第第頁湖南省益陽市2024-2025學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．直線x+3A．?3 B．?33 C．3【答案】B【解析】【解答】解：x+3y?2=0的斜率為故答案為：B.【分析】根據(jù)轉化法得出直線x+32．過點P?1,3且與直線x?2y?3=0A．x?2y+7=0 B．x?2y?7=0 C．2x+y?1=0 D．2x+y+1=0【答案】A【解析】【解答】解：設與直線x?2y?3=0平行的直線可設為x?2y+t=0，

因為點P?1,3在x?2y+t=0所以?1?2×3+t=0?t=7，

則所求直線方程為x?2y+7=0.故答案為：A.【分析】與直線x?2y?3=0平行的直線可設為x?2y+t=0，再代入點P?1,3得出t的值，從而得出過點P?1,3且與直線3．已知兩個向量a=x,2,?1,A．?5 B．?1 C．1 D．5【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)a=x,2,?1,b=1,?2,1,a⊥故答案為：D.【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算和已知條件，從而得出x的值.4．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,A．36 B．64 C．72 D．88【答案】C【解析】【解答】解：由S6?S4=a5可得d=a10-a1故答案為：C.【分析】根據(jù)數(shù)列通項和數(shù)列前n項和的關系，結合等差數(shù)列的通項公式和已知條件，從而得出等差數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列前n項和公式，從而得出S85．已知雙曲線C:x2aA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【解析】【解答】解：因為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0故答案為：A.【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程得出雙曲線漸近線的斜率，利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而得出ba6．已知圓C:x2+y2=25.過點P?2,2的直線l與CA．x+y=0 B．x?y=0 C．x+y?4=0 D．x?y+4=0【答案】D【解析】【解答】解：因為圓C:x2+y2=25的半徑為R=5，設原點到直線l的距離為可知當d最大時弦AB的長最短，

所以當直線l⊥OP時，弦AB的長最短，

設直線l的斜率為k，

則k?kOP=?1，

因為P?2,2，所以kOP所以，直線l的方程為y?2=x+2?x?y+4=0.故答案為：D.【分析】當直線l⊥OP時，弦AB的長最短，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，即k?kOP=?1，從而得出當弦AB7．在四面體O?ABC中，M、N分別是棱OA、BC的中點，P是MN的中點，設OA=a，OB=b，A．12a+C．14a+【答案】C【解析】【解答】解：因為N為BC的中點，

所以BN=NC，

則所以，ON=因為P、M分別為MN、OA的中點，同理可得OP=故答案為：C.【分析】利用中點的性質、三角形法則和空間向量基本定理，從而得出OP關于a、b、c的表達式.8．已知點A?1,0、B1,0及直線l:y=kx+2，如果l上有且僅有3個點Pii=1,2,3，使得A．3 B．±3 C．1 D．【答案】B【解析】【解答】解：當∠P1AB為直角時，直線P1A的方程為x=?1當∠P2BA為直角時，直線P2B的方程為x=1由題意，可知在直線l上有且只有一個點P3，使得∠AP3B為直角，此時，OP3=12AB=1，

則直線l與圓x2所以，直線l的一般方程為kx?y+2=0，

則2k2+1故答案為：B.【分析】對∠P1AB各內角為直角進行分類討論，再利用直線與圓的位置關系判斷方法，從而判斷出直線l二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9．已知直線l:x?y+2A．l的傾斜角為πB．l在y軸上的截距為2C．原點到l的距離為1D．l與坐標軸圍成的三角形的面積為2【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于選項A：因為直線的傾斜角為α，斜率k=1，

所以tanα=1，

由α∈0,π對于選項B：令x=0,則y=2,

所以，直線l在y軸上的截距為對于選項C：因為原點到l的距離為d=2對于選項D：因為直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為12故答案為：ABC.【分析】利用直線的傾斜角與直線的斜率的關系和直線的傾斜角的取值范圍，則判斷出選項A；利用直線的截距判斷出選項B；利用點到直線的距離公式判斷出選項C；利用直線與坐標軸的圍成的面積結合三角形的面積公式，則判斷出選項D，從而找出正確的選項.10．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且A．an=2C．Sn+1=Sn【答案】A,B【解析】【解答】解：因為a1=1,an+1=2an+1，

所以an+1+1=2a因為數(shù)列an的前n項和為=2+因為Sn+1令cn=log2a故答案為：AB.【分析】利用an+1+1=2an+1和等比數(shù)列的定義，則判斷出數(shù)列an+1是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列a11．在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．在線段AD1上存在一點GB．三棱錐A?EFD1C．GE與平面AFD1D．若AC1⊥平面EFG，則平面EFG與正方體【答案】B,C,D【解析】【解答】解：在棱長為1的正方體ABCD?A則A(1,0,0),D1(0,0,1),C1對于A，因為AE=(?12,1,0),GC1=(t?1,1,1?t)，當t≠1時，GC1與對于B，因為AD1=(?1,0,1),AF=(0,1,12則n?AD1=?x+z=0n?AF=y+12z=0，

令|AD1|=所以sin∠D1AF=因此三棱錐A?EFD1的體積對于C，因為GE=(t?12,1,?t)，

設GE與平面AFD1所成的角為θ，

則sinθ=23對于D，因為AC1=(?1,1,1)，

取DC中點H(0,12,0)，過點E,F,H的平面截正方體AC1的截面為正六邊形EFHIJK，所以AC1⊥EH,AC1⊥EF，

又因為EF∩EH=E，EF,EH?平面EFHIJK，

所以因此AC1⊥平面EFG，

則截面正六邊形EFHIJK故答案為：BCD.【分析】利用已知條件建立空間直角坐標系，再利用向量共線的坐標表示，則判斷出選項A；利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系和數(shù)量積的坐標表示，從而求出平面AFD1的法向量，利用數(shù)量積求出點到平面距離，再結合余弦定理、同角三角函數(shù)基本關系式和三棱錐的體積公式，則判斷出選項B；利用正弦函數(shù)的定義和函數(shù)求最值的方法，則得出直線GE與平面AFD1所成角的余弦值的最小值，則判斷出選項C；取DC中點H并作出過點E,F,H的截面正六邊形，再證明AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知兩個向量a=?1,2,0,b【答案】3【解析】【解答】解：a故答案為：3.【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量求模公式，從而得出a→13．已知圓C:(x+1)2+y2=4，直線l:3x+4y?3=0與C交于【答案】48【解析】【解答】解：因為圓C:(x+1)2+y2所以，圓心到直線的距離為d=?3?3則弦長|AB|=2r所以S△ABC故答案為：4825【分析】根據(jù)弦長公式和點到直線的距離公式，從而得出弦AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式得出△ABC的面積.14．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1的左右焦點分別為F1?2,0,F22,0，過F2的直線l與E的右支交于P,Q兩點，P【答案】2【解析】【解答】解：因為△PAF2的內切圓與邊AF2相切于點B，如圖，由切線長定理，

可知|PM|=|PN|，|F2B|=|因為A在y軸上，所以|AF則|P=|AM|+|AF所以a=1，c=2，b2則雙曲線E的方程為：x2如圖，設兩內切圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1再設PF1，PF2，F(xiàn)1F2由切線長定理，得|P=|PR|+|TF又因為TF1|+|T所以T是雙曲線的右頂點(a,0)，O1T⊥x軸，則O1同理可得O2的橫坐標為a，則|T設直線PQ的傾斜角為θ，

由雙曲線漸近線為y=±3x，傾斜角分別為要使直線PQ與雙曲線的右支交于兩點，

則θ∈(π3,在Rt△O1則r1=tan因為θ2∈(π6,π3當且僅當1tanθ2故答案為：2.【分析】先結合雙曲線的定義、圓的切線長定理得出a、b的值，則得出雙曲線E的標準方程，再結合三角形內切圓性質得出|TF2|的值，設直線的傾斜角為θ，則θ∈(π3,2π3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且2a（1）求an（2）若bn=2an【答案】（1）解：設等差數(shù)列an公差為d，

則2a2+a4=3所以數(shù)列an的通項公式是a（2）解：由題意知bn=2an所以，數(shù)列bn是首項為b1=2又因為Tn=b1+【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列an公差為d，根據(jù)題意得出關于a1、d的方程組，從而解出a1、d（2）利用數(shù)列an的通項公式求出數(shù)列bn的通項公式，利用等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列bn（1）設等差數(shù)列an公差為d，則2a2+a所以數(shù)列an的通項公式是a（2）由題意知bn=2數(shù)列bn是首項為b1=2又因為Tn=b16．已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點A（1）求焦點F的坐標及m的值；（2）設C的準線與x軸的交點為B，求過A,B,F三點的圓的方程.【答案】（1）解：由題意，可得焦點F的坐標為1,0，因為點Am,m在C上，

∴解得m=0（舍去），

所以m=4.（2）解：由拋物線C:y2=4x，

可得準線方程為x=?1，

所以B?1,0，設過A,B,F三點的圓的方程為x2代入點A4,4,B?1,0,F1,0解得D=0,E=?31所以，過A,B,F三點的圓的方程為x2+y2【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線標準方程得出焦點坐標，再利用代入法得出m的值.（2）利用拋物線標準方程得出準線方程，從而得出點B的坐標，再利用（1）得出點A的坐標，再設圓的一般式方程，最后代入三點坐標得出過A,B,F三點的圓的方程.（1）由題意可得焦點F的坐標為1,0.點Am,m在C上，∴解得m=0（舍去），m=4.（2）由拋物線C:y2=4x可得準線方程為x=?1，所以，B設過A,B,F三點的圓的方程為x2代入點A4,4,B?1,0解得D=0,E=?31所以，過A,B,F三點的圓的方程為x2+y17．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2,AA（1）若A1E=2EA，求證：（2）若E為A1A的中點，求平面EBC【答案】（1）證明：∵正三棱柱ABC?A1B1C∵△ABC為正三角形，D為AC中點，

∴BD⊥AC，因為平面ACC1A1∩平面ABC=AC,∴BD⊥平面ACC1∴BD⊥ED，∵A所以，ED∴C又因為BD∩C1D=D,BD,C1D?平面BDC（2）解：以D為坐標原點，以DB,DC及過D點且垂直平面ABC的垂線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則D0,0,0所以DB設平面DBC1的一個法向量為則m?DB=0設平面EBC1的一個法向量為則m?EC∴cos∴平面EBC1與平面DBC【解析】【分析】（1）根據(jù)正三棱柱和面面垂直的性質定理以及正三角形三線合一，從而得出線線垂直，利用線線垂直證出線面垂直，利用線面垂直的定義可得BD⊥ED，再根據(jù)向量共線定理和勾股定理證出ED⊥C1D，最后由線線垂直證出線面垂直，即證出ED⊥（2）利用已知條件建立空間直角坐標系，則得出點的坐標和向量的坐標，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關系和數(shù)量積的坐標表示，從而得出平面DBC1的一個法向量和平面EBC1的一個法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面（1）證明：∵正三棱柱ABC?A1B1C∵△ABC為正三角形，D為AC中點，∴BD⊥AC.又平面ACC1A1∩平面ABC=AC,∴BD⊥平面AC∴BD⊥ED.∵A所以，ED∴C又BD∩C1D=D,BD,C1D?平面（2）以D為坐標原點，以DB,DC及過D點且垂直平面ABC的垂線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則D0,0,0DB設平面DBC1的一個法向量為則m?DB=0設平面EBC1的一個法向量為則m?EC∴∴平面EBC1與平面DBC18．已知橢圓E:x2a2+y2（1）求E的方程；（2）設A,B分別是E的左頂點，上頂點，與直線AB平行的直線l與E交于M,N兩點.①若以線段MN為直徑的圓與直線AB相切，求l在y軸上的截距；②當直線AM,BN斜率存在時，分別將其記為k1,k【答案】（1）解：由題意，可知1解得a2則橢圓E的方程為x2（2）①解：由題意，知A?2,0,B0,1，

則直線AB設平行于直線AB的直線l的方程為y=12x+m聯(lián)立y=12x+mx24+則Δ=4m2-42設直線l與橢圓E的交點坐標為Mx∴x所以MN=5又因為直線l與直線AB的距離d=2?2m由以線段MN為直徑的圓與直線AB相切，得MN=2d則52?解得m=16±56641，

所以，直線l在y軸上的截距為16±566②證明：由k==1∴k1?【解析】【分析】（1）利用已知條件和代入法、橢圓的離心率公式、橢圓中a，b，c三者的關系式，從而建立方程組得出a，b，c的值，進而得出橢圓E的方程.（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)弦長公式和點到直線的距離公式，從而列出方程求解得出直線l在y軸上的截距，再根據(jù)兩點求斜率公式結合韋達定理，從而代入k1?k（1）由題意可知1解得a2故E的方程為x2（2）①由題意知A?2,0,B0,1.則直線AB設平行于直線AB的直線l的方程為y=1聯(lián)立y=12x+mx2Δ=4m2設l與橢圓E的交點坐標為Mx∴xMN=5又直線l與直線AB的距離d=2?2m由于以線段MN為直徑的圓與直線AB相切，則MN=2d即52?解得m=16±56641故l在y軸上的截距為16±566②由k==1∴k1?19．若各項均為正整數(shù)的數(shù)列U:a1,a2,?,a（1）若數(shù)列1,a,b,6是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，求出所有的數(shù)對a,b；（2）設數(shù)列bn滿足b1=1，bn>0（3）已知“下凸正整數(shù)數(shù)列”U':a1,a2,?,an,?【答案】（1）解：因為數(shù)列1,a,b,6為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，

所以1+b>2aa+6>2b，

則a+6>2b>4a?2，

可得a<83，

又因為a、b∈N*，

當a=1時，b=2或b=3；當a=2時，不符合題意，

（2）解：數(shù)列bn是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，

理由如下：

因為bn+12=nbn+1+bn2+nbn，

所以，bn+1+bnbn+1?bn?n=0，

對任意的n∈N?，所以，bn+1?bn?n=0，

則bn+1?bn=n，且b1=1.

所以，當n≥2時，b2?b1=1，b3?b2