3)修改的周期圖求平均法(Welch法)。這是應用得很廣的實用程序,性質上屬于平均法,但也吸收了平滑法的特點。把數(shù)據(jù)段后先對每段數(shù)據(jù)在時域上乘以窗函數(shù),然后再作傅里葉變換。這種方法先如平均周期圖那樣,把N個數(shù)據(jù)序列分成每段M個數(shù)據(jù)的K個區(qū)段,即N=KM,然后如窗函數(shù)法那樣,把窗函數(shù)w(n)加到數(shù)據(jù)區(qū)段上,得出修正的周期圖,再上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

將修正的周期圖求平均,作為功率譜估計。如果允許各段數(shù)據(jù)交疊,則段數(shù)K可以更多,有利于進一步減小平均后的方差。定義K個修正的周期圖為式中功率譜估計為上一頁下一頁返回7.3功率譜的經(jīng)典估計

為使功率譜估計是漸近無偏的,式中歸一化因子是不可少的。此算法有兩個問題需要稍加說明:①平滑法中窗函數(shù)是加在自相關估計上,而Welch法中窗函數(shù)則是直接加在數(shù)據(jù)上的。②求平均時引入歸一化算子的目的是使功率譜估計成為漸近無偏的估計。上一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計經(jīng)典功率譜估計方法的方差性能較差,分辨率較低。方差性能差的原因是無法實現(xiàn)功率譜原始定義中的求均值和求極限的運算。分辨率低的原因,對周期圖法是假定了數(shù)據(jù)窗以外的數(shù)據(jù)全為零,對自相關法是假定了在延遲窗口以外的自相關函數(shù)全為零,這在頻域里相當于引入了一個與之卷積的sinc函數(shù)。由于sinc函數(shù)主瓣不是無限窄,主瓣寬度反比于數(shù)據(jù)記錄長度N,而在實際中一般又不可能獲得很長的數(shù)據(jù)記錄。如果原來真實的功率譜是窄的,那么與主瓣卷積會使功率譜向附近頻率擴展,使得信號模糊,降低了分辨率,可見主瓣越寬分辨率越差,嚴重時,會使主瓣產(chǎn)生很大失真,甚至主瓣中的弱分量會被旁瓣中的強泄漏所掩蓋。下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

為了克服以上缺點,人們提出了平均、加窗平滑等方法,在一定程度上改善了經(jīng)典譜估計的性能。但是,經(jīng)典方法始終無法解決頻率分辨率和譜估計穩(wěn)定性之間的矛盾,特別是在數(shù)據(jù)記錄很短的情況下,這一矛盾顯得尤為突出。從20世紀60年代中期開始出現(xiàn)的譜估計的參數(shù)模型法就完全去除了上述的隱含假設。一般地,都在人們獲知被估計的隨機信號某些先驗統(tǒng)計知識條件下,對其做出合理的假定。上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

7.4.1AR、MA、ARMA模型在第4章的討論中我們已經(jīng)知道,任何具有有理功率譜密度的隨機信號都可以看成由一白噪聲w(n)激勵一物理網(wǎng)絡所形成。如果能根據(jù)已觀察到的數(shù)據(jù)估計出這一物理網(wǎng)絡的物理參數(shù),就不必認為N個以外的數(shù)據(jù)全為零,這就有可能克服經(jīng)典譜估計的缺點,如由這個模型來求功率譜估計,可望得到比較好的結果。參數(shù)模型譜估計的思路如下:(1)假定所研究的過程x(n)是由一個輸入序列u(n)激勵一個線性系統(tǒng)H(z)的輸出。(2)由已知的x(n),或其自相關函數(shù)來估計H(z)的參數(shù)。上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

(3)由H(z)的參數(shù)來估計x(n)的功率譜。眾所周知,對一個研究對象建立數(shù)學模型是現(xiàn)代工程中常用的方法,它一方面使所研究的對象有一個簡潔的數(shù)學表達式,另一方面,通過對模型的研究,可得到更多的參數(shù),也可使我們對所研究的對象有更深入的研究。u(n)和x(n)總有如下的輸入、輸出關系及上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

對上兩式分別取z變換,并假定b0=1,可得式中上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

為了保證H(z)是一個穩(wěn)定的且是最小相位的系統(tǒng),A(z)、B(z)的零點都應在單位圓內。假定u(n)是一個方差為σ2的白噪聲序列,由隨機信號通過線性系統(tǒng)的理論可知,輸出序列x(n)的功率譜為這樣,如果激勵白噪聲的方差σ2及模型的參數(shù)a1,a2,…,ap;b1,b2,…,bq已知,那么由上式可求出輸出序列x(n)的功率譜。基于模型的功率譜估計方法大體上可按下列幾個步驟進行:上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

(1)選擇一個合適模型。(2)用已觀測到的數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)。(3)將模型參數(shù)代入功率譜的計算公式就可得到功率譜估計。由以上討論可知,用模型法作功率譜估計,實際上要解決的是模型的參數(shù)估計問題,所以這類譜估計方法又統(tǒng)稱為參數(shù)化方法。7.4.2AR模型譜估計法上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

由前面討論可知,p階AR模型的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)為上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

模型輸出的功率譜則為若已知參數(shù)a1,a2,…,ap及σ2,就可以得到信號的功率譜估計?，F(xiàn)在我們研究這些參數(shù)與自相關函數(shù)的關系。將AR模型的差分方程代入x（n）的自相關函數(shù)表達式,得上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

按前式,x（n）只與u（n）相關而與u（n+m）獨立,故將m=1,2,…,p代入上式,并將兩式合并后寫成矩陣形式,得上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

上式就是AR模型的Yule-Walker方程。對于實序列,由于RX（-m）=RX（m）,因此只要已知或估計出p+1個自相關函數(shù)值,可由該方程解出p+1個模型參數(shù)（a1,a2,…,ap,σ2）,根據(jù)這些參數(shù)即可得到隨機信號的功率譜估計。7.4.3LD遞推譜估計法從以上討論可知,AR模型可歸結為利用Yule-Walker方程求解AR系數(shù)a1,a2,…,ap,σ2。但直接以Yule-Walker方程求解這些參數(shù)還較麻煩,因為需作p階矩陣求逆運算,當p較大時,運算量很大,而且當模型階數(shù)增加一階、矩陣增大一維時,還得全部重新計算,因此有必要尋找更簡便的計算方法。上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

Levinson-Durbin對Yule-Walker方程提出了高效的遞推算法,它利用自相關矩陣的對稱性和Toepltz性質。該算法運算量的數(shù)量級為p2,它首先以AR(0)和AR(1)模型參數(shù)作為初始條件,計算AR(2)模型參數(shù),然后根據(jù)這些參數(shù)計算AR(3)模型參數(shù),一直到計算出AR(p)模型參數(shù)為止。Levinson-Durbin算法的關鍵是要推導出由AR(k)模型的參數(shù)計算AR(k+1)模型的參數(shù)遞推計算公式。下面根據(jù)AR(1)、AR(2)、AR(3)各階模型的Yule-Walker方程的求解結果歸納出一般的迭代計算公式:一階AR模型的Yule-Walker矩陣方程為上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

解方程中的未知參數(shù)a11和σ21然后從二階AR模型的矩陣方程上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

得到AR(2)參數(shù)為上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

以此類推得遞推公式因此,Levinson-Durbin遞推公式大體是先估計出自相關函數(shù),然后根據(jù)上式進行遞推得到AR(k)的各參數(shù)值,直至所需的階數(shù)為止。上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

7.4.4AR模型階數(shù)選擇原則用AR模型來擬合一個隨機信號,模型的階數(shù)需要適當選擇。一般來說,AR模型的階數(shù)預先是不知道的。前面已經(jīng)提到AR譜估計方法與線性預測誤差濾波器等效,由于為誤差功率,。由以上討論也可知,。而在Levinson算法的遞推計算過程中,如果則AR(p)模型一定是穩(wěn)定的。這等效于線性預測誤差濾波器的傳遞函數(shù)的所有極點都在單位圓內。如果信號的正確模型是p階AR模型,則當k=p時,均方誤差值已滿足實際要求,這時已無須繼續(xù)迭代下去。上一頁下一頁返回7.4現(xiàn)代譜估計

若階選擇太低,低于要擬合信號的實際階數(shù)時,形成的功率譜受到的平滑太厲害,平滑后的譜可能已經(jīng)分解不出真實的兩個峰了;若階選擇過高,這時雖