時(shí)間序列分析

張成思第三章

平穩(wěn)

ARMA模型3.1

移動(dòng)平均過程3.2

自回歸移動(dòng)平均過程3.3

部分自相關(guān)函數(shù)、樣本自相關(guān)

函數(shù)與樣本部分自相關(guān)函數(shù)3.4ARMA模型的建立與估計(jì)23.1

移動(dòng)平均過程3.1.1

MA(1)模型3.

1.1.1MA(1)模型的基本定義與性質(zhì)移動(dòng)平均過程(MAproces)

有時(shí)候也被稱為滑動(dòng)平

均過程，是指將時(shí)間序列過程yt寫成一系列不相

關(guān)的隨機(jī)變量的線性組合，為避免混淆，本書使用

移動(dòng)平均過程的名稱。MA

過

程

最

簡

單

的

形

式

是

一

階移

動(dòng)

平

均

過

程M

A(1)

,

模

型

形

式

為yt=c十ε+θ?

εt-1?利用滯后算子來定義

MA(1)

過程，則式

y?=c+(1+θ?L)ε,MA過程對應(yīng)的序列表現(xiàn)是怎樣的呢yt=e+0.5e;-1圖3

-

1模擬生成的

MA(1)

序

列100兩側(cè)取期望，就可以獲得

MA(1)過程的均值μ=E(y)=E(c

十e,+θ?εz-1)=c3.1.1.2MA(1)過程的方差與自協(xié)方差根據(jù)方差的基本定義，序列y

的方差定義為Yo=E[(y,—E(y))2]=E[(e,+θ?εz-1)2]=(1+02)o2為獲得MA(1)

過程的自協(xié)方差，首先注意到E[(y一μ)(yz-;一μ)]=E[(e,+θ?∈z-1)(ez-;+θ?∈?-;-1)]=E(e?e?-;+θ?ε?-1Ez-;+θ?e,e?-;-1+02ε?-1Ez-;-1)再根據(jù)白噪聲的基本性質(zhì)(彼此獨(dú)立),觀察式(3.5)可以得到下面的結(jié)果：3.1.1.3

MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)MA(1)

過程的自相關(guān)函數(shù)圖32

M

A(1)過程的理論自相關(guān)函數(shù)圖θ?=0.5(a)0.40.20.0-0.2-0.468101214161820θ?=-0.2(c)θ?=2(b)0.40.20.0-0.2-0.42468101214161820θ?=-5(d)3.1.1.4

MA(1)過程的可逆性過滯后算子的一個(gè)有用性質(zhì)，就是如果|

α

|<1(1—aL)-1=1+aL+a2L2+a3L3+

…所以，令α=—

θ?,只要滿足|

θ?

|<1,就可以得到下列關(guān)系：無窮階AR

過程，或?qū)懗葾R(∞)yt=(c—θ?c+θ2c—θ3c+…)+θ?yt-1—θ2yi-2+

…十et現(xiàn)在，將式(3.2)重新寫成以下形式

(1+θ?L)?1(y,—c)=ε,從而可以獲得下列關(guān)系式3.1.2

MA(2)模型3.1.2.1

MA(2)模型的基本定義二階移動(dòng)平均過程，簡記為

MA(2)yt=c十ε+θ?εz-1+θ?

ε;-2利用滯后算子，可以將式重寫y,=c+(1+θ?L+θ?L2)ε,圖3-3M

A(2)過程模擬生成的序列：yt=εt+0.5εt-1+0.3εt-21003.1.2.2MA(2)

過程的均值、自協(xié)方差與自

相關(guān)函數(shù)MA(2)

過程的均值表達(dá)式μ=E(y,)=c進(jìn)而可以得到MA(2)過程的方差表達(dá)式，即Yo=E[(y,-μ)2]=E[(e,+θ?ε?-1+θ?ε1-2)2]=(1+θ2+02)o2根據(jù)自協(xié)方差的定義，可以求得MA(2)過程自協(xié)方差的公式如下：這樣，就可以直接求得MA(2)

過程的理論自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式，即圖3-4

MA(2

)過程的理論自相關(guān)函數(shù)圖3.1.3

MA(q)模型MA(1)模型和

MA(2)

模

型的

更

一

般化的拓展形式，其基本定義yt=c十e+θ?εz-1+θ?

εz-2+…+θ?

εt-q其中，ε:仍然表示白噪聲過程，而θ;(i=1,2,…,q)

代表系數(shù)。與

MA(1)過程和MA(2)過程類似，MA(q)過程的均值為μ=E(c

十ε,+θ?ei-1+θ?

ez-2+…+θ?

εz-q)=c根據(jù)白噪聲的特性，

MA(q)

過程的方差求解也相對比較簡單，即?j>0,那么自協(xié)方差是Y;=E[(y,

一μ)(y-一μ)]=E[(e+θ?Ez-1+θ?εz-2+…+θ?εz-q)(e?_;+θ?E?-;-1+0?ε?-;-2+…+θ?εz;-q)]=E(θ;e2-;+θ;+1θ?e2-;-1+θ;+2θ?e2-;-2+…+θ?θq-;e2-q)?綜合起來，MA(q)過程的自協(xié)方差公式可以j>q下面，依據(jù)式(3.25)就可以得到MA(q)

過程的自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式，即寫成3

.2自回歸移動(dòng)平均過程3.2.1

ARMA(p,q)過程的基本定義一

般的

A

R

MA

(p,q)y?=c+a?yi-1+α2yz-2+…十a(chǎn)pyi-p

十e?+θ?

εz-1+θ?

ε?-2+…+θ?

ε1-q利用滯后算子將式寫成以下形式：(1—a?L—a?L2-…—apLD)y,=c+(1+θ?L+θ?L2+…+θ?L?)e,或者更為簡約的形式，即a(L)y,=c+θ(L)e其中，滯后算子多項(xiàng)式滿足a(L)=1—a?L—a?L2—…—a,L和θ(L)=1+θ?L+θ?L2+

…+θ?L?3.2.2

ARMA(p,q)過程的平穩(wěn)性與可逆性ARMA過程，其平穩(wěn)性要求是1—a?z—a?z2—…-apz=0ARMA(p,q)

過程的可逆條件是方程1+θ?z+θ?z2+…+θ?z?=03.2.3

ARMA(p,q)過程的均值、方差與

自協(xié)方差A(yù)RMA

基本公式兩側(cè)取期望可以得到

ARMA過程

的均值表達(dá)式常數(shù)項(xiàng)c表示均值μ和自回歸系數(shù)的函數(shù)，

然后代入ARMA模型y?-

μ=α1(yi-1一

μ)+α?(yi-2

一μ)+…十a(chǎn)p(yz-p一

μ

)十

(e,+θ?ei-1+θ?εt-2+…+θ?ε1-q)兩側(cè)都乘以(yt-j-

μ)，

并取期望γ_j=E[(y_t-μ)(y_{t-j}-μ)]=E[α1(yt?1?μ)(yt?j?μ)+α2(yt?2?μ)(yt?j?μ)+

…]十a(chǎn)p(y?-p一μ)(yi-;一

μ

)

+(e,+θ?E?-1+0?εz-2+…+θ?Ez-q)(y?-;一μ)]

=a?Y;-1+a?Y;-2+…十a(chǎn)pYj一p+E[(e,+θ?

ε:-1+θ?

ε?-2+…+θ?

εz-q)(y-

;一μ)]=α1Y;-1+a?Y;-2+…+αpY;

一p+E(εtyt?j)+θ1E(εt?1yt?j)+θ2E(εt?2yt?j)+…+θqE(εt?qyt?j)3.2.4

ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)最后一行各項(xiàng)都變?yōu)?Y;=α1Y;-1+a?Y;-2+…

十

apY;一p,j=q+1,q+2,…這樣，當(dāng)j>q時(shí)

，ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)就是P;=α1P;-1+α?P;-2+…

十

apP;

一p,j=q+1,q+2,…這樣，就可以得到而對于j>1

時(shí)的情況有Yo=α?Y?+σ2+θ?(α?+θ?)o2Y?=α?Yo+θ?σ2Y?=α1Y?推導(dǎo)結(jié)P;=α1Pj-1圖3-5

ARMA(1,1)的理論自相關(guān)函數(shù)圖3.2.5

AR模型與MA

模型的互相轉(zhuǎn)化從ARMA模型開始考察α(L)y=c+θ(L)ε,如果將式(3.32)兩側(cè)都乘以a(L)-1,則可以得到下面的等式，即兩側(cè)都乘以θ(L)-1θ(L)?1α(L)y?=θ(L)?1c+et?利用滯后算子的特性更為直觀的形式0(L)yt=c**+ε3.3

部分自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù)

與樣本部分自相關(guān)函數(shù)3.3.1

部分自相關(guān)函數(shù)AR(1)

過程中，yt通過yt-1

與yt-2相關(guān)，盡管yt-

2并沒有直接出現(xiàn)在AR(1)模型中，yt

與yt-2的相關(guān)程度由p2=ρ21給出，即y?=ayz-1+e?=a(ay?-2+e:-1)+e,=a2yz-2+aez-1+e,圖3-

6

AR(1)模型的理論部分自相關(guān)函數(shù)?給定時(shí)間序列變量yt,假設(shè)其均值為μ,第k

期的部分自相關(guān)函數(shù)定義為下面等式中的

系數(shù)φky?

一μ=中k?(y-1一μ

)

+k?(y?-2—μ)+

…十

(yt-kμ)+er注意，式(3.46)等價(jià)于yt=c十中k1yt-1+

中k2y-2+…

十中kyt-k+e,兩側(cè)同乘以(yt-j-μ)并且取期望，可以獲得Y;=

中k?

Y;-1+

中k?

Y;-2+…

十中

Y;—k?矩陣知識(shí)，就可以得到或者可以進(jìn)一步寫成圖3-7AR

模型與

MA模型的部分自相關(guān)函數(shù)比較演示3.3.2

樣本自相關(guān)函數(shù)T表示給定序列yt

的樣本大小，那么樣本均值

等統(tǒng)計(jì)量可以通過以下公式獲得?從而，可以求出樣本自相關(guān)函數(shù)循環(huán)計(jì)算以獲得樣本部分自相關(guān)函數(shù)在其他

各滯后期的值3.3.3樣本部分自相關(guān)函數(shù)樣本數(shù)據(jù)和樣本自相關(guān)函數(shù)的公式3.3.4

應(yīng)用演示(點(diǎn))6000500040003000-20001000-0+199219962000200420082012201620202024圖3-8上海證券綜合指數(shù)：1992年1月—2024年4月I10.9760.976372.410.000I20.951-0.032726.900.000I30.921-0.1211060.10.000I40.8930.0381374.40.000I50.865-0.0191669.70.000I60.833-0.0931944.50.000I70.8030.0182200.40.000I80.768-0.0952435.30.00090.735-0.0012650.90.000I100.701-0.0192847.40.000110.6710.0803028.40.000120.6440.0173195.30.000圖3-9上海綜合指數(shù)的樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本部分自相關(guān)函數(shù)以及Q

統(tǒng)計(jì)量Autocorrelation

Partial

Correlation

AC

PAC

Q-Stat

Prob3-10

上海證券綜合指數(shù)收益率及其樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本

部分自相關(guān)函數(shù)以及Q

統(tǒng)計(jì)量200T-40+199219962000200420082012201620202024160-120-80-40-0-上海證券綜合指數(shù)收益率(%)IIII|II1-0.029

-0.029

20.002

0.001

3-0.011

-0.011

4-0.079

-0.080

5-0.072

-0.0770.3230

0.3244

0.3716

2.82644.88540.570

0.850

0.946

0.5870.430l

1IIII6

0.0190.014

7

0.0760.077

8

0.0290.027

9

0.126

0.118

10-0.085

-0.080110.115

0.129

12-0.057

-0.0365.0211

7.3284

7.6700

13.977

16.837

22.17723.4820.541

0.396

0.466

0.123

0.078

0.0230.0243-10

上海證券綜合指數(shù)收益率及其樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本

部分自相關(guān)函數(shù)以及Q

統(tǒng)計(jì)量AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb3.4A

RMA模

型的

建

立

與

估

計(jì)3.4.1

ARMA模型的滯后期設(shè)立使用

ARMA

模型分析實(shí)際問題，首先需要處理的問題就是模

型中的滯后期數(shù)。如何