第一章

三角形的證明1.5.2三角形的角平分線01教學目標02知識回顧03問題導(dǎo)入04探究新知05課堂練習06課堂小結(jié)07作業(yè)布置01教學目標

通過對角的平分線性質(zhì)定理和判定定理的理解，能運用定理熟練推導(dǎo)出三角形中角平分線的性質(zhì)。01

能準確的說出三角形三邊垂直平分線與角平分線交點性質(zhì)的區(qū)別.02

通過小組成員的合作交流學習，學生能夠運用角平分線的性質(zhì)定理及判定定理，靈活解決實際問題．

0302復(fù)習導(dǎo)入角平分線角平分線性質(zhì)定理角平分線判定定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.∵P在∠AOB的內(nèi)部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OP平分∠AOB.文字語言符號語言02復(fù)習導(dǎo)入如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(課本第38頁例題2）(1)如果CD=4cm,AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.EDABC02復(fù)習導(dǎo)入解：(1)∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=CD=4

又∵AC=BC∠C=90°

∴∠B=45°∴∠BDE=45°∴BE=DE=4（等角對等邊）在等腰RT△BDE中，由勾股定理得EDABC02復(fù)習導(dǎo)入EDABC(2)證明：∵DE⊥AB,DC⊥AC

∴在Rt△ACD和Rt△AED中

DE=CD

AD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE( 全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD03問題導(dǎo)入如圖，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在什么地方？04新知探究問題（1）觀察三個三角形的形狀？它們分別代表什么三角形？問題（2）觀察三條角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？問題（3）通過觀察思考，你能得出什么結(jié)論？1：分別作出△ABC的三條角平分線

04新知探究發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點.

并且這點到三邊的距離相等04新知探究已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線．BM、CN相交于點P，證明：P點在∠BAC的角平分線上．且PD=PE=PF04新知探究證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC平分線，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)．∴△ABC的三條角平分線相交于點,且PD=PE=PF04新知探究定理:三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.幾何語言如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF.注:三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心.04新知探究三角形三邊的垂直平分線的交點與三條角平分線的交點有什么不同?三條邊的垂直平分線三個角的平分線銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三角形三個頂點的距離相等（外接圓圓心）到三角形三邊的距離相等（內(nèi)接園圓心）03新知探究問題解決：如圖，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在什么位置？P由于三角形三條角平分線的交點到三邊的距離相等。所以作三角形的角平分線.其交點P就是涼亭的位置，如圖所指示.04課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：1．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（

）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：52．△ABC的兩條角平分線AD，BE相交于點F，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．BD=DC B．BE⊥ACC．FA=FB D．點F到三角形三邊的距離都相等CD04課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：3．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，AD過點P，且與AB垂直．若AD=8,BC=10，則△BCP的面積為（

）A．16B．20C．40D．804、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD=2CD,點D到AB的距離是5.6，則BC=

.C16.804課堂練習【知識技能類作業(yè)】必做題：5.△ABC的兩條角平分線AD，BE相交于點F，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．BD

=DCB．BE⊥ACC．FA

=FBD．點F到三角形三邊的距離都相等6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊AC、AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60DB04課堂練習【知識技能類作業(yè)】選做題：7．如圖，鈍角三角形△ABC的面積是20，最長邊BC=10，CD平分∠ACB，點P，Q分別是CD，AC上的動點，則AP+PQ的最小值為（

）A.2B.3C.4D.5C解答提示：過A點作BC的垂線交BC于E，交CD于P,過P點作AC的垂線交AC于Q點,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直線最短）.△ABC的面積是20，最長邊BC=10，底邊上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4.04課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】8.如圖所示，已知BD為∠ABC的平分線，AB＝BC，PM⊥AD于點M，PN⊥CD于點N．求證：PM=PN解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD，AB=BC,BD=BD在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．04課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，過O點引射線OF交BA延長線于F點．過B點作BE⊥OF于E點、分別交AD、A于點G，H．(1)求證：(2)若AH=AG；①判斷BE是否是△CBF的角平分線，并說明理由；②說明．BH=2OE

04課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】(1)證明：∵BE⊥OF于E點，∴∠BEO=90°，∴∠BAO=90°=∠BEO∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE，∴∠ABH=∠AOF在△ABH和△AOF中∠ABH=∠AOF∠BAH=∠OAF=90°AB=AO04課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】(2)解：①BE是△OBF是角平分線．理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD∵AD⊥BO于D點，∴∠GBD+∠BGD=90°，∵∠BAO=90°，∴∠ABH+∠AHB=90°，∴∠GBD=∠ABH，∴BE是△OBF是角平分線．04課堂練習【綜合拓展類作業(yè)】②證明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF，∵BE是△OBF是角平分線，∴∠ EBO=∠EBF在△BOE和△BFE中∴△BOE≌△BFE(AAS)∴EF=OE=∴BH=2OE．∠EBO=∠EBF∠BEO=∠BEF=90°BE=BE課堂總結(jié)三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.三角形角平分線定理幾何語言如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF.06作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：1．下列命題是真命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補B．任意一個等腰三角形一定是鈍角三角形C．兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等2、△ABC的外角平分線CE、BD相交于點P,P到AB的距離是3，則P到AC的距離是（

）A.1B.2C.3D.4DC06作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：3．如圖，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理順序是（

）①作射線OC；②在射線OA和OB上分別截取OD、OE，使OD=OE；③分別以D、E為圓心，大于

的長為半徑在∠AOB內(nèi)作弧，兩弧交于點C．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②C06作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】必做題：4.如圖：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,則DE=

.5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D是OC上的一點，過D作直線DE⊥OA,垂足為E,且直線DE交OB于F,若DE=2,則DF=

.6.如圖P是∠AOB的角平分線OC上的一點，PN⊥OB，M是線段ON上的一點，已知OM=3,ON=4,點D是OA上的一點，若滿足PD=PM，則OD=.143或506作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】選做題：7.如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于點O，連接OA．下列結(jié)論：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正確結(jié)論的是__________．①②④06作業(yè)布置【知識技能類作業(yè)】選做題：解答提示：證△ABE≌△ACD,全等三角形的對應(yīng)邊相等，故①正確；根據(jù)△ABE≌△ACD的對應(yīng)角相等，結(jié)合直角三角形兩銳角互余，故②正確；過A分別作BE、CD的垂線交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它們的面積相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根據(jù)角平分線的判定定理故④正確；假設(shè)③正確，根據(jù)ASA證明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正確。所以正確的答案是：①②④MN06作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】8.如圖，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于點D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+∠A;③點O到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)OD=m,AE+AF=n則

，其中正確的有（

）。A.①②③B.①②④

C.②③④D